抓住特征，破解“拋物線牽手圖形變換”問題

432131 湖北省孝感市肖港初中 徐金星

抓住特征，破解“拋物線牽手圖形變換”問題

432131 湖北省孝感市肖港初中 徐金星

大家知道，圖形變換作為數學課程改革新增的內容，加強對這部分的學習，對學生具有重要的教育價值，有利于發展學生的空間觀念.另外，二次函數在初中數學中占有十分重要的地位，所以二次函數的圖象和圖形變換相結合，綜合考查同學們分析、綜合、概括、邏輯推理、幾何建模以及探究活動的能力，是各級檢測中不可多得的好題.本文就以課本中的一道探究題為例，探討關于這類問題的解法.

課本原題

如圖1，在一張紙上作出函數y=x2-2x+3的圖象，沿x軸把這張紙對折，描出與拋物線y=x2-2x+3關于x軸對稱的拋物線，這條拋物線是哪個二次函數的圖象?

圖1

分析 觀察描出與拋物線y=x2-2x+3關于x軸對稱的拋物線，可以發現這個拋物線的頂點坐標是(1，-2)，且過點(0，-3)，這樣，此拋物線的解析式就可以求出來了.也可以這樣想，關于x軸對稱的拋物線與原拋物線相比，它開口的方向相反，即向下，而開口大小不變，說明二次項系數為-1.另外，由于對稱軸沒有變，那么關于x的一次項系數為2.再根據原拋物線與y軸的交點坐標為(0，3)，那么其關于x軸對稱的點的坐標為(0，-3)，這個-3就是新拋物線解析式中的常數項.

解法1 依題意，可知

拋物線y=x2-2x+3關于x軸對稱的拋物線的頂點坐標是(1，-2)，且過點(0，-3).

設拋物線的解析式為y=a x-( )h2+k(a≠0)，則有

故所求的二次函數的解析式為

點評 運用這種方法的主要步驟是，首先將原二次函數的解析式配成頂點式，再根據對稱找到新拋物線的頂點坐標，最后可以找一個確定的點進行代入(或者根據開口來確定二次項系數).這種方法是解決這類問題的基本方法，它一步步地將所求解析式中的待定系數逐一確定.

解法2 所求的二次函數的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0).

觀察關于x軸對稱的拋物線與原拋物線，對比可知，新拋物線的開口向下，開口大小不變，說明a=-1.

又∵它們的對稱軸沒有變，

∴b=2.

∵原拋物線與y軸的交點坐標為(0，3)，

∴這個交點關于x軸對稱的點的坐標為(0，-3)，

即c=-3.

故所求的二次函數的解析式為y=-x2+2x-3.

點評 這種方法很明顯比第一種方法要抽象得多，雖然表面上看也是將所求解析式中的待定系數逐一確定，在確定這三個待定系數時所運用的是拋物線的性質，這種方法顯得簡單明了，甚至可以直接看出來.

實際上，對于要確定拋物線關于x軸對稱的拋物線的解析式，根據圖象性質反映的系數關系，可以得到，拋物線y=ax2+bx+c關于x軸對稱的拋物線的解析式為y=-ax2-bx-c.

以上這兩種解法都是求圖形變換后的拋物線的解析式的很重要的方法，下面將這個問題進行變式，進一步進行探究.

變式1 關于y軸對稱

如果將上例中的函數y=x2-2x+3的圖象沿y軸對折，那么這條拋物線是哪個二次函數的圖象呢?

解析 我們可以尋找拋物線的特征，即拋物線沿y軸翻折后，只改變拋物線的頂點位置，而不改變拋物線的開口方向及大小.這樣的話，結合前面所講的方法就很容易確定了.總結系數之間的關系，實際上就是確定拋物線關于y軸對稱的拋物線的解析式.

所以，函數y=x2-2x+3的圖象關于y軸對稱的拋物線的解析式是y=x2+2x+3.

點評 關于y軸對稱可以歸納為：拋物線y=ax2+bx+c關于y軸對稱的拋物線的解析式為y=ax2-bx+c.

變式2 關于原點對稱

如果在紙上作出上例函數y=x2-2x+3的圖象關于原點對稱的圖象，那么這條拋物線是哪個二次函數的圖象呢?

解析 兩個關于原點對稱的圖象，說明這兩個圖象上的所有點都關于原點對稱，而確定拋物線只需要找到頂點和另一個特殊點(如與y軸的交點)的坐標即可.也可以根據性質，從開口、對稱軸和與y軸的交點來確定待定系數.

所以，函數y=x2-2x+3的圖象關于原點對稱的拋物線的解析式是y=-x2-2x-3.

點評 一般地，拋物線y=ax2+bx+c關于原點對稱的拋物線的解析式：y=-ax2+bx-c.

變式3 旋轉

如果將拋物線y=x2-2x+3繞其頂點旋轉180°，求旋轉后所得拋物線的解析式.

解 將y=x2-2x+3配成頂點式，得 y=x2-2x+3=(x-1)2+2.

∵旋轉前后拋物線的開口方向恰好相反，而開口大小及頂點位置均不變，

∴旋轉后所得新拋物線的解析式為y=-(x-1)2+2，即y=-x2+2x+1.

點評 求拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)繞其頂點旋轉180°后的解析式，同樣可先將其配方成頂點式 y=a( x -h)2+k(a≠0)，然后將二次項系數直接改變成其相反數即可.

20111008)