將探究“常態化”

415000 湖南省常德市芷蘭實驗學校初中部 陳金紅

將探究“常態化”

415000 湖南省常德市芷蘭實驗學校初中部 陳金紅

探究“常態化”即，把探究看成是數學公式、定理一樣的知識和蘊含其中的思想方法，去重視、去實踐操練和體驗;本文通過兩個數學例子來闡述如何把探究“常態化”：

例1 (中學數學解題思想方法技巧(初中第139頁例2))若 a，c，d是整數，b是正整數，且滿足 a+b=c，b+c=d，c+d=a那么a+b+c+d的最大值是

A.-1 B.-5 C.0 D.1

書刊“綠色通道”：由于b為正整數，其取值范圍比a，c，d的都小，因此設法從已知條件中，挖掘出用b的式子表示a，c，d，從而把多個元的問題轉化為關于b的問題去求解.……

點評 此解法中既有主元法，也有消元、化歸等思想方法，方法相當專業，從而“神秘”化了數學探究的本質、靈魂!

探究“常態化”：筆者以為如下引導可能感受面會更廣泛些，由已知“若 a，c，d是整數，b是正整數，”自然感知：a，b，c，d 大小關系、正負如何?

解 由b是正整數及a+b=c?c＞a，b+c=d?d＞c;

又 c+d=a?d＜0?b＞0＞d＞c＞a，于是由數軸上從左往右依次是數 a，c，d，0，b;

更由“a，c，d 是整數”?d≤ -1，c≤ -2(a≤ -3)

為消去b元對“求a+b+c+d最大值”的影響與“尷尬”，于是改寫a+b+c+d=2c+d≤-4+(-1)，

即 a+b+c+d≤ -5，

故所求最大值為-5;選B.

點評 原解法整體分析雖解題快、簡潔有力度，但對比筆者的解法掩蓋了太多的細節，內部信息挖掘太少，創新靈感觸發的時間太短、空間太小，特別是不利于思維心理的具體障礙分析與機理揭示!

例2 (中學數學解題思想方法技巧(初中第136頁例3))解方程：x4+(x-4)4=626

書刊“綠色通道”：設法化為兩個二次方程，設x=y+2，則 x-4=y-2，于是原方程可化為(y+2)4+(y-2)4=626，(展開整理再解)……

點評 此解法確實高妙，但為什么設x=y+2，技巧性太強，沒受過專業訓練的恐怕難以想到，就只能靠“澆灌”了!

探究“常態化”：筆者以為可數字化、具體化是人們特別的習慣、意識和“專利”.626這個數值是否可改寫為類似方程左邊的兩個數值的4次方的和為新的突破點.

但626可改寫為1和625的和(人習慣于從最小的正整數1作為思考點!)，發現626=1+625=(±1)4+(±5)4，代入驗證發現x=-1，x=5正好滿足原方程，即得到原方程的兩個特殊解x1=-1，x2=5;

還有其他解嗎?若有與剛找出的解大小關系如何?從-1，5這兩個數去比較(5的右邊，5與-1之間，-1的左邊)，于是又探究如下：

①當x＞5時，x4+(x-4)4＞54+14＞626，此范圍內原方程無解;

②當x＜ -1時，x4+(x-4)4＞54+14＞626，此范圍內原方程也無解;

③當-1＜x＜5時，好像沒上面容易看出，不妨再縮小范圍為

(1)當 -1＜x≤0時，x4+(x-4)4＜626此范圍內原方程也無解;

(2)當0＜x≤1時，x4+(x-4)4＜626此范圍內原方程也無解;

(3)當1＜x≤2時，x4+(x-4)4＜626此范圍內原方程也無解;

(4)當2＜x≤3時，x4+(x-4)4＜626此范圍內原方程也無解;

(5)當3＜x≤4時，x4+(x-4)4＜626此范圍內原方程也無解;

(6)當4＜x＜5時，x4+(x-4)4＜626此范圍內原方程也無解;

綜合知，x1=-1，x2=5原方程僅有的兩個解!

點評 此探究解法讓人感覺高次方程幷不是高不可攀的，同時也促使解題者思考是否可以簡捷解法?(見文［2］)如此一來，“常態化”的探究讓學習者更有信心去投入到更多的實踐活動中去發現、體會與創造!把探究上升到一個更高的科學境界.

1 馬小為.中學數學解題思想方法技巧(初中).陜西師大出版社，2006，11

2 陳金紅.挖掘特殊性妙解競賽題.中學生數學(初中)，2002，7

20110710)