改陳出新 考查能力——2011年天津市中考數學試卷評析

443613 湖北省秭歸縣一支筆中學 鄭學敏

443100 湖北省夷陵區實驗初中 劉培雙

改陳出新 考查能力
——2011年天津市中考數學試卷評析

443613 湖北省秭歸縣一支筆中學 鄭學敏

443100 湖北省夷陵區實驗初中 劉培雙

2011年天津市初中畢業生學業考試數學試卷(以下簡稱“天津卷”)，堅持正面導向、緊扣課程標準、重點考查學生的數學能力.整卷共26小題，涵蓋了初中數學基礎知識和基本技能，關注社會生活實際和學生的動手操作能力，通過不同層次的考題全面考查了初中畢業學生的學習情況.

1 簡單考題，彰顯人文關懷

一般說來，學生在應對中考、高考這樣對人生有影響的考試時，心里不免有些緊張是極為正常的.為了避免考生對中考的恐懼，減輕數學中考對考生造成的心理上的壓力而影響考生考試的正常發揮，天津卷首先呈現兩道極為簡單的考題，讓考生調整心理狀態，穩定考試情緒，逐步進入正常考試狀態，彰顯了天津卷對考生的人文關懷.

第1題：sin45°的值等于

第2題：下列汽車標志中，可以看作是中心對稱圖形的是

第1題只要學生從記憶中尋找答案，相當于完成一道乘法口訣題一樣簡單;第2題學生僅憑已有的生活經驗就能解答.因此這兩題非常簡單，幾乎所有考生都能順利完成，對減輕考生的考試壓力、及時調整心理狀態，為考生正常發揮完成數學中考起到了關鍵性的作用.

2 關注社會，感受數學的應用價值

學生生活在社會之中，并且最終都會走向社會，讓學生了解社會的發展狀況，對他們的現在和未來都是極其重要的，因此，考題中關注社會生活實際是必須的.

第3題：根據第六次全國人口普查的統計，截止到2010年11月1日零時，我國總人口約為1370000000人，將1370000000用科學記數法表示應為

本題在考查科學記數法的同時，還向學生傳遞了兩個重要信息：第六次人口普查的截止時間和我國現在約有人口總數.通過這個問題的解決，讓學生受到國情教育.

像這樣關注社會生活實際的數學內容，實際就是把學生從數學引入到社會生活的實踐當中去，有著重要的現實意義.一方面可以拓展數學時空，使學生深刻領會數學學習不再僅僅是一堂數學課所學的內容，而是穿越時間的隧道，把過去、現在和未來的有關知識聯系在一起，讓學生擁有人類社會的精神財富;另一方面，將生活實際提供給學生理解和體驗，可以提高學生對生活的深刻理解和深入感受，日益豐富學生的精神世界.

第24題：注意：為了使同學們更好地解答本題，我們提供了—種分析問題的方法，你可以依照這個方法按要求完成本題的解答.也可以選用其他方法，按照解答題的一般要求進行解答即可.

某商品現在的售價為每件35元，每天可賣出50件.市場調查反映：如果調整價格，每降價1元，每天可多賣出2件.請你幫助分析，當每件商品降價多少元時，可使每天的銷售額最大，最大銷售額是多少?

設每件商品降價x元，每天的銷售額為y元.

原價每件降價1元每件降價2元… 每件降價x元每件售價(元) 35 34 33…每天銷量(件) 50 52 54…

(1)分析：根據問題中的數量關系，用含x的式子填表;

(2)由以上分析，用含x的式子表示y，并求出問題的解.

此題考查二次函數的有關知識在市場經濟中的應用.通過建立二次函數模型解決實際問題，讓學生感受學習數學的價值，提高學生應用數學的意識，培養學生以后日常生活和工作中的決策能力.的距離BC(取 1.73.結果保留整數).

此題綜合考查三角形外角和、等腰三角形的判定、解直角三角形在日常生活中的應用等數學知識.題設沒有直接給出直角三角形，需要學生仔細領會題意構造出直角三角形求解，不僅讓學生感受數學的應用價值，也考查了建立數學模型解決有關實際問題的能力.

3 考查數學思想方法，體現以學生為本

3.1 考查學生獲取數學信息的能力

當今社會是信息社會，離開了信息，人們的生活和工作都會受到影響.有時信息就是商機，好的信息能使人們對事情作出正確的判斷和決策.善于從各種形式的情景中獲得有效的信息，是學生適應現代社會必需的能力.

第21題：在我市開展的“好書伴我成長”讀書活動中，某中學為了解八年級300名學生讀書情況，隨機調查了八年級50名學生讀書的冊數，統計數據如下表所示：

又如第23題：某校興趣小組坐游輪拍攝海河兩岸美景.如圖，游輪出發點A與望海樓 B的距離為300m，在A處測得望海樓B位于A的北偏東30°方向.游輪沿正北方向行駛一段時間后到達C，在C處測得望海樓B位于C的北偏東60°方向.求此時游輪與望梅樓之間

冊數3 13 16 17 1 0 1 2 3 4人數

(1)求這50個樣本數據的平均數，眾數和中位數;

(2)根據樣本數據，估計該校八年級300名學生在本次活動中讀書多于2冊的人數.

這道考題要求學生從表格中準確獲取信息，再根據平均數、眾數和中位數概念求解第(1)題;第(2)題應先求樣本數據中讀書多于2冊的人數占樣本人數的比率，再用總人數乘以這個比率，即可估計出八年級300名學生中讀書多于2冊的人數，這是用樣本估計總體思想的典型應用.

3.2 考查學生的動手操作能力

《數學課程標準》指出：“數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程.”簡單地說，數學是過程!讓學生參與有效的數學活動，在活動中學習數學知識，使學生明白數學知識的發生過程，正是課改所提倡的.

第5題：如圖，將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB，CB均落在對角線 BD上，得折痕 BE，BF，則∠EBF的大小為

A.15° B.30°

C.45° D.60°

此題考查正方形和軸對稱的有關性質，對大多數學生來說難度不大，可以直接解答，對解答此題有困難的考生來說，最好是按題中所說的操作方法動手實際折疊一下，有利于成功解答.

4 改陳出新，試題突顯新意

將高考題做適當的改編，使其符合初中學生的認知規律，用于考查學生的能力，是本卷的一個突出亮點.1979年的數學高考題：

已知(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0，求證：x，y，z成等差數列.

此題的題設初中學生非常熟悉，但不知什么是等差數列，所以初中學生不會做.天津卷保持原高考題的條件不變，將問題改成探索x，y，z之間另外的數量關系，便有了第10題：

若實數 x，y，z滿足(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0，則下列式子一定成立的是

A.x+y+z=0 B.x+y-2z=0

C.y+z-2x=0 D.z+x-2y=0

改編后，題目雖然難度不小，但用于考查初中畢業學生的數學能力是合適的，也是可取的.

解法1 將已知等式的左邊展開、合并同類項，利用分解因式的知識和非負數的性質得出x，y，z之間的數量關系，具體解法如下：

解法2 通過觀察不難發現，x-z=(x-y)+(yz)，用好這個發現就有比解法1更簡潔的解法.

故選D.

解法3 觀察已知等式的左邊，發現其結構類似于某個一元二次方程的根的判別式，根據這一發現可以用一元二次方程的知識求解，具體解法如下：

因為(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0，所以此方程有兩個相等的實數根，

所以 -(x-y)=-(y-z)，即 x+z-2y=0.

上述三種解法，都符合現行初中畢業學生的認知水平和數學能力，但對學生的能力要求是相當高的.第1種解法，比較常規，有一定的難度;第2種解法，思路簡潔，但技巧性強;第3種解法，能力、技巧俱全，富有創新性思維的特點.因此，此題不僅突出考查學生的數學能力，而且具有較強的選拔功能，是一道改陳出新的優秀中考題.

值得指出的是，構造一元二次方程時，不要構造成(x-y)t2+(x-z)t+(y-z)=0的形式，因為題設中沒有x-y≠0的條件，所以不能保證這個方程是一元二次方程，根的判別式在這里也就不能發揮其重要作用了.

5 突出選拔功能，促進學生的發展

新課程改革后，各地的初中畢業考查和升學考試基本上都是采用同一套試題，由于要收到畢業考查和升學考試的雙重功效，因此，部分試題有較強的選拔功能，天津卷每年都有兩道壓軸題，為高中學校錄取學生提供成績依據.

第25題：在平面直角坐標系中，已知O為坐標原點，點 A(3，0)，B(0，4).以點 A 為旋轉中心，把△ABO 順時針旋轉，得△ACD.記旋轉轉角為α，∠ABO為β.

(1)如圖1，當旋轉后點D恰好落在AB邊上時，求點D的坐標;

(2)如圖2，當旋轉后滿足BC∥x軸時，求α與β之間的數量關系;

圖2

圖1

(3)當旋轉后滿足∠AOD=β時，求直線CD的解析式(直接寫出結果即可).

此題以學生對幾何圖形旋轉的認識、旋轉的性質的理解為基點，綜合考查相似形、全等形、方程組等數學知識以及推理論證、計算等數學能力.

天津卷近五年第25題都考查圖形變換：2007年平移，2008年旋轉，2009年折疊，2010年軸對稱，2011年旋轉，但2011年第25題的難度明顯低于往年.

第(1)題考查拋物線頂點坐標的求法，很基礎;第(2)題設計了兩問，第①問比較簡單，第②問難度增加了不少，但它是①的一般情況，由特殊到一般進行探究，學生的思路不會受阻;第(3)題考查拋物線的平移、函數與不等式(組)的關系，難度大，有很好的區分度.

天津卷近五年第26題題型：2007年，2008年，2009年都是一元二次方程與二次函數的綜合;2010年，2011年，都是拋物線的平移及相關知識的整合.近五年來，第26題的難度基本平衡，沒有明顯的起伏.

綜合起來看2011年天津卷：

2011年的天津卷植根《數學課程標準》、源于數學教科書，全面考查了《數學課程標準》規定的義務教育階段的數學核心內容.試題起點低，難度分布合理科學，呈現方式豐富多彩，既注重基礎知識的考查，又能改陳出新考能力;既關注學生學習數學的活動過程、活動經驗的考查，又關注學生在學習過程中的變化和發展;關注學生的心理特點，體現人文精神.因此，2011年的天津卷是一套優秀的中考數學試卷，值得廣大數學教師在教學中認真開展教學研究和中考命題人借鑒使用.

20110715)