再談“費馬點”問題

443300 湖北省宜都市外國語學校 范 鴻

再談“費馬點”問題

443300 湖北省宜都市外國語學校 范 鴻

文［1］中，從怎樣求線段的最值方面作了分類解析，仔細研讀，很受啟發.筆者也非常關注“費馬點”問題，讀此文后覺得有一絲遺憾的是，作者沒有談到涉及“費馬點”問題的旋轉變換以及性質的運用.其實，在新課標人教實驗版八年級《數學》上冊P 42有一道探究題，稍加改動題中的措詞，就會變為一個關于“費馬點”的討論問題，現提出來供大家交流.

1 課本中的“費馬點”雛形

例1課標人教實驗版八年級《數學》上冊P 42的探究題：如圖1，要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別··向A，B兩鎮供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短?

圖1

解析分析題意，在這個問題中，“分別”的意思應該是鋪設兩條管道且彼此互不相關，即泵站向A鎮供氣不經過B鎮，泵站向B鎮供氣不經過A鎮.根據“兩點之間，線段最短”公理，“分別向”就是“分別直接向”.如圖2，作點A關于直線l的對稱點A'，連接A'B，與直線l的交點P就是泵站的位置.

這正是文［1］中談到的通過軸對稱變換達到“化折為直”，回歸到“兩點之間，線段最短”，但這里有一個前提是題目條件中有“分別”的表述.

2 “費馬點”的相關知識

2.1 費馬點：指到三角形的三個頂點的距離之和最短的點

對于一個各角都小于120°的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120°的點;對于有一個角大于或等于120°的三角形，費馬點就是最大的內角的頂點.

圖2

2.2 費馬點的作圖

以△ABC的各角都小于120°為 例，如 圖 3，分 別 以△ABC的兩邊AB，AC為邊長向形外作等邊三角形，作這兩個等邊三角形的外接圓，則兩圓的另一個交點P就是此三角形的費馬點.

圖3

2.3 費馬點的性質

平面內一點P到△ABC三個頂點的距離之和為PA+PB+PC，當且僅當點P為費馬點時，距離之和PA+PB+PC最小.

2.4 費馬點的性質證明

如圖 4，設 點 P是△ABC內的一點，將△APC繞點 A逆時針旋轉60°，得到△AP'C'，連接 PP'，顯然△APP'為等邊三角形，則AP=PP'，P'C'=PC.

所以點C'可看成線段AC繞點A逆時針旋轉60°而得到的定點，BC'為定長，所以當 B，P，P'，C'四點在同一直線上時，PA+PB+PC最小，此時∠APB=∠BPC=∠APC=120°.

以上費馬點問題告訴我們，平面內存在這么一個點到三個定點的距離之和最小，解決問題的方法是運用旋轉變換.

3 中考試題中的“費馬點”

例2 (2009年浙江省湖州)若P為△ABC所在平面上一點，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則點 P叫做△ABC的費馬點.

(1)若點P為銳角△ABC的費馬點，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，則 PB 的值為＿ ;

圖4

(2)如圖 5，在銳角△ABC外側作等邊△ACB'，連接 BB'.

求證：BB'過△ABC的費馬點 P，且 BB'=PA+PB+PC.

解析(1)2

(2)設點P為銳角△ABC的費馬點，即∠APB=∠BPC=∠CPA=120°.

如圖5，把△ACP繞點C順時針旋轉60°到△B'CE，連接PE，則△EPC為正三角形.

圖5

例3 (2009年北京)如圖6，在平面直角坐標系xOy中，△ABC三個頂點的坐標分別為 A(-6，0)，B(6，0)，C(0，4)，延長 AC到點 D，使CD=AC，過D點作DE∥AB交BC的延長線于點E.

圖6

(1)求D點的坐標;

(2)作C點關于直線DE的對稱點F，分別連接DF，EF，若過B點的直線y=kx+b將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式;

(3)設G為y軸上一點，點P從直線y=kx+b與y軸的交點出發，先沿y軸到達G點，再沿GA到達A點，若P點在y軸上運動的速度是它在直線GA上運動速度的2倍，試確定G點的位置，使P點按照上述要求到達A點所用的時間最短.(要求：簡述確定G點位置的方法，但不要求證明).

解析 (1)(2)略，對于第(3)問，如何確定點G的位置是本題的難點.

圖7

就是MQ+AQ+BQ最小，就是在直線MO上找點G使它到A，B，M三點的距離之和最小.

這就是一個“費馬點”問題的變形，注意到題目中等邊三角形△MAB，考慮作旋轉變換.

如圖8，把△MQB繞點B順時針旋轉60°，

得到 △M'Q'B，連 接QQ'，MM'，可 知 △QQ'B，△MM'B都是等邊三角形，則QQ'=BQ.

圖8

注 例2是有關“費馬點”的知識閱讀理解，例3是有關“費馬點”的轉化運用，兩例方法的共性在于運用旋轉變換將問題轉化到公理“兩點之間，線段最短”上來，值得總結.

特別是例3，考慮到要使MQ+2AQ最小，就是MQ+AQ+BQ最小，即在直線MO上找到一點G使它到A，B，M三點的距離之和最小.我們可以直接運用“費馬點”的定義和性質來解決這個問題.因為△MAB是等邊三角形，所以點G一定在OM上，并且就是等邊△MAB的外心，即點G是∠MAB的平分線與OM的交點，顯然這樣來解非常快捷.

現行初中教材沒有提到“費馬點”概念，更談不上直接運用“費馬點”的性質來解決路徑最短問題，但講清“費馬點”的存在，其性質的由來以及為什么要進行旋轉變換，對開拓學生的思維、提高學生的數學素質無疑是有益處的.如果掌握了“費馬點”的性質并會靈活運用，那將大大提高解題的速度和質量.

由條件可以證明點Q'總在AM'上，所以 AM'與 OM 的交點就是所要的G點，如圖9，可證

圖9

1 李玉榮.從費馬點談起［J］.中學數學，2011，2(下)

2 金建華.費馬點與中考試題［J］.初中數學教與學，2010，9

3 宋凡忠.費馬點與最短路徑［J］.中小學數學，2010，11

20110710)