對一道中考試題的解法探究

277223 山東省棗莊市第十一中學(xué) 張建響

277200 山東省棗莊市第十八中學(xué) 李耀文

對一道中考試題的解法探究

277223 山東省棗莊市第十一中學(xué) 張建響

277200 山東省棗莊市第十八中學(xué) 李耀文

對中考試題的探究是教師們在教學(xué)和復(fù)習(xí)中常做的一件有益事情.本文以2011年一道中考試題進(jìn)行探究,供讀者們賞析參考.

1 試題呈現(xiàn)

江蘇省連云港市2011年高中段學(xué)校招生統(tǒng)一文化考試數(shù)學(xué)試題第28題：

(1)有一條邊對應(yīng)相等的兩個三角形的面積之比等于這條邊上的對應(yīng)高之比;

(2)有一個角對應(yīng)相等的兩個三角形的面積之比等于夾這個角的兩邊乘積之比;

……

現(xiàn)請你繼續(xù)對下面問題進(jìn)行探究,探究過程可直接應(yīng)用上述結(jié)論.(S表示面積)

問題2 若有另一塊三角形紙板,可將其與問題1中的△ABC拼合成四邊形ABCD,如圖2,Q1,Q2三等分邊 DC.請?zhí)骄?S四邊形P1Q1Q2P2與S四邊形ABCD之間的數(shù)量關(guān)系.

檢視父母教養(yǎng)范式的適切性，就是檢視其合理性和有效性。“鞋子合不合腳，腳知道”。與孩子的個性和成長需求契合的家庭教育，對孩子成長產(chǎn)生積極的正向影響，反之亦然。檢視家庭教育范式的適切性，要檢視家長的家庭教育動機(jī)、教育目標(biāo)，檢視日常生活中親子雙方的情緒體驗(yàn)和行為反應(yīng)等。如果消極的劣性的情感體驗(yàn)多，就要對家庭教育多加注意，及早發(fā)現(xiàn)問題和解決問題。

圖1

圖2

問題3 如圖3,P1,P2,P3,P4五等分邊AB,Q1,Q2,Q3,Q4五等分邊 DC.若 S四邊形ABCD=1,求 S四邊形P2Q2Q3P3.

問題4 如圖4,P1,P2,P3四等分邊AB,Q1,Q2,Q3四等分邊DC,P1Q1,P2Q2,P3Q3將四邊形ABCD分成四個部分,面積分別為S1,S2,S3,S4.請直接寫出含有 S1,S2,S3,S4的一個等式.

圖3

圖4

點(diǎn)評 該試題是以“有一條邊對應(yīng)相等的兩個三角形的面積之比等于這條邊上的對應(yīng)高之比;有一個角對應(yīng)相等的兩個三角形的面積之比等于夾這個角的兩邊乘積之比”為知識的生長點(diǎn),考查了學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法,以及知識的遷移能力和靈活運(yùn)用知識的能力.從問題的設(shè)計到解決方式上,呈現(xiàn)出知識的多樣性、靈活性和拓展空間,較好地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和綜合運(yùn)用知識分析問題、解決問題、提出問題的能力.本題的確是一道層次分明,梯度合理,具有很好區(qū)分度的中考試題.

2 試題答案回放

下面給出命題者提供的參考答案.

問題1

圖5

所以

由P1,P2三等分邊AB,R1,R2三等分邊AC,Q1,Q2三等分邊DC,

點(diǎn)評 由上述參考答案可以看出命題者的意圖.充分體現(xiàn)出該試題所考查的是學(xué)生解決探究數(shù)學(xué)問題的重要思想方法——化歸(即“化未知為已知”)和類比思想.

3 試題解法再探

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),離不開解題.從不同的角度,用不同的方法,去探索解答同一道數(shù)學(xué)問題的途徑,開展一題多解活動,是提高解題能力、培養(yǎng)創(chuàng)新精神的有效方法.它有利于牢固掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能,有利于提高分析問題和解決問題的能力,有利于發(fā)展思維的靈活性和創(chuàng)造性.下面給出本試題參考答案以外的多種解法,供讀者們鑒賞.

問題1 (略)

問題2

別證1 如圖6,連接AQ1,P1Q2,P2C,再設(shè) h1,h2,h3分別是A,P1,P2到CD的距離.由P1,P2三等分邊AB,可知2h2=h1+h3.

又DQ1=Q1Q2=Q2C,則有

圖6

別證2 如圖7,設(shè)P,Q分別是AB,CD的中點(diǎn),連接PD,PQ1,PQ2,PC,易證知

圖7

別證 3 如圖 8,連接AQ1,P2Q1,P2C,由于 P1,P2三等分邊 AB,Q1,Q2三等分邊DC,則易知有

圖8

別證4 如圖9,取四邊形ABCD的四邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn) P,N,Q,M,并設(shè)PQ與MN的交點(diǎn)為O,且所成的角為 α.則有：

易證知O是PQ和MN的中點(diǎn),MN平分P1Q1和P2Q2,

且有MR=RT=TN.由四邊形面積公式有：

圖9

別證 5 如圖 10,設(shè)BA,CD的延長線相交于O點(diǎn),且記AB=3a,CD=3b,OA=c,OD=d,∠BOC=α,則有

圖10

點(diǎn)評 此法是借助面積計算的方法,無需特殊的技巧和繁雜的運(yùn)算,確實(shí)為一種簡便易行的方法,但運(yùn)算中應(yīng)用到“三角形的面積等于三角形任意兩邊與其夾角正弦積的一半”.

問題3的別解

如圖11,P1,P2,P3,P4五等分邊AB,Q1,Q2,Q3,Q4五等分邊DC,P1Q1,P2Q2,P3Q3,P4Q4將四邊形ABCD分成五個部分,面積分別為S1,S2,x,

S3,S4.由問題2的結(jié)論,易知有2x=S2+S3,

圖11

問題4的別解

如圖12,P1,P2,P3四等分邊AB,Q1,Q2,Q3四等分邊DC,P1Q1,P2Q2,P3Q3將四邊形ABCD分成四個部分,面積分別為S1,S2,S3,S4.由問題2的結(jié)論,易知有：2S2=S1+S3

點(diǎn)評 通過上面我們清楚地看出,問題3,4的別解,其實(shí)是對問題2結(jié)論的直接運(yùn)用.這可能是命題者設(shè)計的初衷(其中問題4只要求直接寫出含有S1,S2,S3,S4的一個等式,不作理由闡述,可能是為了降低試題難度).

圖12

20110810)