注重基礎 穩中求新 凸顯能力——浙江省紹興市近三年中考數學試題的特點及啟示

312352 浙江華上虞市竺可楨中學 徐 駿

注重基礎 穩中求新 凸顯能力
——浙江省紹興市近三年中考數學試題的特點及啟示

312352 浙江華上虞市竺可楨中學 徐 駿

2011年是浙江省紹興市全面推廣浙教版課標教材后的第三次自主命題,試題在突出能力立意的基礎上,創新的氛圍更加濃郁,富有鮮明的時代氣息.本文就近三年的浙江省紹興市中考數學試題的特色進行分析,并得到一些啟示.

1 近三年試卷的特點

特點1 在命題思路、考查內容、題型結構等方面,和往年試題保持了一定的連續性和穩定性

試題結構保持不變,全卷共24道題,分選擇題、填空題、解答題三種題型.第一大題(選擇題)10個小題共40分,第二大題(填空題)6個小題共30分,第三大題(解答題)8個小題共80分,全卷滿分150分.其中,選擇題是四選一型的單項選擇題;填空題每小題只有一個空,要求直接填寫結果;解答題包括計算題、證明題和應用題等,解答必須寫出文字說明、演算步驟或證明過程.題目的編排由易到難,循序漸進,遵循考生的認知規律,三種類型題的最后一題為把關題,有一些難度.

從近三年來紹興中考數學試卷可以看出,試題注重對數學基礎知識和基本技能的考查,貼近初中數學的教學實際,沒有出現偏題和怪題,總體難度適中,整體趨向于平穩,在平穩中有效地考查了學生的數學思維能力和解題能力.另外,試題注重對數學學科核心內容的考查,內容涉及“數與代數”、“空間與圖形”、“統計與概率”、“實踐與綜合運用(課題學習)”四個學習領域.知識點的考查既注意全面,又突出重點,注重知識內在聯系的考查,注重對初中數學中所蘊涵的數學思想和方法的考查.對比三年的中考試卷,我們不難發現,浙江紹興中考已經形成一套相對穩定的知識點結構,如下表所示：

考查內容題序2009年 2010年 2011年題______型____1 合并同類項,冪的運算 相反數的意義 相反數的意義____2 科學記數法的表示方法 簡單組合體的三視圖 科學記數法的表示方法____3 反比例函數圖象上點的坐標特征 垂徑定理,勾股定理 角平分線的定義,平行線的性質____4 數軸上兩點間的距離 科學記數法的表示方法 簡單組合體的三視圖____5 由三視圖確定幾何體的形狀 分式的加減運算 等腰三角形的性質,圓周角定理6 三角形中位線定理,圖形折疊___________的性質 方差的意義 垂徑定理,勾股定理選擇題7 統計量的選擇 一次函數的應用(函數圖象的________________________________________讀圖能力) 概率公式的應用8 利用列表法或畫樹狀圖法求___________簡單事件的概率 平行四邊形的判定與性質 線段垂直平分線的性質9 直線與圓的位置關系,垂徑定___________理,勾股定理 反比例函數值的大小比較 一次函數的應用(函數圖象的讀圖能力)10求將陰影部分的面積(結合一次函數的圖象轉化成三角形的面積來計算)直線與圓、圓與圓的位置關系,勾股定理相似三角形的判定與性質,等邊三角形的性質

續表

特點2 關注數學基礎內容的考查,注重學生對基礎知識的理解和應用,強調了初中數學課程的基礎性、普及性

由于中考采用兩考合一的形式,首先要強調的是它的水平測試功能,必然面向全體學生,體現《全日制義務教育數學課程標準》(實驗稿)(以下簡稱《標準》)所倡導的“人人學有價值的數學,人人都能獲得必需的數學”這一基本理念.

例1 (2010年第15題)如圖1,做如下操作：在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,交BC于點 D.將△ABD作關于直線 AD的軸對稱變換,所得的像與△ACD重合.對于下列結論：

①在同一個三角形中,等角對等邊;

②在同一個三角形中,等邊對等角;

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高互相重合.

由上述操作可得出的是_________(將正確結論的序號都填上).

圖1

點評 本題出自浙教版課標教材八年級上冊第26頁,在已有軸對稱學習基礎上是通過操作探究等腰三角形的性質.讓我們重新審視折疊的過程：由AD平分∠BAC,得∠BAD=∠CAD.當把圖形沿直線AD對折時,射線AB與AC重合,由于AB=AC,于是點B與點C重合,故△ABD與△ACD重合,所以△ABD≌△ACD,從而得到 BD=CD,∠B=∠C,∠ADB=∠ADC=90°,即 AD⊥BC.從操作過程沒有體現角相等,邊就相等,故①不符合;因為AD平分∠BAC,BD=CD,AD⊥BC,故②,③均符合.有相當數量的學生由于平時不重視數學知識獲取過程中的理解,想當然的認為這三個結論都是正確的,這一出乎意料的結果為我們的教與學再次敲響了警鐘.

特點3 突出對數學活動過程的考查,強調了“用數學,做數學”的應用意識

“數學教學”實質是“數學活動的教學”,既包含了“數學”,又凸現了獲得結果的“活動”,體現了過程與結果的統一.

圖2

點評 本題取材新穎,構思巧妙.從考生熟悉的背景中引出問題,涉及的知識點雖不多,但考查的數學思想方法卻不少.學生要通過畫示意圖來探究發現其中隱含的點與數的對應關系：第一次操作后,恰好被拉到與1重合的點所對應的數為=2-1.第二次操作后,恰好被拉到與1重合的點所對應的數為,,它們的和為1=20.在此基礎上繼續思考,可以發現：第三次操作后,恰好被拉到與1重合的點所對應的數為,它們的和為2=21.由此,可以推出第n次操作后,恰好被拉到與1重合的點所對應的數的為它們的和為2n-2.這是一道思維含量較高的數學建模題,類似試題的出現,使得題海戰術失去了市場,真實地考查了考生的探究能力.由于沒有現成的解題模式可供借鑒,考生若沒有一定的抽象思維能力和閱讀理解能力,要解決這個問題是有一定難度的.

例3 (2011年第10題)李老師從“淋浴龍頭”受到啟發,編了一個題目：在數軸上截取從0到3的對應線段AB,實數m對應AB上的點M,如圖3;將AB折成正三角形,使點A,B重合于點P,如圖4;建立平面直角坐標系,平移此三角形,使它關于y軸對稱,且點P的坐標為(0,2),PM與 x軸交于點N(n,0),如圖5.當m=3時,求n值.你解答這個題目得到的n值為

特點4 重視數學與現實生活的聯系,強化應用意識

《標準》特別強調數學背景的“現實性”和“數學化”.倡導能用數學眼光認識世界,并能用數學知識和數學方法處理解決周圍的實際問題.近幾年中考考查應用能力的試題均能結合社會熱點來設計,以學生熟悉的現實生活為問題的背景,試題取材于生活背景,并多以圖表信息題的形式出現,凸顯著試題的教育價值.

例4 (2009年第23題)如圖6的矩形包書紙示意圖中,虛線是折痕,陰影是裁剪掉的部分,四角均為大小相同的正方形,正方形的邊長為折疊進去的寬度.

(1)如圖7,《思維游戲》這本書的長為21cm,寬為15cm,厚為1cm,現有一張面積為875cm2的矩形紙包好了這本書,展開后如圖6所示.求折疊進去的寬度;

(2)若有一張長為60cm,寬為50cm的矩形包書紙,包2本如圖7中的書,書的邊緣與包書紙的邊緣平行,裁剪包好展開后均如圖6所示.問折疊進去的寬度最大是多少？

圖6

圖7

點評 本題以學生比較熟悉的包書皮為背景,貼近學生生活實際,契合了當今社會倡導低碳生活的形勢,將建模思想等巧妙置于其中,既體現了數學的實用性,又讓學生感受到數學就在身邊,并產生了積極的情感體驗.解答該題須要對題目有正確的解讀,注意區分第(1)小題“正好包好”和第(2)小題“裁剪包好”兩種語言的差異,選擇合適的數學模型,如：第(1)小題選擇方程模型,第(2)小題選擇不等式模型.第(2)小題需要考慮到兩本書在同一張自紙上的各種不同擺放情況,主要考查學生分類討論的數學思想和靈活運用知識的能力,充分激發了學生的探究欲望,拓展了學生的思維空間,能較好地區分各類學生的數學思維水平和建模能力.

特點5 著力于學習能力的考查,強調初中數學課程的發展性

數學學習能力不僅反映著學生對既學知識掌握的情況和程度,更體現著學生的數學學習潛能.因此重視對數學學習能力的考查,已經成為當前中考的熱點.近三年來中考試卷都出現了一定量的開放性、探究性試題,這類試題突出了對教學本質和思想方法的考查,讓學生思維有更廣闊發揮的空間和較大選擇的自由度,能很好地培養學生的探究精神、創新意識和發散思維.

例5 (2011年第23題)數學課上,李老師出示了如下的題目.

在等邊三角形ABC中,點E在AB上,點D在CB的延長線上,且 ED=EC,如圖8,試確定線段AE與DB的大小關系,并說明理由.

小敏與同桌小聰討論后,進行了如下解答：(1)特殊情況,探索結論

圖8

當點E為AB的中點時,如圖9,確定線段AE與BD的大小關系.請你直接寫出結論：

AE_______DB(填 “ ＞”,“＜”或“=”)

(2)特例啟發,解答題目

解 題目中,AE與BD的大小關系是：AE_______

圖9

DB(填“＞”,“＜”或 “=”).理由如下：如圖 10,過點 E作EF∥BC,交AC于點F,(請你完成以下解答過程)

(3)拓展結論,設計新題

在等邊三角形ABC中,點E在直線AB上,點D在直線BC 上,且 ED=EC.若 △ABC的邊長為1,AE=2,求CD的長(請你直接寫出結果).

點評 本題以等邊三角形為載體,通過點E在直線AB上的位置改變為手段,在三角形中利用添加輔助線構成全等形進而構成相似形,完成從合情推理到演繹推理的轉變.主要考查對全等三角形的性質和判定,三角形的內角和定理,等邊三角形的性質和判定等知識點的理解和掌握,能綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵.第(1)小題起點較低,先求出∠D=∠DEB=30°,推出DB=BE=AE即可;第(2)小題由于已經有了作圖提示,學生很容易想到先去證出△AEF為等邊三角形,并且證明△DBE≌△EFC也有多種途徑可供選擇;第(3)小題要分為兩種情況：

圖10

圖11

圖12

解答此小題若直接引用第(2)小題的結論“AE=BD”,得出結果則更快一些.在近三年的中考試卷中,第23題始終將培養學生自主學習的能力作為目標,利用探究性試題進行壓軸成為試卷的特色之一.本題先證明“AE=BD”在“點E為AB的中點”這一特殊情況下成立,再改變問題的條件,讓學生探討在“點E在AB上”時原來的結論是否還成立,進一步聯想提出新的問題,即將條件“點E在AB上”再次拓展成“點E在直線AB上”,這種采用分層遞進的方式探究相關線段間的大小,實現特殊到一般的思想(全等到相似)的數學領悟,較好地考查學生的知識遷移能力和解決問題的能力.

特點6 突出了對數學本質和數學思想方法的考查,體現學業考試的選拔功能.

通過分析、對比、研究近三年中考數學試卷,發現中考壓軸題(第24題)考點主要集中在二次函數、幾何變換、特殊三角形(四邊形)的綜合應用上,試題具有較強的區分度,較好地測試了考生的數學素養和進入高一級學校的學習潛能,有利于不同層次的學生發揮出自己的真實水平,有利于高一級學校選拔新生.

(1)如圖13,求點A的坐標及線段OC的長;

(2)點P在拋物線上,直線PQ∥BC交x軸于點Q,連接BQ.

①若含45°角的直角三角板如圖14放置,其中,一個頂點與點C重合,直角頂點D在BQ上,另一個頂點E在PQ上,求直線BQ的函數解析式;

②若含30°角的直角三角板一個頂點與C重合,直角頂點D在直線BQ上,另一個頂點E在PQ上,求點P的坐標.

圖14

圖13

點評 本題以平面直角坐標系為載體,立足二次函數這個主干知識,賦予運動變化的背景,融合了轉化思想、分類思想、數形結合等數學思想,是一道綜合性較強的題目.試題設置的三個問題的設計由淺入深,層層遞進.第(1)小題為基礎題,絕大部分學生能根據二次函數的解析式確定點的坐標和拋物線的對稱軸,得分率較高;第(2)小題的第①問有一定的難度,從等腰直角三角形CDE這一特殊位置入手,結合全等三角形的性質(過D作 DM ⊥x軸于 M,作 DN⊥PQ于 N,則△DCM∽△DEN)判斷四邊形DMQN為正方形,從而求點Q的坐標,確定直線BQ的函數解析式;第(2)小題的第②問對學生的思維能力提出了較高的要求,分化現象較為突出,部分學生無從下手,可能是時間比較倉促,也可能一時找不到解題思路,畫不出相應的圖形.要正確解答此問,需要越過兩道坎：其一是“含30°角的直角三角板一個頂點與C重合”應考慮“∠DCE=30°”和“∠DCE=60°”兩種情況,其二是點P的位置應考慮“點P在對稱軸的右側”和“點P在對稱軸的左側”兩種情況.遺憾的是,相當多地考生思維不夠縝密,普遍存在著兩類漏解的現象：如圖15,一類是未考慮對稱性僅求出點P1,點P3的坐標,另一類是雖考慮對稱性但對“含30°角的直角三角板一個頂點與C重合”的理解存在缺陷僅求出點P1,點P2的坐標,能完整解答出四個點坐標的學生寥寥無幾,學生的運算和推理能力在此得到了有效的甄別.

圖15

2 試題的啟示

2.1 整合教材資源,打好“基礎”這張牌

教材中豐富的例(習)題是中考試題的“故鄉”,有些試題在教材中找得到原型,有些試題則是對教材例(習)題的改編、延伸和拓展.因此,必須重視基礎知識的教學,夯實基礎才是上策.

2.2 注重通性通法,加強數學思想方法教學

數學思想,是對數學知識和方法的本質以及規律的理性認識,是解決數學問題的靈魂和根本策略,直接支配著數學的實踐活動.常用的數學思想有：數形結合思想、分類討論思想、整體與換元思想、方程與函數思想、轉化與化歸思想、特殊與一般思想等.如：我們用數軸這一直觀形象來揭示“絕對值”這個概念的的內涵,從中滲透數形結合的思想.又如“二次根式的加減運算”采用類比“整式的加減運算”的手段,實現從未知到已知的轉化.

數學方法,是解決數學問題的根本程序,是數學思想的具體反映.常用的數學方法有：配方法、換元法、消元法、待定系數法等.教師在教學中要在常規解題方法的教學上多下功夫,有針對性地落實相應的解題方法.重視一題多解和一題多變,這樣學生就有了更多的方法與手段,能在比較短的時間里確定合適的解決問題的方法,能夠舉一反三、一法多用.

2.3 加強過程教學與教法指導,引導學生開展自主探索,提升數學素養

數學教學是一種“過程教學”,它既包括知識的發生、形成、發展過程,也包括人的思維過程,要處理好知識的“強化”與“內化”的關系.在教學中,要適時地給學生制造一些思維受阻的情境,讓學生在觀察、實驗的活動中,通過比較、分析、歸納、類比、抽象等思維過程,完成對所學知識的理解和解題策略的選擇,要根據學生現有的認知發展水平,有目的、有計劃地設計一些探索性和開放性的問題,以引發學生的探索熱情,激發學生主動學習.

要倡導學生進行解題后的反思,如：命題者的意圖是什么？解決這個問題有沒有最佳的方法？如果這個問題的結論或條件適當開放,我還能繼續做嗎？要讓學生知道,如何去思考和解決一個數學問題,這才算得上是高效的.在平時的綜合題教學中,要鍛煉學生克服困難的勇氣和毅力,使他們在碰到此類型題目時能冷靜處理,進行有條理的思考,尋找解題的途徑和方法.

2.4 強化應用意識,關注學生的個性發展

要根據學生自主學習存在的差異,使每一位學生在力所能及的范圍內學習更多的知識,使他們在原有的基礎上都有得到發展和提高.具體地說,可采用的策略是：對于水平較高的學生應采用“放”的方式,為他們提供更為廣泛的獨立思考時間和空間;對于中等生采用“激”的方式,為他們提供要求適中的問題,逐步養成獨立思考的習慣;對于學習能力較差的學生則采用“誘”的方式,為他們提供適度的幫助,多給一些鼓勵和啟發,促進他們形成獨立思考的自我意識.

1 楊新華.例談中考數學命題的特點及對教學的啟示[J].中學數學,2011,4

2 韓春見.從2009年中考數學看2010中考數學命題趨勢[J].中學數學,2010,6

3 徐駿.在培養學生自主學習中教師應擔當的角色[J].初中數學教與學,2006,8

20110723)