題目真的超綱了嗎

430030 武漢市教科院教研室數學 胡 順

題目真的超綱了嗎

430030 武漢市教科院教研室數學 胡 順

湖北教育出版社出版的義務教育課程標準實驗教科書《練習冊》,2008年秋季學期八年級數學(上)第三章第二節中有一道思維訓練題.

如圖1,將Rt△ABC沿斜邊AB向右平移5cm,得到Rt△DEF.已知 AB=10cm,BC=8cm,求圖中陰影部分的周長.

很多地方的學生在做此題時,數學成績比較好的學生都只寫出了正確答案是12cm,沒有給出解答過程,問這些學生的答案是怎么得來的,學生都回答是猜的.老師們都評學生是對的,理由是：這道題目超綱,

圖1

要到八年級下冊學過相似圖形的性質過后才能給出解答過程,所以在這里學生猜出正確的答案就可以了.

筆者對此題的解法做進行探究,給出以下兩種解法,供同行們參考.

分析1 設BC與DF相交于點 G,連接 CF,考慮證△BDG≌△CFG.

解 如圖2,設BC與DF相交于點G,連接CF.

∵Rt△ABC沿斜邊AB向右平移5cm得到Rt△DEF,

圖2

∴陰影部分(△BDG)的周長為：3+4+5=12(cm).

點評 這一解法是筆者在聽公開課上與學生共同研究得出的,可能也是命題人希望的解法.解答過程中充分運用了圖形平移的性質：經過平移,對應點的連線段平行且相等,對應線段相等.此外還用到三角形全等的判定方法,具有一定的綜合性,對八年級的學生來說有一定的難度,但不失為考查學生運用平移的性質分析解決問題和訓練學生思維的好題,由此看來,題目根本就沒有“超綱”！事實上還能進一步研究.

分析2 設BC與DF相交于點G,注意到圖中的四邊形ADGC和四邊形EBGF都是直角梯形,且它們的面積相等,故可考慮用面積方法求解.

解 設BC與DF相交于點G,四邊形ADGC和四邊形EBGF都是直角梯形,則有

圖3

點評 這種解法綜合利用了平移的性質、梯形的面積公式及勾股定理,并滲透了方程組的思想,思路比較獨特,學生是能夠接受的,面積方法推理解題本來就是一種常見的方法,讀者注意體會這一解法.

下面再舉一個跟此題基本一致的例子.

如圖4,將Rt△ABC沿直角邊AB向右平移2個單位長度至△DEF,如果 AB=4,∠ABC=90°,且△ABC的面積為6,試求圖中陰影部分的面積.

分析1 由題意,可求得BC=3.連接CF,由平移的性質及題設條件證△BDG≌△CFG,進而求得BG的長,便可求出陰影部分的面積.

解答過程(略).

分析2 利用梯形ADGC與梯形BEFG的面積相等求解.

圖4

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