善用數學課堂錯誤 促進學生認知發展

●趙向陽 (陶朱初中 浙江諸暨 311800)

“錯誤”是指師生在認知過程中的偏差或失誤.在常規的數學課堂教學中，學生出錯是常見的現象，許多教師對此頭疼不已.事實上，學生出錯是正常現象，新課標在情感與態度的目標中明確提出：學生要能在他人的指導下，能夠發現數學活動中的錯誤并及時改正.在學生的學習過程中，“正確，有可能是一種模仿;錯誤，卻大凡是一種經歷”.學生的數學知識與能力水平在正確與錯誤的交錯下提升與發展，錯誤與正確是每個學生成長過程中必經的階梯.因此，教師應當正視錯誤，善用錯誤資源，借力于“錯誤”提高課堂教學的有效性，化“腐朽”為“神奇”.

1 預設錯誤，引發學生認知沖突

課堂上的錯誤，有些是教師能夠預料到的.教師通過認真鉆研教材，研究學情，憑借教學經驗，發現學生發生錯誤的規律，預設學生學習認知過程中可能發生的錯誤.教學不僅僅是單向地組織學生學習正確的知識，更重要的是讓學生在正確與錯誤之間不斷碰撞、思索、討論，從而展現多姿多彩、充滿挑戰的課堂.

1.1 預設錯誤，引入新知

弗賴登塔兒認為，數學學習是基于學生數學現實的數學化過程.一線教師普遍認為數學現實是學生已掌握的數學知識與相關的數學現實背景.實際上，數學現實也包括一些未能完全掌握的數學知識，數學的再創造也是可以以不正確的認知為出發點的.教師通過預設錯誤，引發認知沖突，從而導入新知.這樣，學生更有學習興趣，同時更容易留下深刻印象.

案例1 八年級數學上冊“直角三角形全等的判定”引入.

課始，投影展示一道幾何證明題過程如下：

例1 在△ACB和△A'C'B'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'，求 證：△ACB ≌△A'C'B'.

證明在△ACB和△A'C'B'中，因為

問題 請學生談談對這一道例題及證明過程的看法.

一部分學生很快發現證明過程中全等判定方法應用出錯，錯在SSA不是普通三角形的全等判定方法，并及時回顧全等三角形的判定方法.進一步提問：SSA判定普通三角形全等為什么不行?進而引導學生發現命題為真命題，引出直角三角形全等的判定方法，并探究這一命題的證明方法.

1.2 預設錯誤，辨析新知

對新知的認識，要從正、反面去理解.在新概念或新性質學習之后，利用預設的錯誤現象，引導學生在辨析中更加完整、全面地認知新知識，是學習新知識常用的方法.這種預設的錯誤有時來自教師提供的材料，但缺少親和力，教師應盡可能從學生問題解決過程中擷取看似隨意產生、實際上是預設的一些錯誤以供辨析.因為這些錯誤就發生在學生身邊，所以更有真實感與沖擊力.

案例2 七年級數學上冊“數軸概念”辨析.

師生共同合作將溫度計抽象成數軸并定義數軸，讓每個學生動手畫一條數軸，并與同桌交換自己所畫的圖形，交流所畫的數軸是否完整，如果不完整或不正確，記錄錯誤并加以完善.達成共識后，請學生匯報作圖過程中的一些錯誤(如圖1)，師生共同歸納畫數軸的注意點，強調數軸的三要素缺一不可.

圖1

1.3 預設錯誤，鞏固新知

在數學應用過程中，不同層次的問題，反映不同層次的應用水平，也反映學生新知掌握的不同程度.教材中的例題通常是針對大眾化的學生設計，面對真實有鮮活個性的學生，課堂教學往往會做適當的變化，一方面進行開放訓練或是探究數學應用，另一方面通過更高要求的變式問題發現學生中存在的問題.教師結合教學經驗和學生的認知水平，可以在教學中創設一些變式問題，挖掘出學生認知的局限性，進而更好地完善新知應用能力.

案例3 九年級數學上冊“圓的軸對稱性”的例題變式.

例2 已知(如圖2)，用直尺和圓規作這條弧的中點.

變式用直尺和圓規求作的四等分點.

圖2

圖3

圖4

2 捕捉錯誤，疏通學生認知盲點

許多學生課內外錯誤的產生具有隨機性，這些錯誤有些是可利用的認知錯誤，有些則是無價值的.對于極具教學價值的錯誤，教師要及時捕捉并遴選，加以合理利用，為高效的課堂增添色彩.

2.1 捕捉錯誤，開拓思路

正確的方法，可能就在錯誤的認識隔壁.發現錯誤、分析錯誤后，或溯源而上或背道而行，可能得到正確的思路.因此，在教學過程中，可以捕捉與解題相關的錯誤信息，或逆推或反向或發散分析，也是開拓思路的好方法.

案例4 中考模擬題講評：直角三角形面積平分.

例3 用12根相同的火柴棒首尾順次相接，搭成一個三角形(如圖5).若要平分這個三角形的面積，則至少還需要同樣的火柴棒 ( )

A.1根 B.2根 C.3根 D.4根

一次初三模擬考中有一道題來源于小學的數學智慧題，以考查學生的數學應用能力.大部分學生選擇C，理由是斜邊上的中線可以將面積平分，但中線長為2.5根火柴，故選C.而個別選擇正確答案B的學生反饋，也是根據2.5根猜答案不可能那么簡單，故猜B.在試卷講評課時，發現一部分學生不知道自己的答案是否正確，一部分學生知道自己的答案錯誤但不明白錯誤發生在哪里.學生的思維局限在分割后的圖形仍然為三角形，故有2.5根的結論，點破后，學生的思維就打開了，通過嘗試發現了2種分割方法(如圖6).

圖5

圖6

2.2 捕捉錯誤，探索創新

正確的思維是解決問題的成功途徑，那么錯誤的思維是否是解決問題時的失敗途徑呢?回答是否定的，一個錯誤的方法，也是基于相關的數學現象而產生的，只不過這個方法尚未完善，它可能是另一種問題解決的方法.錯誤也是成功的必經之路，甚至是創新的起點.

案例5 形如ax2=bx(a≠0)一元二次方程的特殊解法.

例4 解方程3x2=x.

一位學生在解此方程時，2邊同除以x得3x=1，從而 x=.教師沒有批評學生，而是引導學生與正確解法進行比較，比較正解與錯解的不同之處，分析錯解中漏解的原因是方程2邊同除以x時，忽略了x=0所造成的.找出問題所在后，教師就勢提出一問：你能將錯解補充成正確的解答嗎?學生在略微思考后，提出自己一個特殊解法：分類討論法.當x=0時，是方程的解，當x≠0時，解得x=，所以原方程的解為x=0，x=.經過認真

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思考，這位學生的解法得到了大家的認同，并在此基礎上，總結出形如ax2=bx(a≠0)的一元二次方程的特殊解法：分類討論法.

2.3 捕捉錯誤，及時糾正

不是所有錯誤都有利用價值，也不是所有錯誤都可以引發新方法與新思路.大部分錯誤的產生是因為學生的認知存在盲點，及時捕捉這些錯誤，共同解決，有利于學生及時清理知識盲區，從而實現高效課堂教學.

案例6 七年級數學上冊“用字母表示數”引例.

引例 一只青蛙一張嘴，二只眼睛四條腿，撲通一聲跳下水;二只青蛙二張嘴，四只眼睛八條腿，撲通撲通跳下水……

問題1 如果有更多數量的青蛙，那么這首兒歌該怎么唱?

問題2 如果青蛙的數量用字母n表示，那么這首兒歌又該怎么唱?

這個引例用了很多年，在初中數學課堂中基本都能順利地引入新課.有一次，與一位小學教師同課異構時出現了意外，一個小學生答“n只青蛙n張嘴，n只眼睛n條腿”，在座的學生中還有不少支持者.在這些學生的認知中，n是代表說不清、數不完的數，有些學生在網絡語言表達中會用“n多”.因此青蛙太多，數不清，用n代替，嘴太多，也是數不清，故也是用n代替，以此類推.此類錯誤不可馬虎，要及時捕捉，引導學生發現錯誤所在.當時筆者就引導學生將n取2代入得到“2只青蛙2張嘴，2只眼睛2條腿”，這顯然與前面事實相矛盾，并及時引導學生發現n并不是代表數不清的數，而是一個具體數量的代替.而青蛙、嘴、眼睛、腿之間存在著數量聯系，在字母表示數時，這種數量關系要通過代數式表示出來，學生在錯誤分析“n只青蛙n張嘴，n只眼睛n條腿”的基礎上及時糾錯得到“n只青蛙2n張嘴，2n只眼睛4n條腿……”.

3 反思錯誤，完善學生認知結構

錯誤是始終伴隨著學生學習過程的，學生在不斷糾正錯誤的過程中，應當學會處理錯誤更高層次的方法——反思錯誤.反思是一種主動“再認識”的過程，是思維的高級形式.培養學生的反思習慣，有助于學生更好的學習，但初中階段的學生畢竟在自控力方面有限，自主反思的習慣不易建立，往往需要一些方法督促其反思.

3.1 集錯

集錯，是廣大數學教師熟悉的引導學生整理學習的方法.事實證明，這是一個行之有效的方法.集錯本常用于收集作業或試卷中的錯題，側重在解題錯誤的整理，平時可以要求學生在問題邊空白處簡單注明錯誤的原因，學生用于復習查看效果較好.當然教師也應適當地整理學生的作業錯誤，積累經驗，為以后的復習或下一輪的教學提供參考.

3.2 記錯(日記)

每天選取課堂或課外的典型錯誤，不拘于作業或試卷，也可以是課堂學習中未明白的知識點等，并加反思，形成日記，有利于學生對錯誤進一步認識，也可以加深對正確認識的鞏固.記錯，應當有問題，有解決方案，有反思的完整錯誤認識過程，也是自身元認知水平發展的體現.

3.3 評錯

在反思錯誤過程中，要學會對錯誤進行合理的評價，對錯誤的產生要有合理對待的態度.產生錯誤是正常現象，糾正錯誤是自身的一種成長，而由錯誤引發創新思維就是一種自身成長的突破.學生不僅要對自身錯誤有公正的評價，同時對其他學生所產生的錯誤也應該有正確的評價.因此，正確評價錯誤，也是學習水平發展的代表.

追求高效的課堂教學，體現數學教學價值，是每一個數學教師的目標.我們應當重視課堂“意外”，關注學生的“錯誤”.“意外”、“錯誤”的應對，需要一定的教學智慧，這是教師多種教育能力的結合，需要我們在日常教學中做有心人，時刻留意學生的所思所想，關注學生的知識生成，當然也包括學生的錯誤生成，積極研究學生的錯誤，只有這樣才能取得更好的教學效果.