閾值協整中內生性解釋變量下參數推斷的比較

劉漢中

(湖南商學院 經濟與貿易學院，長沙 410205）

0 引言

目前，協整分析方法已經成為宏觀經濟或金融經濟學中的重要工具之一，在大多數的協整分析中，主要集中在協整關系的檢驗和協整參數的估計兩個方面，而對協整參數向量的推斷或長期關系檢驗(也常稱為參數的約束性檢驗)往往被忽視。實際上，對于協整參數的推斷有時候是十分必要的，如在購買力平價理論的檢驗中，只有協整參數滿足一定的數量關系時購買力平價理論才成立，這樣必須對協整參數進行約束性檢驗，只有當約束性條件成立時購買力平價理論才成立；在生產函數研究中，協整參數的推斷可以幫助我們判斷規模報酬是遞增、遞減或不變，如果參數之和大于1則認為是規模報酬遞增的，這時同樣要對協整參數是否滿足約束性條件進行檢驗。

閾值協整(Threshold Cointegration)是由Balke和Fomby(1997)[1]提出來的，從目前的文獻來看，閾值協整參數估計仍然是采用OLS法，因為OLS估計在閾值協整參數估計中仍然滿足超一致性。但是，根據Balke和Fomby(1997)的閾值協整定義[2]，參數的OLS估計量所構造的檢驗統計量必然呈現不同的性質，因為在閾值協整方程式中，隨機干擾項本身蘊含有非線性的自相關結構，常規的OLS估計程序通常會低估統計量的標準誤(Standard Error)，從而使得t統計量被高估，增大拒絕原假設的概率。同時由OLS估計量構造的F或Wald統計量也會被高估，從而引起協整參數推斷的誤導。另外如果在閾值協整中，解釋變量具有內生性時，同樣的問題是OLS估計量構造的t、F或Wald統計量不再具有標準的極限分布，其極限分布也依賴于冗余參數，常規的t、F或Wald檢驗已經失去意義，因此對閾值協整參數的修正估計并由此構造參數約束性檢驗統計量就顯得十分必要。本文擬這一研究背景下，利用三種修正的估計法來構造相應的檢驗統計量，展開對閾值協整參數的推斷，目的在于揭示三種修正方法在閾值協整參數推斷中適用性。具體而言，在有限樣本下，我們將通過對各種閾值協整設定下的三種估計法(FM-OLS、CCR和DOLS)所構造的檢驗統計量進行模擬并與標準正態分布進行比較，找出各統計量的經驗分布和標準正態之間的差距，找出影響各推斷方法與閾值協整參數設定和樣本容量變化的變化規律，揭示各種方法在閾值協整參數推斷中的適用性，從而提供適用于閾值協整參數推斷的估計方法。

1 閾值協整概述

其中Xt、Yt都是I(1)過程，μt是I(0)過程，且可以表示為一個平穩的自回歸過程。如果(1)式中的協整誤差項μt的數據生成過程(DGP)是以下閾值自回歸模型(TAR)：

根據Balke和Fomby(1997)的定義，有如下的模型：

其中：參數β是變量之間的閾值協整系數向量，γ是閾值變量，μt-1是轉換變量，則這時的協整被稱之為閾值協整。如果協整誤差項是形如式(2)的數據生成機制，則稱為兩機制的閾值協整；如果是形如式(3)的數據生成機制，則稱為三機制的閾值協整。閾值協整的誤差修正模型具有非線性調整機制，從而對變量短期變化產生不同的調節效應，所以閾值協整對應的ECM是長期均衡和短期波動的非線性階梯函數，這種非線性調節對于檢驗經濟學和金融學理論具有重要的意義(劉漢中，2007)。

如果上面的式(1)表示閾值協整時，隨機干擾項必須服從形如式(2)和(3)所示的TAR模型，且同時也要滿足平穩性。對于TAR模型的平穩性，Chan和Petruccelli等(1985)[3]提出了式(2)滿足平穩遍歷的充分條件，即；ρ×q＜1,ρ,q＜1 Bec、Salem和Carrasco(2004)[4]提出了式(3)的平穩遍歷性條件，即θ×λ＜1,θ,λ＜1，且不論中間機制數據過程是否為單位根過程。

2 閾值協整參數估計法以及相應估計量的極限分布

2.1 FM-OLS估計及其估計量極限分布

其中隨機干擾項μ1t是形如式(2)或(3)所示的TAR模型，協整系統的隨機干擾項向量μ'=(μ'1,μ'2)'，協整向量表示為β'=(α,γ')'，μ的長期方差-協方差分塊矩陣可以表示為：

在（5）式中如果矩陣 Σ21不為0，說明閾值協整方程的隨機干擾項與解釋變量是相關的，即Y2t不滿足嚴格外生性，則閾值協整系數的OLS估計不再具有漸近的正態分布。

1t,2t分別表示協整系統的OLS估計殘差或殘差向量。將式(4)的閾值協整方程兩邊同時減去項得到：

根據Phillips和Hansen(1990)，我們很容易證明參數的FM-OLS估計量具有以下的極限分布：

其中是閾值協整模型在FM-OLS估計量下的隨機干擾項的長期方差。因此閾值協整參數的FM-OLS估計量的極限分布為正態的，由此所構造的t統計量具有標準正態的極限分布，且對參數的約束性檢驗所構造的Wald統計量具有標準的極限分布。

2.2 正則協整回歸(CCR)法以及相應的極限分布

基于(4)所示的三角形表述，長期的方差-協方差矩陣可以分解為：矩陣可以表示為則CCR方法的數據過程變換如下：

對(12)進行OLS估計就是閾值協整參數的CCR估計量，同時在(12)式中已經消除了內生性。根據Park(1992)，我們很容易得到閾值協整參數的CCR估計量具有FM-OLS估計量相同的極限分布，其中ω11?2是(12)式的隨機誤差項的長期方差。同樣基于該估計量構造的Wald統計量具有漸近的χ2分布，構造的t統計量具有漸近的標準正態分布。

2.3 動態OLS估計(DOLS)

與非參數的FM-OLS和CCR方法不同，DOLS是基于協整回歸式，加入解釋變量的一階差分項的超前(Leads)與滯后(Lags)作為回歸方程的解釋變量，這樣可以消除解釋變量的內生性，然后再針對新的回歸模型進行OLS估計，以此求得閾值協整參數的估計量。用公式表示如下：

通過對上式進行OLS回歸，求得參數α、γ的OLS估計量就是閾值協整參數的DOLS估計量，并且根據Stock和Watson(1993)和Hayashi(2000)，可以得到：

其中表示閾值協整參數向量的DOLS估計，要特別注意的是向量不包括α和πi參數的估計量，即(14)式只對長期協整參數是成立的，而對截距和差分項前面的參數是不成立的。另外表示模型(13)中的隨機干擾項εt的長期方差。由此可見，DOLS估計量所構造的t統計量和Wald統計量具有漸近的標準分布，即分別趨于標準正態分布與標準的χ2分布，這樣可以利用標準分布對閾值協整回歸參數進行統計推斷。

從上述分析看，三種修正估計量具有相同的極限分布，其方差-協方差矩陣都包含有隨機誤差項的未知的長期方差參數，因此必須要對其進行估計。本文以DOLS法下的長期方差估計為例，由于(13)的設定并不能保證隨機誤差項εt不存在自相關，因此長期方差的估計可以采用以下方法來估計：①擬合殘差εt的AR(L)自回歸模型；②計算是隨機干擾項的方差估計，Den Haan和Levin(1996)[7]認為該估計量是殘差長期方差的一致估計量，滯后階L可以通過赤池信息準則(AIC)或貝葉斯準則(BIC)來確定。另外對于(14)式的滯后階K的確定：運用AIC、許瓦茲信息準則(SC)或利用一般到特殊的建模步驟來確定最佳階數(Ng和Perron，1995)[8]。

這三種協整參數的修正估計法都是通過適當的變換，消除解釋變量的內生性，從而使得估計量具有標準的極限分布，避免了由于協整變量的內生性而導致的參數OLS估計量的非標準分布問題，因此極大地方便了協整參數的推斷，同時也減少了OLS估計量的小樣本偏差。另外劉漢中(2010)[9]已經證實三種修正方法都能修正閾值協整參數OLS估計的小樣本偏差，但是通過三種估計法來對閾值協整參數的約束性檢驗進行推斷，目前的研究還很少，因此本文正是出于這一目的，將對三種估計量在參數約束性檢驗中的適用性進行研究，尤其是閾值協整變量是內生性變量時，協整參數的約束性檢驗進行研究，在此基礎上提出最適宜的修正估計法。3Monte-Carlo模擬設計及其結果

利用三角形表述設定以下的閾值協整系統，為了簡單起見也不影響一般性，Y1和Y2設定為一維的I(1)單位根過程：

其中μ1t服從TAR(1)模型，說明Y1和Y2之間存在閾值協整。如果μ1t設定為(2)式的TAR模型，則認為是兩機制的閾值協整；如果是(3)式則是三機制閾值協整。隨機干擾項εt設定為：

模擬中σ21分別取0、0.4和0.8，當σ21=0 時說明(15)中的解釋變量是嚴格外生的，否則是內生變量。ε1t～iidN(0,1)，ε2t可以通過ε1t和 Σ 的Cholesky分解而得到，樣本容量分別為50和200，真實的協整參數設定為α=1,β=2，模擬中集中討論長期參數β的估計量10000次再進行標準化，觀察與標準正態分布之間的差距。在DOLS的模擬中，利用AIC準則來確定階數K，K的最大值是不超過12(T/100)14的最大正整數(Kurozumi和 Hayakawa，2009)[10]。長期方差估計中的AR(L)的滯后階L采用AIC準則。

在閾值協整中，為了保證數據過程中包含有閾值效應，在兩機制中設定ρ1=0.4和ρ2=0.55,0.99，閾值γ=0.2；由于在模擬中發現三機制的閾值協整情形與兩機制閾值協整相同，三機制閾值協整并沒有包含很多信息，所以只列出了兩機制閾值協整模擬結果。

3.1 各種估計的標準化量和標準正態的比較

圖①是設定，取0.8時的核密度估計圖，圖a、b、c是ρ2=0.55，σ21分別報0、0.4和0.8；圖d、e和f是ρ2=0.99，σ21分別取0、0.4和0.8，樣本容量取200。

從圖1可以得到：①FM-OLS和CCR估計量比其他估計量更接近標準正態，即使是在沒有內生性的情況下也如此，因為其分位數更加靠近標準正態分位數；②在系數ρ2保持不變的情況下，隨著σ21的增加，即內生性程度增加，OLS、CCR和DOLS估計量的分位數會增加，且都要大于對應的標準正態分位數，而FM-OLS估計量要小于相應的標準正態分位數，這說明隨著內生性程度加強，OLS、CCR和DOLS有過度拒絕原假設的概率，其中OLS具有最大的拒絕概率，而FM-OLS有過度接受原假設的概率，增加速度由快到慢的順序是OLS→DOLS→CCR→FM-OLS；③σ21保持不變時，隨著參數ρ2的增加，各估計量的分位數呈增加趨勢，尤其OLS估計量的分位數增加更快，所以各方法有過度拒絕原假設趨勢，OLS法拒絕原假設的概率最大，增加速度由快到慢的順序也是OLS→DOLS→CCR→FM-OLS。

圖1 各種估計量的分位數與標準正態分布分位數的對照圖

圖2 各估計量的核密度估計圖與標準正態圖的比較

3.2 收斂到標準正態分布的速度研究

圖2是設定ρ2=0.55，σ21取0.8時的核密度估計圖，樣本容量分別為50和200，圖a是OLS估計的核密度估計，b、c和d分別是DOLS、FM-OLS和CCR的核密度估計圖。在圖b中沒有給出T＝50時的DOLS估計分布圖，主要原因是DOLS估計量在T=50時非常發散，即方差很大，在一個圖中很難分辨。

從圖2來看：①OLS和DOLS估計量的右偏程度較大，而FM-OLS和CCR右偏相對較小；②隨著樣本容量增大，收斂到標準正態的速度快到慢的順序是FM-OLS→CCR→DOLS→OLS。值得注意的是，當T=50時，FM-OLS估計量分布很接近標準正態分布，而隨著樣本容量的增加，FM-OLS估計量開始左偏，說明FM-OLS估計量所構造的t統計量有可能會過度接受原假設；③隨著樣本容量增加，OLS估計量經驗分布幾乎沒有發生變化，說明即使在樣本容量更大時，OLS估計量構造的t統計量過度拒絕原假設的概率不會減少。

4 結論

閾值協整在交易成本和固定調節成本等經濟分析中具有越來越廣泛的應用，但是已有的對閾值協整參數的統計推斷研究成果尤其太少，同時在閾值協整分析中常被忽略的問題是閾值協整變量的內生性問題，在實際經濟分析中常常假定變量是嚴格外生的，這嚴重地違背了現實經濟問題，本文也正是在這一基礎上展開對閾值協整參數推斷的研究。另外在具有內生性的閾值協整中，靜態的OLS估計量不僅具有小樣本偏差，而且由于丟棄了來自內生性變量的信息，因此基于OLS估計量的參數的約束性推斷有可能存在誤導。鑒于此，本文一方面研究修正的閾值協整參數估計——FM-OLS、CCR和DOLS估計及其極限分布，另一方面又在小樣本條件下，MC模擬研究各標準化估計量與標準正態分布的差距。我們的模擬結果表明：①隨著閾值協整的非對稱程度增加和內生性程度增強，所有估計量與標準正態分布的差距會增大，增大的速度由快到慢的順序是OLS→DOLS→CCR→FM-OLS，并且除FM-OLS估計量外，其他估計量拒絕原假設的概率也會以同樣的順序增加；②隨著樣本容量的增加，在其他條件不變的情況下，收斂到標準正態分布的速度由快到慢的順序是FM-OLS→CCR→DOLS→OLS，且隨著樣本容量增加，FM-OLS估計量由很接近標準正態分布到越來越左偏，因此在樣本容量較大時，FM-OLS極有可能會過度接受原假設；③因為隨著樣本容量的增加，OLS估計量的經驗分布幾乎不發生變化，因此無論是否存在內生性，修正估計量都比OLS估計量有優勢，這說明修正的閾值協整參數估計法不僅可以減少OLS估計量的小樣本偏差，而且也能更加準確地進行參數的約束性檢驗。

綜上所述，在應用閾值協整進行經濟學分析時，由于實際經濟中樣本容量的限制，我們認為無論是協整參數的估計，還是參數的約束性檢驗，都應該首選FM-OLS方法，其次是CCR方法，而其他方法如DOLS法和OLS法都存在較嚴重的過度拒絕原假設傾向，即具有較嚴重的檢驗水平扭曲。

[1]Nathan S.Balke，Thomas B.Fomby.Threshold Cointegration[J].International Economic Reviews,1997,38（3）.

[2]劉漢中.Ender-Granger方法在協整檢驗中的應用研究[J].數量經濟技術經濟研究,2007，(8).

[3]Chan,K.S,Petruccelli,J.D.,H.Tong.A Multiple Threshold Model AR(1)Model[J].Journal of Applied Probability,1985,22(2).

[4]Frederique Bec,Melika Ben Salem，Marine Carrasco.Tests for Unit-root Versus Threshold Specification with an Application to the Purchasing Power Parity Relationship[J].Journal of Business&Economic Statistics,2004,22(4).

[5]Whitney K.Newey,Kenneth D.West.A Simple,Positive Semi-definite,Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix[J].Econometrica,1987,（3）.

[6]Newey Whitney,Kenneth West.Automatic Lag Selection in Covariance Matrix Estimation[J].Review of Economic Studies,1994,61(4).

[7]W.J.Den Haan，Andrew Levin.Inferences from Parametric and Non-parametric Covariance Matrix Estimation Processes[C].Technical Working Paper,National Bureau of Economic Research,1996.

[8]Ng and Perron.Unit Root Tests in ARMA Models with Data-dependent Methods for the Selection of the Truncation Lag[J].Journal of the American Statistical Society,1995,90(1).

[9]劉漢中，李陳華.閾值協整參數修正估計法的小樣本性質比較研究[D].工作論文，2010.

[10]E.Kurozumi，K.Hayakawa.Asymptotic Properties of the Efficient Estimators for Cointegrating Regression Models with Serially Dependent Errors[J].Journal of Econometrics,2009,149，（2）.