可變抽樣區間的幾何EWMA控制圖設計

薛麗

（鄭州航空工業管理學院 管理科學與工程學院，鄭州 450000）

0 引言

c圖是由休哈特博士首先提出的，主要應用于監控產品缺陷數。由于傳統的休哈特控制圖的統計變量是由當前觀測值得出的,忽略了大量的歷史信息，因而它只對過程出現的大偏移靈敏。為了更好地監控過程的微小波動，羅伯特于1959年提出了EWMA控制圖[1]，由于它將整個歷史信息進行累積，故對過程的小偏移比較靈敏[2]。傳統的c圖是建立在過程服從泊松分布這個假設基礎上，但是，事實上這個假設在使用中很少能得到證實，其分布經常服從幾何分布[3]。因此,針對計數型質量特征值,為了能更有效地發現過程均值的微小變化,本文擬在單位缺陷數服從幾何分布的假設下,提出幾何EWMA控制圖模型。為了提高控制圖的監控效率，Reynolds等[4]提出了具有可變抽樣區間的休哈特均值控制圖,由此形成了動態控制圖這一新的研究領域[5～8]。眾多學者研究表明,可變抽樣區間控制圖較固定抽樣區間控制圖具有很大的優越性,它可以顯著提高控制圖的效率。因此,本文將對幾何EWMA控制圖進行可變抽樣區間設計,并且利用馬爾可夫鏈方法計算出其平均報警時間,以期證明,與固定抽樣區間幾何EWMA控制圖相比,可變抽樣區間幾何EWMA控制圖在過程失控時具有較短的平均報警時間,從而能夠更有效地提高生產效率。

1 幾何EWMA控制圖描述

傳統的c圖建立在過程服從泊松分布這個假設的基礎上，但事實上這個假設在使用中很少能得到證實，其分布經常服從幾何分布：

若取樣本容量為n，則在一個樣本中的總缺陷數就可以表示為Y=x1+x2+...+xn，它服從負二項分布：

由于服從的是負二項分布，則Y的均值和方差為：

若要用EWMA控制圖對這個過程進行監控，可以定義幾何EWMA統計量為：

根據（3）、（4）可得：

當t充分大時，可以得到Zt方差的漸進形式：

其中，λ為平滑系數。則幾何EWMA控制圖的控制限UCL，LCL和中心線CL分別為：

其中，k1為上控制限系數，k2為下控制限系數，且k1≥k2。因為X1,X2,...,Xn獨立同分布于參數為p的幾何分布，所以由（4）式知幾何EWMA統計量Zt為非負數。當下控制限小于或等于0時，對過程均值的向下偏移就不會發出報警信號，即不能檢測出過程的向下偏移，所以這時取k1≠k2就很有必要。

2 可變抽樣區間的幾何EWMA控制圖

可變抽樣區間(VSI)控制圖是指抽樣區間不固定且依賴于當前樣本統計量值變化的控制圖,為了簡單起見，常考慮兩個抽樣區間：長抽樣區間和短抽樣區間。其設計思路為:如果當前樣本統計量值非常靠近但不超出控制限,則等待較短的時間抽取下一個樣本以較快地發現過程的變化；如果當前樣本統計量值靠近中心限,表示過程穩定,則等待較長的時間抽取下一個樣本以避免不必要的浪費。自從Reynolds于1988年[4]提出了可變抽樣區間控制圖以來，許多學者均對它進行了研究，其中Saccucci等于1992年[6]提出了可變抽樣區間的EWMA控制圖。他們的研究均表明，可變抽樣區間控制圖較固定抽樣區間(FSI)控制圖具有很大的優越性,它可以顯著提高控制圖的效率,使得失控過程能夠及早被發現,從而可以提高生產效率。

2.1 幾何分布下VSI EWMA控制圖的設計

對幾何EWMA控制圖進行可變抽樣區間設計時,將控制圖上的界限分為中心線、警戒限和控制限,警戒限位于中心線和控制限之間,上下警戒限分別記為UWL、LWL,如圖1所示，并定義：

其中w1為上警戒限系數，w2為下警戒限系數，且0＜w1＜k1,0＜w2＜k2。則控制圖的受控區域被分成中心域與警戒域兩部分,區間I1=[LWL,UWL]為中心域，I2=[UWL,UCL]U(LWL,LCL]為警戒域。選取兩個抽樣區間長度h1和h2，且h1＞h2＞0，若樣本點落在安全域(LWL≤Zi≤UWL),則下一個抽樣區間為h1；若樣本點落在警戒域（UWL＜Zi≤UCL或LCL≤Zi＜LWL）,則下一個抽樣區間為h2；若樣本點超出控制限（Zi＞UCL或Zi＜LCL）,則報警。

2.2 幾何分布下VSI EWMA控制圖的平均報警時間

在統計控制過程中，一般采用平均運行長度ARL來度量控制圖的性能，但對于可變抽樣區間控制圖，由于它的抽樣間隔是變化的，無法采用平均運行長度進行比較，于是，我們采用另外一種控制圖評價標準：平均報警時間ATS。平均報警時間是指從過程發生偏移到控制圖發出報警信號所需的平均時間。當過程處于受控狀態時,為了使過程發生第一類錯誤的概率很低ATS越大越好,當過程處于失控狀態時,為了使得失控過程能夠及早被發現ATS越小越好。關于ATS的計算方法有很多,如馬爾可夫鏈方法,積分方程方法以及蒙特卡洛模擬方法等，本文采用馬爾可夫鏈方法計算幾何分布下VSIEWMA均值控制圖的平均報警時間。具體過程如下：

圖1 可變抽樣區間控制圖控制區域的劃分

將第j個區間的中間點記為mj，則：

將從狀態Ei(i=1,2,...,2m+1 )一步轉移到狀態Ej的概率記為pij，則：

其中，k0表示中心線處于狀態Ek0即過程在開始時處于第k0個狀態。如果控制圖的上下控制限系數k1=k2時，k0=m+1，即過程在開始時中心線處于狀態Em+1。

3 兩種控制圖的比較

要對不同控制圖的控制效果進行比較,應使這些控制圖處于同樣的條件下,一般使受控時的平均運行長度相同，然后比較失控時的平均運行長度。因為可變抽樣區間的幾何EWMA控制圖的抽樣區間不固定，故使控制圖在受控狀態時具有相同的平均報警時間ATS，進而比較失控狀態的受控平均報警時間，使其最小的控制圖監控效果較好。固定n,h1,h2,w1,w2,λ的值，選取合適的k1,k2使得在過程受控時控制圖具有相同的ATS，然后計算過程失控時的ATS進行比較，ATS越小控制圖的監控效果就越好。

4 結論

表1 P0=0.05,(h 1,h2)=(1 .5,0.6)時VSI與FSI幾何EWMA控制圖的ATS的比較

表2 P0=0.05,(h 1,h2)=(1 .05,0.8)時VSI與FSI幾何EWMA控制圖的ATS的比較

表3 P0=0.1,(h 1,h2)=(1 .5,0.6)時VSI與FSI幾何EWMA控制圖的ATS的比較

表4 P0=0.1,(h 1,h2)=(1 .05,0.8)時VSI與FSI幾何EWMA控制圖的ATS的比較

表1～4分別給出了n=1，w1=2，w2=1時，λ,δ,h1,h2取不同值時可變抽樣區間幾何EWMA控制圖和固定抽樣區間幾何EWMA控制圖的ATS。

由表1～4中的數據可以看出，在過程處于受控狀態(δ=1)并且兩種控制圖的平均報警時間ATS相同的情況下,失控時(δ≠1)VSI幾何EWMA控制圖較FSI幾何EWMA控制圖的平均報警時間ATS要小。例如表3中，當λ=0.2時，過程受控時，FSI和VSI幾何EWMA控制圖的ATS分別為230.62和230.94基本相同，而當δ=1.3時，FSI幾何EWMA控制圖的ATS為34.34，VSI幾何EWMA控制圖的ATS為27.68。由此可以看出，在同一條件下，當過程發生變化時，VSI幾何EWMA控制圖比FSI幾何EWMA控制圖具有較小的平均報警時間ATS，進而能更快地發現過程中的偏移。

本文對單位缺陷數服從幾何分布時的情形，設計了幾何EWMA控制圖，并對它進行可變抽樣區間設計。用馬爾可夫鏈方法計算可變抽樣區間幾何EWMA控制圖的平均報警時間。通過兩種控制圖的對比研究表明，VSI幾何EWMA控制圖較常規的FSI幾何EWMA控制圖具有很大的優越性,它可以降低系統的平均報警時間,減少產品的不合格率，從而提高生產效率。

[1]Roberts S.W.Control Chart Tests Based on Geometric Moving Averages[J].Technometrics,1959,(1).

[2]Roberts S.W.A Comparison of Some Control Chart Procedures[J].Technometrics,1966,(8).

[3]Xie M.,Goh T.N.The Use of Probability Limits for Process Control Based on Geometric Distribution[J].International Journal of Quality&Reliability Management,1995,(1).

[4]Reynolds M.R.Jr,Amin R.W.,Arnold J.C.X-bar Charts with Variable Sampling Intervals[J].Technometrics,1988,30(2).

[5]Reynolds M.R.Jr,Amin R.W.,Arnold J.C.CUSUM Charts with Variable Sampling Intervals[J].Journal of Quality Technology,1990,32(4).

[6]Saccucci,M.S.,Amin,R.W.,Lucas,J.M.Exponentially Weighted Moving Average Control Schemeswith Variable Sampling Intervals[J].CommunicationsinStatistics-SimulationandComputation,1992,21(3).

[7]Reynolds M.R.Jr,Arnold J.C.EWMA Control Charts with Variable Sample Sizes and Variable SamplingIntervals[J].IIETransactions,2001,33(6).

[8]吉明明,趙選民,唐偉廣.可變抽樣區間的非正態EWMA均值控制圖[J].系統工程,2006,24(11).

[9]Montgomery,D.C.Introduction to Statistical Quality Control4thEdition[M].Chichester:John Wiley&Sons Inc,2001.