基于非線性多目標規劃的最優壽險投資組合模型

劉孟暉

（鄭州大學 商學院，鄭州 450001）

0 引言

進入21世紀以后，我國壽險業務快速發展，取得了巨大的進步。2000～2008年，壽險業務原保險保費收入由851.17億元上升到6658.37億元，年均增幅高達29.32%；在此期間，壽險業務原保險保費收入占原保險保費收入的比重也由52.90%上升到68.05%[1]。保費收入的快速增長，為我國保險市場積累了大量可用資金。截止2008年底，我國保險公司總資產高達33418.83億元，其中壽險公司總資產為27138.45億元；資金運用余額30552.83億元[2]。按照同樣的比例進行測算，可以估算出我國壽險公司可用資金余額在25000億元左右。如此龐大的壽險可用資金，應如何選擇最優的投資組合，才能使投資收益最大、風險最小，成為中國壽險公司所面臨的首要問題。然而，目前的現狀是：中國壽險公司資金投資效率低下，且投資渠道單一，過分依賴銀行存款[3]。從資金特點來看，與財產保險資金相比，壽險資金一般為長期資金，對流動性的要求相對較低，適合進行長期投資，獲取穩定的投資收益。Davis（2000）指出：壽險資金和養老金投資特點也不完全一致，盡管一般限制對壽險資金的損害更小，但謹慎規則也是一個較好的選擇。由此可見，壽險資金投資對穩定收益要求較高。然而，與收益相伴隨的，是壽險資金運用過程中的風險，構建壽險公司最優投資策略時，需綜合權衡收益和風險之間的關系。基于這樣的考慮，本文擬從一系列假設出發，構建壽險公司投資組合的非線性多目標規劃模型，并對模型最優解的存在性進行論證；最后結合中國的實際數據，對壽險公司的最優投資組合進行驗證。

1 壽險投資組合的非線性規劃模型

1.1 模型假設

為了方便建模和分析計算，在不失模型一般性的情況下，本文作出如下假設：

（1）資本市場是有效的。資本市場存在大量的投資者，壽險公司作為法人參與投資，是價格的接受者。投資者是理性的，他們完全根據投資產品的收益和風險情況追求相同收益水平下的風險最小化組合，或者相同風險情況下的收益最大化組合。

（2）不存在交易成本和稅收。資本市場是無摩擦的，不存在交易成本，所有投資者擁有的信息完全相同，且對投資產品具有相同的預期。同時，不考慮稅收因素的影響，投資者所獲得的投資收益可以全部進行下期的投資。

（3）所有投資產品的期限均可以劃分為若干個相等的時期。投資者在期初進行投資，期末獲得資本金和投資收益。在以上基本假設的基礎上，本文進一步假設資本市場存在1種無風險投資產品和n種風險投資產品。投資者在時期t進入資本市場，可以在(n+1)種投資產品上分配自己的投資。無風險投資產品存在確定的收益率r0，標準差為σ0；風險投資產品的收益率是隨機的，分別為r1,r2,...,rn，標準差分別為σ1,σ2,...,σn。壽險公司A把可用的壽險資金投資于這(n+1 )個壽險投資產品，形成一個壽險資金投資組合，其在每種壽險品種投資比例分別為ω0,ω1,ω2,...,ωn，則比例滿足ω0+ω1+ω2+...+ωn≤1。根據馬科維茨（Markowitz，1952,1959）的均值——方差模型可以得到該投資組合的收益為：

該投資組合的風險為：

1.2 非線性多目標規劃模型

約束條件1：壽險公司的投資組合滿足

r0代表無風險收益率，在不考慮通貨膨脹的條件下，r0是一個大于0的數。該約束條件表明壽險公司選擇投資于有風險的產品時，必須要獲得比無風險投資產品更高的收益水平，如果這個條件不能得到滿足，理性的壽險公司將會選擇無風險投資產品，而不會選擇承擔風險把壽險資金投入到其它產品。

這是一個投資產品的投資比例限制條件。一般情況下，為了保證壽險投資資金的安全性，監管部門通常會對壽險資金投資于某種風險產品進行比例限制。考慮約束條件1、2和3，可以得到投資組合模型為：求解非線性多目標規劃問題P1，就可以得到壽險公司的最優投資結構。在已知各投資產品的收益率的情況下，可以得出最優投資結構中壽險公司在各投資產品上的比例。

2 模型最優解的存在性

對于多目標規劃問題，常用的解法是化多為少，將多目標問題轉化為單目標問題。考慮線性加權和法，引入變量α（收益風險偏好系數），并把最大化問題轉化為最小化問題，得到新的目標函數：

收益風險偏好系數α代表著壽險公司對收益與風險的偏好程度：若α取值較大，表明壽險企業更注重投資帶來的風險，是一種保守型的投資策略；若α取值較小，表明壽險企業更注重投資帶來的收益，是一種冒險型的投資策略。

加上P1規劃中的約束條件，成為一個非線性多目標約束規劃問題P2，即

由于規劃問題為凸規劃，其目標函數f(x)為凸函數，R為其可行域，對任一給定實數ε，滿足R={x|f(x)≤ε}任取兩點x1∈R1，x2∈R1，則有f(x1)≤ε，f(x2)≤ε。取α(0＜α＜1)，因為f(x)為凸函數，故：

可以看出：該目標函數是關于ωi的非線性函數，約束條件是關于ωi的線性函數。求解帶有約束條件的非線性規劃問題的最優解，首先需要如下定義。

定義1若目標函數f(x)為凸函數，約束條件gi(x)為凹函數，則規劃問題P2為凸規劃。

如果規劃問題P2滿足定義條件，可以進一步給出如下定理。

定理1若規劃問題為凸規劃，一定存在局部最優解，且局部最優解為全局最優解。

證明：

首先證明局部最優解的存在。

因此，αx1+(1 -α)x2∈R1，故R1為凸集，存在局部最優解。

其次，證明局部最優解為全局最優解。

由于f(x)為凸函數，故：

化簡得到：

由此可以得出，x*是全部極小值。證畢。

3 實證

運用上述定義和定理，可以計算壽險企業最優投資組合問題。根據我國《保險法》規定，我國保險資金運用形式有：銀行存款、買賣債券、股票、證券投資基金份額等有價證券、投資不動產和其他資金運用形式，其中，銀行存款可作為無風險投資產品，對于其收益率，本文用一年期銀行存款利率代表，取r0=0.0238，其對應風險=0；其他幾種投資產品為風險產品，其收益率和風險，用2004～2008年的平均水平表示，具體結果如表1。

為了衡量風險投資產品的風險狀況，需要計算σij。根據協方差σij的特點，當i=j時，滿足σij=σii=；當i≠j時，滿足σij=σji，且σij=ρijσiσj，其中，ρij為資產i和資產j之間的相關系數， ||ρij≤1，ρij=ρji。根據表1的4種風險投資產品的年收益率數據，計算得到其相關系數如表2所示。

根據表1的風險（收益的標準差）數值和表2的相關系數數值，可以計算5種風險投資產品投資組合的風險。用ω0，ω1，ω2，ω3，ω4和ω5分

別代表投資于銀行存款、股票、國債、企債、基金和不動產的比例。《保險資金運用管理暫行辦法》明確規定保險資金在各種風險產品上的投資比例要求，即ω1+ω4≤0.2，ω3≤0.2，ω4≤0.15。規劃問題P2具體化為規劃問題P3。

表1 風險投資產品收益與風險狀況

表2 風險投資產品的相關系數矩陣

容易驗證，該規劃問題是一個凸規劃，存在全局最優解。利用軟件WinQSB，給定不同的收益風險偏好系數α值，可以得到表3的計算結果。

由計算結果可知：收益風險偏好系數α值反映了壽險公司不同的收益與風險偏好程度，壽險公司具有多樣化的投資組合選擇；隨著收益風險偏好系數α值逐漸增大，壽險公司投資于銀行存款和國債的比例逐漸增大，對應的投資組合收益和風險逐漸下降，滿足風險與收益正之間的正向關系；隨著α值逐漸增大，壽險公司投資于企債的比例基本保持不變，均接近20%；隨著α值的改變，投資于股票和基金的比例變化較大，這兩種投資品并非壽險公司投資的主要形式。之所以存在這樣的組合結果，與銀行存款、國債和企債的低風險狀況有關，相對而言，股票和基金具有較大的投資風險，與壽險資金對穩定收益要求較高的特點不一致，使得這兩種選擇無法成為壽險公司投資的主要形式。

進一步分析組合收益與風險的關系，當α值由0.5降低到0.2時，風險增加幅度較小，而收益出現了較大幅度的上升，這主要得益于股票投資比例的上升所致，表明了壽險公司在股票投資方面仍存在較大的操作空間。

表3 投資組合模型計算結果

4 結論

在一系列假設條件的基礎上，本文建立了壽險資金的非線性多目標規劃模型，提出了最優解存在性定理，并利用中國金融市場相關數據進行了實證分析。所得結論表明：

(1)壽險公司最有投資組合模型是一個凸規劃，存在最優解，且最優解為全局最優解。

(2)壽險公司具有多樣化的投資組合選擇。在不同的投資組合情況下，壽險公司存在不同的壽險和風險偏好，反映了壽險公司對風險和收益的權衡。

(3)因為較低的風險水平，銀行存款、國債和企債仍為壽險公司投資選擇的主要形式，基金和股票投資因為風險水平較高而無法成為壽險公司投資的主要形式。

[1]中國保險年鑒編委會.中國保險年鑒2009年[M].北京：中國保險年鑒編輯部，2009.

[2]中國國家統計局.中國統計年鑒2009年[M].北京：中國統計出版社，2009.

[3]庹國柱，尹中立，朱俊生.論我國保險資金運用的危機[J].保險研究，2003，88（2）.

[4]Davis E P.Portfolio Regulation of Life Insurance Companies and Pension Funds[C].Brunel University Economics and Finance Working Papers,2000.

[5]Markowitz H.Portfolio Selection[J].The Journal of Finance，1952,7（1）.

[6]Markowitz H.Portfolio Selection-Efficient Diversification of Investments[M].New York:Wiley,1959.