約束阻尼管動態特性分析方法與應用

楊瓊梁，劉靖華，陳 健，唐國安

(1.復旦大學 力學與工程科學系，上海 200433;2.上海宇航系統工程研究所，上海 201108)

為了改善衛星在發射過程中的動力學環境，避免設備儀器因過大的振動而損壞，提高任務的可靠性，通常在振動傳遞路徑上附加約束阻尼層，用來消耗振動機械能，降低衛星對振動沖擊的響應［1，2]。常見的有:在衛星和適配器之間引入帶有阻尼材料的隔振器［3－5];將約束阻尼層布置在適配器上［6]。由于粘彈性阻尼材料的力學性能不同于一般的線彈性材料，在結構引入粘彈性阻尼材料后，其損耗因子等隨著頻率改變，對其進行動力學分析將遇到困難［7]。

本文以帶約束阻尼層的空心圓管作為研究對象，建立這一類阻尼管的數學模型，為阻尼管各項幾何及物理參數設計提供方法，通過擬合及變換將不同頻率下阻尼管的動剛度以一組參數表示，將其表示為能夠嵌入結構通用有限元程序(NASTRAN)的形式，便于含阻尼部件的結構的整體動力學分析。

1 具有支撐功能的約束阻尼管的構型和力學性能分析

具有支撐功能的約束阻尼管由外管、內管和填充在中間的粘彈性阻尼材料構成。其中，外管是主要承力構件，通常用鋁合金等金屬材料構成，內管主要用于約束阻尼層的表面位移增加阻尼層的變形量，通常用鋁合金或者碳纖維構成。在振動時，由于內管和外管位移量不同，導致中間的阻尼材料發生剪切變形，從而使得振動機械能轉變為熱能耗散掉。

在阻尼管的設計中要綜合考慮多方面的因素，一方面要盡量提高減振耗能的效果，即使得阻尼材料盡可能大的發生剪切變形，通常可以通過降低外管剛度并增加內管剛度來實現;另一方面又要使得阻尼管的剛度、質量等滿足結構整體的剛度、質量等要求及限制。其次又要考慮阻尼材料填充量對減振性能的影響。為此，希望建立阻尼管關于上述一些幾何及物理參數的數學模型，例如總體長度、內外管壁厚和剛度、阻尼材料長度等等。得到動剛度、損耗因子等在該數學模型下的解析解，以便對以上參數進行優化設計，達到最佳的減振效果。

圖1 阻尼管軸向剖面圖Fig.1 Profile of the axial direction of the damping pipe

下面推導計算交變軸向力作用下，阻尼管的軸向動剛度和損耗因子。

其中，外管外徑為D0、壁厚為T0，內管外徑為 Di、壁厚為Ti，阻尼層厚度為Tv=(D0－Di)/2－T0，外管長度為L0，內管長度為Li，阻尼層填充長度為Lv。

由于阻尼管結構在軸向是對稱模型，以下推導沿阻尼管對稱軸取右半部分，并且取內外管長度的一半同為L。邊界條件變為左端內外管固定，在另一端外管上施加軸向簡諧力F=F*eiωt。以下將根據基本力學關系以及必要的假設，推導出右端的位移響應 u(ω)eiωt。

圖2 阻尼管右側示意圖Fig.2 Profile of the right－ half of the damping pipe

假設內外管均為薄壁結構，且不計內外管的剪切變形，取平行于軸線截面長度為d x的微元分析其受力情況，在結構振動頻率不高的情況下，忽略慣性力，其力平衡關系為:

圖3 微元受力情況Fig.3 Force condition of the differential element

對于內外管有平衡方程

其中，σ*是內外管的正應力幅值;τ*是阻尼層的剪應力幅值;A是內外管的橫截面積;l是阻尼層橫截面的環向周長l=π(Di+Tv);，下標o表示外管，i表示內管(以下同)。

內外管和阻尼層［8]本構關系:

由上述的內外管的力平衡關系和本構關系，可以得到內外管的位移需要滿足如下方程:

以上公式中，E是材料楊氏模量，Tv是阻尼層厚度，Gv是復剪切模量。

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右端x=L，有應力邊界條件:阻尼層左側的內外管均為常應變，即:

在阻尼層左端x=L－Lv，有應力連續條件:

將(5)代入(6)，得到阻尼層左端的邊界條件:

由方程(3)和邊界條件(4)和(7)可以得到內外管位移函數(x)和(x)，最終阻尼管的動剛度和損耗因子分別為

上述方程用 MATHEMATICA［9]符號求解，便可得到包含阻尼管各項幾何及物理參數的符號解(x)、(x)、k*和β。具體表達式較為復雜，故不在此處列出，附錄給出計算的MATHEMATICA程序。在得到損耗因子β的符號解后，便可非常方便的通過調整各項幾何及物理參數來計算相應的損耗因子，并考察該組參數下的阻尼管的剛度及質量。

2 約束阻尼層填充長度對損耗因子的影響

附加約束阻尼在衛星減振適配器中有著廣泛的應用(如圖4)，如何選取阻尼管內外管材料、幾何尺寸以及阻尼填充長度對適配器整體的減振效果有著重要的影響。

通常根據直觀的判斷，阻尼材料填充越多減振效果越好，這個結論在大多數復剪切模量數值范圍內成立。但是，本文作者在計算過程中發現，在一定復剪切模量的條件下，阻尼層填充長度需要進一步優化，并非填充越多阻尼材料減振效果就越好、損耗系數越大。

圖4 附加約束阻尼的衛星適配器Fig.4 PAF composition of the constrained damping material

給定計算參數:L=0.095 m，Do=0.03 m，To=0.001 m，Ti=0.003 m，Tv=0.001 m，Gv=5 × 107(1+0.5i)Pa，內外管均為鋁合金，改變阻尼填充長度，可以得到損耗因子隨阻尼層長度的變化情況。

如圖所示，阻尼層填充長度在Lv=0.015 5 m時得到的損耗因子最大，這時的減振效果最好。損耗因子也可以由阻尼層在某一交變力作用下的應變能來描述，阻尼層填充越多，剪切變形越小，阻尼層整體吸收的應變能是沿阻尼層長度對剪切變形的積分決定，故并不是長度越長吸收的應變能就越多。因此為了使得損耗因子最大，需要對阻尼層填充長度進行優化設計。

如上所述，在得到以阻尼管各項參數描述的損耗因子函數后，調整某一個參數重新計算損耗因子的計算量可以忽略不計，于是可以在參數的取值范圍內進行遍歷，方便地確定一個最優值，相對于試驗［6]以及其他數值方法［10]在設計階段有著一定的優勢。

3 阻尼管動力學建模及有限元應用

由于阻尼材料的特性隨著頻率改變，阻尼管的動剛度也隨著頻率改變，不能將其產生的阻尼力表示為正比于運動速度的簡單形式，而需要表示成卷積形式:文獻［11] 提出一種含阻尼材料結構的建模方式，將動力學方程以式(9)形式表達的結構經過變換嵌入到整體結構的有限元模型中，方便NASTRAN求解。由上一節得到的動剛度的結果(式(8))，我們對不同頻率下的動剛度在頻域下進行有理多項式擬合，具體參數:內外管均為鋁合金，L=0.095 m，Do=0.03 m，To=0.001 m，Ti=0.003 m，Tv=0.001 m，Lv=L，阻尼材料特性 Gv=G(ω)(1+b(ω)·i)隨頻率變化(圖6)。

在以上所述的約束阻尼管動態特性分析方法中，引入了阻尼管變形模式等假設，并在低頻激勵下忽略了慣性力的影響。為了驗證方法的正確性，特采用有限元方法按頻率逐點計算阻尼管的損耗系數，如圖7所示兩者能夠較好的吻合，在一定程度上說明本方法是合理的。

用上節所述方法，計算出不同頻率下阻尼管的動剛度k*(ωl)(l=1，2，…)，如圖8中的圓點所示。采用有理多項式擬合［12]方法，將k*(ω)表示為:

其中有理多項式系數的擬合結果如表1，擬合后動剛度關于頻率的曲線如圖8中的實線所示。

圖8 動剛度擬合結果Fig.8 Fitting results of the dynamic stiffness

表1 擬合得到的系數Tab.1 Coefficient of fitting

一旦動剛度表示為有理多項式，那么阻尼管軸向力與端部位移的頻域關系可表示為:

令s=iω對上式進行Laplace逆變換［9]得到軸向力與端部位移的時域關系:

式(12)與式(9)形式上一致，可以用文獻［11] 所述的方法將阻尼管模型加入到整體結構的有限元模型中去，并運用通用有限元程序進行動力學分析。

4 結論

本文建立了由外管、內管和中間阻尼層構成的約束阻尼管的數學模型，通過符號求解得到了阻尼管在軸向交變外力下包含各項幾何及物理參數的位移、動剛度和損耗因子的函數。便于對各項參數進行調節來評估其對動剛度、損耗因子等的影響。為該類型阻尼管的工程設計提供了快速、便捷的計算方法。

與有限元計算的損耗因子的結果作對比，驗證了本方法的可靠性。進一步，在頻域內對動剛度進行擬合，通過Laplace逆變換將阻尼管動力學方程變換為帶有積分項的形式，便于應用現有的技術手段將該類型阻尼管加入到星箭整體有限元模型中去。

附錄

MATHEMATICA程序:

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