不同頻率比時(shí)立管兩向渦激振動(dòng)及疲勞分析

唐世振，黃維平，劉建軍，鄧 躍

(中國(guó)海洋大學(xué) 海洋工程山東省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 青島 266100)

渦激振動(dòng)是造成深水立管疲勞損傷的一個(gè)重要因素，關(guān)于渦激振動(dòng)的研究逐步完善。但是，前期渦激振動(dòng)的研究主要針對(duì)立管橫向振動(dòng)，結(jié)構(gòu)在順流向的振動(dòng)往往被限制。立管兩向自由度的振動(dòng)較少見于文獻(xiàn)，這主要是因?yàn)榍捌诘难芯空J(rèn)為順流向振動(dòng)的幅值相對(duì)較小，可以不考慮。

但是，Vandiver［1]首先發(fā)現(xiàn)順流向振動(dòng)與橫向振動(dòng)的軌跡呈現(xiàn)‘8’字圖，從而顯示了兩者之間的耦合作用，同樣的發(fā)現(xiàn)見文獻(xiàn)［2－8]。近期 Williamson［9－12]的一系列研究更加證明立管的兩向自由度運(yùn)動(dòng)具有重要的研究?jī)r(jià)值，兩向運(yùn)動(dòng)的考慮可以改變漩渦脫落的形式，尤其對(duì)于低質(zhì)量比(結(jié)構(gòu)密度/流體密度)的圓柱體結(jié)構(gòu)。Wu和Moe［13]對(duì)質(zhì)量比為7.0的彈性支撐圓柱體的兩向自由度振動(dòng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，流向和橫向的頻率比為2.18，所得到的最大橫向振幅為1.0，但沒有給出限制流向運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，并且實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)兩者的頻率出現(xiàn)同步現(xiàn)象。Sarpkaya［14]對(duì)不同流向和橫向頻率比的圓柱體進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)在頻率比1.0時(shí)，兩向自由度產(chǎn)生的最大橫向振幅比限制流向運(yùn)動(dòng)時(shí)高出19%，其中最大橫向振幅為1.1，但是沒有對(duì)疲勞進(jìn)行分析。Pesce［15]通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法研究頻率比為0.93時(shí)圓柱體的兩向自由度動(dòng)力響應(yīng)，認(rèn)為當(dāng)6.0＜約化速度(流體速度/(固有頻率·結(jié)構(gòu)直徑))＜8.0時(shí)，考慮順流向振動(dòng)時(shí)橫向響應(yīng)幅值明顯增大。

鑒于已有的研究成果，本文對(duì)四種不同頻率比下的立管兩向自由度渦激振動(dòng)動(dòng)力和疲勞進(jìn)行分析。不僅研究橫向振動(dòng)幅值和疲勞的變化，同樣對(duì)流向振動(dòng)的幅值和疲勞進(jìn)行分析，給出一些有意義的結(jié)論。

1 數(shù)學(xué)模型

建立如圖1所示的立管模型，同時(shí)假設(shè)立管承受海流荷載，并且海流方向?yàn)閤方向。立管兩端簡(jiǎn)支。坐標(biāo)的零點(diǎn)在海底。

對(duì)于長(zhǎng)細(xì)比較大的頂張式立管，可忽略其剪切變形。因此，其橫向彎曲問(wèn)題可采用Euler-Bernoulli梁的復(fù)雜彎曲理論。其運(yùn)動(dòng)方程為:

圖1 立管模型Fig.1 Riser model

式中:EI抗彎剛度;T有效張力，T=Ttw－piAi+poAo;Ttw為立管底部初始張力，pi為內(nèi)部壓強(qiáng)，Ai為立管內(nèi)層管面積，po，Ao為外部壓強(qiáng)及外層管面積。m為TTR單位長(zhǎng)度質(zhì)量，包括立管內(nèi)部流體質(zhì)量及附加質(zhì)量;c為結(jié)構(gòu)阻尼;x(z，t)是平面內(nèi)的撓曲線(順流向);y(z，t)是出平面的撓曲線(橫向);fx(z，t)是平面內(nèi)的外荷載，即渦泄引起的脈動(dòng)拖曳力;fx(z，t)是出平面的外荷載，即渦激升力;z是水深坐標(biāo);w是立管單位長(zhǎng)度的濕重。

式(1)是順流向TTR運(yùn)動(dòng)微分方程，式(2)是橫流向TTR運(yùn)動(dòng)微分方程。

2 水動(dòng)力荷載

2.1 橫向力模型

文獻(xiàn)［16] 提出考慮流固耦合的渦激升力計(jì)算模型:

式中:ω's是渦泄頻率St為Strouhal數(shù)，CL為升力系數(shù)，ρ為流體密度，D為立管直徑，u為流速為立管橫向振動(dòng)速度;

同時(shí)當(dāng)考慮流固耦合的作用時(shí)，流體在橫向?qū)a(chǎn)生非線性阻尼力和慣性力，它們可以用Morison公式表示為:

由此得到橫向力模型如下:

其中:CD為拖曳力系數(shù)，Cm為附加質(zhì)量系數(shù)，本文取CL=0.4 ～0.9，CD=0.6 ～2.0，Cm=1.0為立管橫向振動(dòng)加速度。

2.2 順流向力模型

同時(shí)考慮流固耦合和非線性阻尼力的影響，得到如下順流向力的表達(dá)式:

其中:CL'為順流向渦激升力系數(shù)，依據(jù)Hallam(1987)等實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，取C'L=0.05－0.1為順流向振動(dòng)速度，為順流向振動(dòng)加速度，其它參數(shù)同上。

2.3 數(shù)值分析

將公式(5)和(6)計(jì)算得到的力模型分別代入公式(1)和(2)，采用Newmark-β法的增量形式進(jìn)行動(dòng)力響應(yīng)分析。

系統(tǒng)的增量運(yùn)動(dòng)方程可表示為:

其中:ti為數(shù)值計(jì)算的第i個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)，{Δfx}ti和{Δfy}ti分別為ti時(shí)刻順流向和橫向的荷載增量。

在每一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)計(jì)算過(guò)程中，假設(shè)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣為小變化，可以忽略不計(jì)。每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)變化的僅為荷載向量。在初始時(shí)刻假設(shè)順流向振動(dòng)速度、加速度以及橫向振動(dòng)速度、加速度的值都為零，即:

由Newmark-β法的增量方程計(jì)算下一步的加速度、位移和速度增量，繼而通過(guò)公式(5)和(6)以及荷載的增量形式得到荷載的增量，以此計(jì)算位移、速度和加速度響應(yīng)。

2.4 疲勞分析

計(jì)算疲勞的方法有很多種，本文采用雨流計(jì)數(shù)法計(jì)算應(yīng)力時(shí)程的載荷譜曲線，從而利用Miner損傷累積理論計(jì)算立管的疲勞。

Miner線性損傷累積原理:

其中:Ddamge表示立管的疲勞損傷，ni是設(shè)計(jì)壽命下對(duì)應(yīng)于第i個(gè)應(yīng)力循環(huán)幅值下的循環(huán)次數(shù)，Ni為第i個(gè)應(yīng)力循環(huán)幅值下疲勞失效的總次數(shù)。可由如下S－N曲線得到:

其中:N表示應(yīng)力循環(huán)幅值下發(fā)生疲勞失效的次數(shù)，mm和K是依據(jù)材料試驗(yàn)得到的材料常數(shù)，本例中取mm=3.5，K=4.23e+13。

3 算例分析

基于本文提出的頂張式立管渦激振動(dòng)方程(1)～(2)和渦激升力模型(5)～(6)式，開發(fā)用于頂張式立管渦激振動(dòng)分析的程序RIWAV，其中的疲勞損傷分析模塊采用雨流計(jì)數(shù)法。并將該程序的計(jì)算結(jié)果與商業(yè)渦激振動(dòng)分析軟件Shear7的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。

計(jì)算模型見圖1。表1給出立管的性能參數(shù)。計(jì)算工況包括兩種不同流速下立管的動(dòng)力響應(yīng)分析，給出無(wú)量綱的響應(yīng)幅值A(chǔ)/D(其中A為橫向振動(dòng)響應(yīng)幅值)的均方根曲線和疲勞曲線。工況一:均勻流荷載，流速0.1 m/s;工況二:均勻流荷載，流速0.21 m/s。兩種工況下，邊界條件都為兩端簡(jiǎn)支。每種工況給定的水動(dòng)力系數(shù)初始值如下:CL=0.4，CD=0.7，Cm=1.0，C'L=0.1。圖2和圖3分別給出兩種工況下模型計(jì)算的橫向振動(dòng)幅值的均方根曲線與Shear7計(jì)算結(jié)果的比較，吻合較好。圖4為第二種工況下，橫向振動(dòng)疲勞損傷沿立管長(zhǎng)度變化的曲線與Shear7計(jì)算結(jié)果的比較，雖然存在一定的誤差但是整體分布相同，疲勞峰值出現(xiàn)的位置基本一致并且模型結(jié)果趨于保守。誤差的產(chǎn)生一是由于模型疲勞計(jì)算采用時(shí)域的線性累加原則，Shear7采用的為頻域方法;二是由于，模型計(jì)算時(shí)考慮的為立管的兩向自由度運(yùn)動(dòng)，而Shear7僅為橫向振動(dòng)。確切的原因有待進(jìn)一步探討。

表1 立管性能參數(shù)Tab.1 Parameters of riser

4 結(jié)果與討論

4.1 動(dòng)力響應(yīng)

圖5顯示考慮不同頻率比情況下，橫向振動(dòng)幅值受兩向自由度的影響。在頻率比為0.5時(shí)，當(dāng)Ur(約化速度)＜6.3時(shí)，兩向自由度時(shí)橫向振動(dòng)幅值具有明顯的下降趨勢(shì);而當(dāng)6.3＜Ur＜8.0時(shí)，兩向自由度時(shí)橫向振動(dòng)幅值明顯增大;當(dāng)8.0＜Ur＜10.0時(shí)，橫向振動(dòng)幅值幾乎不受順流向振動(dòng)的影響。這說(shuō)明，當(dāng)頻率比為0.5時(shí)，約化速度較低時(shí)順流向振動(dòng)對(duì)橫向振動(dòng)起到一定的抑制作用;而在一定的約化速度范圍內(nèi)(6.3＜Ur＜8.0鎖頻狀態(tài))，順流向振動(dòng)使得橫向的振動(dòng)明顯加劇。在頻率比為1.0時(shí)，順流向振動(dòng)對(duì)橫向振動(dòng)的影響沒有太大的變化，只是橫向振動(dòng)幅值的峰值鎖定在6.3＜Ur＜8.0范圍內(nèi)，這個(gè)結(jié)論同文獻(xiàn)［15] 的結(jié)論大致相同。文獻(xiàn)通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法研究頻率比為0.93時(shí)的兩向自由度運(yùn)動(dòng)。認(rèn)為在6.0＜Ur＜8.0時(shí)，限制順流向振動(dòng)使得橫向振動(dòng)幅值變小，表明在此流速范圍內(nèi)，兩向自由度情況下橫向振動(dòng)的幅值具有明顯地增加，這個(gè)結(jié)論從實(shí)驗(yàn)方面驗(yàn)證本文數(shù)值模型的正確性。當(dāng)頻率比為0.5和1.0時(shí)，低約化速度條件下順流向振動(dòng)對(duì)橫向振動(dòng)起到抑制作用的主要原因是由于此時(shí)順流向振動(dòng)處于較為劇烈的狀態(tài)，并且有可能發(fā)生順流向振動(dòng)的“鎖頻”現(xiàn)象。隨著頻率比的增加，順流向振動(dòng)對(duì)橫向振動(dòng)的影響逐漸減弱。尤其是當(dāng)頻率比為2.0時(shí)，橫向振動(dòng)的最大幅值幾乎沒有變化，但是峰值出現(xiàn)在較高的約化速度下(Ur=9.12)。(說(shuō)明，圖中的CF代表橫向渦激振動(dòng)，IL代表順流向，one-dof代表單自由度，two-dof代表兩向自由度，frequency ratio代表頻率比)。

圖6顯示在不同頻率比時(shí)，限制橫向振動(dòng)和兩向自由度時(shí)順流向振動(dòng)幅值的變化曲線。在四種不同的頻率比情況下，均可以明顯看到橫向振動(dòng)對(duì)順流向振動(dòng)具有顯著的影響。當(dāng)頻率比為0.5時(shí)，單自由度時(shí)順流向振動(dòng)幅值的峰值為0.12(Ur=3.52)左右，其余約化速度下的振動(dòng)幅值非常小，相對(duì)于橫向振動(dòng)幅值來(lái)說(shuō)可以忽略不計(jì)。但是，當(dāng)考慮橫向振動(dòng)時(shí)，順流向振動(dòng)幅值在所有的約化速度范圍內(nèi)都有較為明顯的增幅，峰值為 0.45(Ur=8.63)，相對(duì)于單自由度時(shí)的0.05，增幅達(dá)到9倍，這使得此時(shí)的順流向幅值(0.45)相對(duì)于橫向幅值(0.98)來(lái)說(shuō)不可以忽略。在其余三種情況下，橫向振動(dòng)同樣使得順流向幅值具有較大的增幅，并且鎖定在一定的約化速度范圍內(nèi)(4.0＜Ur＜8.63)。盡管在這個(gè)約化速度范圍內(nèi)，高頻率比時(shí)，順流向振動(dòng)對(duì)橫向振動(dòng)的影響不是特別明顯，但是橫向振動(dòng)對(duì)順流向振動(dòng)影響明顯。因此可以得到結(jié)論，無(wú)論在何種約化速度下立管的渦激振動(dòng)都應(yīng)該考慮兩向自由度而非單自由度運(yùn)動(dòng)。

4.2 疲勞分析

本節(jié)討論兩種不同頻率比情況下，立管的疲勞損傷變化。選擇頻率比1.0和2.0兩種情況，頻率比的選擇主要依據(jù)已有的試驗(yàn)結(jié)果。圖7給出兩種頻率比下立管橫向最大疲勞曲線。當(dāng)頻率比為1.0時(shí)，順流向振動(dòng)在較寬的約化速度范圍內(nèi)影響橫向振動(dòng)疲勞，尤其在“鎖頻”范圍內(nèi)。在頻率比為2.0時(shí)，順流向振動(dòng)對(duì)橫向振動(dòng)疲勞影響不是很明顯，略有增大。這種現(xiàn)象應(yīng)該可以從順流向振動(dòng)對(duì)橫向振動(dòng)幅值的影響結(jié)果看出。圖8為順流向振動(dòng)疲勞曲線。在兩種頻率情況下，橫向振動(dòng)的考慮都將增大順流向振動(dòng)疲勞。在頻率比為1.0時(shí)，單自由度情況下，在所有約化速度工況下，順流向振動(dòng)的最大疲勞為1.54E－4，而此時(shí)橫向振動(dòng)的疲勞最大值為0.9E－3，順流向疲勞僅為橫向疲勞的17%;在兩向自由度情況下，順流向振動(dòng)的最大疲勞為6.87E －4，橫向振動(dòng)的疲勞最大值為1.97E－3，順流向疲勞為橫向疲勞的34.9%，表明順流向振動(dòng)疲勞在立管的疲勞損傷中占一定的比例。這種現(xiàn)象在頻率比為2.0時(shí)更加明顯。主要是由于在頻率比為2.0時(shí)，兩向自由度對(duì)順流向振動(dòng)疲勞的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于對(duì)橫向振動(dòng)疲勞的影響。可見，在工程實(shí)際應(yīng)用中，考慮立管的兩向運(yùn)動(dòng)時(shí)應(yīng)該選取更加保守的疲勞安全系數(shù)。

圖7 不同頻率比時(shí)，單自由度和兩向自由度時(shí)橫向振動(dòng)疲勞曲線Fig.7 Fatigue damage in cross-flow direction with one-degree-of-freedom and two-degrees-of-freedom under different frequency ratios

圖8 不同頻率比時(shí)，單自由度和兩向自由度時(shí)順流向振動(dòng)疲勞曲線Fig.8 Fatigue damage in in-line direction with one-degree-of-freedom and two-degrees-of-freedom under different frequency ratios

5 結(jié)論

考慮四種不同頻率比時(shí)，立管的兩向自由度運(yùn)動(dòng)的幅值和疲勞相對(duì)于單自由度情況的變化。研究認(rèn)為:

兩向自由度對(duì)橫向振動(dòng)幅值的影響在頻率比(0.5和1.0)較低的情況下尤為顯著。當(dāng)6.3＜Ur＜8.0時(shí)，順流向振動(dòng)的考慮明顯增大橫向振動(dòng)的響應(yīng)幅值;低約化速度時(shí)，順流向振動(dòng)對(duì)橫向振動(dòng)具有一定的抑制作用。隨著頻率比的增加，順流向振動(dòng)對(duì)橫向振動(dòng)的影響逐漸減弱。橫向振動(dòng)對(duì)順流向振動(dòng)的影響在四種情況下均較為明顯，振動(dòng)幅值具有較大程度的增幅，從而使得順流向振動(dòng)幅值在兩向運(yùn)動(dòng)時(shí)不可忽略。

低頻率比時(shí)，順流向振動(dòng)在較寬的約化速度范圍內(nèi)影響橫向振動(dòng)疲勞損傷。尤其在“鎖頻”范圍內(nèi)，橫向振動(dòng)的疲勞損傷在考慮兩向自由度時(shí)增幅較大。當(dāng)頻率比為2.0時(shí)，順流向振動(dòng)對(duì)橫向振動(dòng)疲勞影響不是很明顯，略有增大。而順流向振動(dòng)疲勞隨著頻率的增加受橫向自由度的影響越來(lái)越明顯，最大疲勞可以達(dá)到橫向振動(dòng)疲勞的34.9%。說(shuō)明，在考慮兩向自由度運(yùn)動(dòng)時(shí)，立管的疲勞安全系數(shù)應(yīng)該更加保守。

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