多軸振動試驗控制的整型權函數法

姜雙燕，陳懷海，賀旭東，崔旭利

(1.南京航空航天大學 飛行器結構力學與控制教育部重點實驗室，南京 210016;2.南京航空航天大學 振動工程研究所，南京 210016)

在振動環境試驗技術的研究中，單軸試驗技術經過多年的發展，其實驗設備、實驗方法和標準規范已經日趨完善，多臺多軸實驗系統的研發逐漸成為振動環境試驗技術的一個主要發展趨勢［1]。對于多軸振動實驗來說，其難點在于多個輸入激勵點和多個輸出控制點之間存在強烈的交叉耦合，必須采取有效的解耦措施［2]。對于常見的三軸向振動臺實驗，一般先采用機械解耦手段盡可能削弱或者消除三個軸向運動之間的耦合關聯，剩余耦合因素必須依靠控制算法進行解耦［3]。目前廣泛使用的多軸向多激勵控制算法，是由Smallwood等人在20世紀80年代提出的［4－6]。但是在隨機振動控制系統的工程實際應用中［7]，由于參考譜中的互譜難以確定等原因，互譜控制的問題并沒有得到很好的解決。

H∞控制理論是近年來現代控制理論的一個主要發展方向，其優勢在于能很好的處理線性系統的性能魯棒性和穩定魯棒性，特別適合應用于多輸入多輸出系統。H∞回路整型理論，就是通過定義傳遞函數的H∞范數，在頻率域上對H∞范數進行整型，從而更好地處理多輸入多輸出系統的控制問題［8]。

由于目前的多軸向多激勵控制算法在互譜控制方面的不足，以及H∞理論在MIMO系統控制問題上的優勢［9]，本文在多軸控制算法引入H∞回路整型設計理論，并且對整型加權矩陣進行分解研究，從而引入互譜控制環節，對機械解耦不足以消除的剩余耦合因素進行解耦控制，對實驗系統模型在某些特定頻率點處的固有缺陷進行彌補，改善頻響函數矩陣的病態情況，使控制目標的響應自譜和互譜都能夠更好地滿足預設參考譜值。

1 基于H∞的回路整型設計

經過大量振動控制系統仿真計算和實驗，我們發現，自譜和互譜控制效果的不理想，很大程度上是由于實驗對象本身的系統模型存在缺陷，具體表現為:系統頻響函數矩陣在特定頻率點處條件數過大，而信噪比卻比較小。如果試驗對象系統模型存在這樣的缺陷，則試件控制點響應的自譜和互譜就難以遵循預設值，易發生突變，無法滿足實際工程中振動試驗的技術要求。由此，我們在原有的隨機振動控制算法中，添加H∞回路整型步驟，從而改善控制效果，示意圖如圖1所示。

圖1 回路整型設計框圖Fig1.The block diagram of H∞loop-shaping design method

上圖框圖中，R是根據工程規范預設的參考譜矩陣，其中對角元素為自譜參考譜值，非對角元素為互譜參考譜值，包括相干系數和相位。L是對R進行Cholesky分解得到的下三角矩陣。G為受控試件模型的頻響函數矩陣。

驅動信號和輸出響應信號之間的譜矩陣的關系由下式表達:

式中:Sd為驅動譜矩陣。

圖1中，A為系統頻響函數矩陣G的逆矩陣，也稱為系統的補償矩陣。假設在理想情況下，試件控制點的輸出響應完全遵循預設參考譜要求，則式(1)可寫作:

上式中，上標H代表矩陣的共軛轉置。

對參考譜矩陣做三角分解:

代入式(2)則有:

對理想驅動譜矩陣做Cholesky分解:

可得:

由于預設參考譜矩陣R缺乏相位信息，所以對式(6)添加隨機相位矩陣 X［10]:

其中:θ1，…，θN是服從－π～π均勻分布的隨機相位。D為驅動信號的傅氏譜。對傅氏譜D進行逆傅氏變換，并進行時域隨機化，就可以得到時域驅動信號。

W1和W2分別為系統G的前置和后置補償矩陣，則經過整型后的系統頻響矩陣為:

式中:為了簡化控制算法，W2通常取為與試件模型頻響函數矩陣同維度的單位矩陣I［8]。則式(8)簡化為:

將式(9)代入響應譜求解公式(1)，則有:

通過上式，可以將對系統模型的整型推導為對驅動譜的整型修正，并定義整型后的驅動譜為:

結合式(4)，有:

則有:

經過以上推導，圖1中對受控試件模型G的整型修正最終轉化為對驅動信號傅氏譜D的整型，并得到D。對D進行逆傅氏變換和時域隨機化，就可以得到新的時域驅動信號。

采集試件控制點的時域響應信號，進行譜密度估計，并計算其與參考譜矩陣的誤差值，使用比例均方根修正算法［10]，得到新的驅動信號，進入下一步迭代運算。

2 整型回路中加權矩陣設計

如上節圖1中所示，整型控制回路中的加權矩陣W1和W2，分別為系統的前置和后置補償矩陣，為使控制算法簡化，縮短控制回路計算時間，通常將W2取為單位矩陣I［8]，因此，本文主要對前置補償矩陣 W1進行分解研究，并用它對試件本身存在的固有缺陷進行修正，從而得到理想化的系統模型Gs，進一步推導出經過整型的驅動信號傅氏譜Ds。

根據H∞回路整型設計理論，前置補償矩陣W1可以分解為［8]:

式中:Wp包含了動態整型因素，Wa是與Wp相串聯的解耦器，Wg為可調對角矩陣。為簡化算法，可將其選為單位矩陣I，則有:

上式即為N維系統的前置補償矩陣表達式。

根據文獻［8] 以及實驗中得到的響應數據，當頻響函數矩陣的條件數大于30時，則認為條件數過大，系統對輸入干擾特別敏感，響應有明顯超標，應對頻響矩陣函數給予預處理以減小其條件數。

設計權函數矩陣為對角矩陣:其對角元素Wp11，Wp22，…，WpNN為頻響函數矩陣G每列絕對值最小的元素。采用上式所示的加權矩陣來改善頻響函數矩陣的病態情況［11，12]。

由于機械解耦不能完全達到解耦目的，所以整型矩陣設計的目的還包括使試件模型的頻響函數矩陣盡可能對角化:

式中，diag(·)表示矩陣的對角元素組成的對角矩陣。

根據式(16)和式(17)，Wp和Wa分別用于改善頻響函數矩陣的病態情況，以及使頻響函數矩陣盡量對角化解耦。將它們代入式(15)，就可以得到試件模型的前置補償矩陣。

3 實驗驗證

實驗采用如圖所示三層鐵架作為三軸向振動控制實驗模型，鐵架層間用厚度為0.2 mm鈹銅片相連接，該銅片主要傳遞沿其面內的力，以達到多軸向之間機械解耦目的，剩余的耦合因素依靠控制軟件的算法解耦。頂層鐵架模擬振動臺面，控制目標是使頂層鐵架同時產生預定的XYZ三個軸向隨機振動。

圖2 試件模型Fig.2 Unit under test(UUT)

實驗模型尺寸如示意圖所示，尺寸單位為mm。

實驗中，采用NI PXI作為信號發送(6733模擬輸出模塊)和采集(4472B動態信號采集模塊)硬件，使用LabVIEW軟件編程進行信號處理和控制算法運算。鐵架頂層控制點使用美國PCB加速度傳感器進行響應信號采集。在如圖所示的三個軸向，使用3臺Labworks 20 kg激振器同時進行三軸向激勵信號輸出。

試驗采用400線頻域采樣，分析頻段10 Hz～2 000 Hz。預設自譜響應參考譜矩陣為梯形譜，在100 Hz和1 000 Hz頻率點處設置拐點。設置10 Hz～100 Hz頻段內的上升譜和1 000 Hz～2 000 Hz頻段內的下降譜的斜率分別為3 dB/倍頻程和－3 dB/倍頻程。100 Hz～1 000 Hz頻段內為平譜，其值設為1e－8 g2/Hz。Y軸向與Z軸向控制點間相干系數設為0.9。

圖3和圖4所示，為未使用整型矩陣對驅動譜進行修正得到的控制結果。

圖3 Y、Z軸向互譜控制結果(未整型)Fig.3 Auto-spectrum of Y、Z axis(without loop-shaping)

自譜控制結果圖中，兩組臨界線為參考譜誤差±3 dB和±6 dB線，分別為自譜報警限和退出限。在實際工程中，一般要求總均方根誤差不超過±5%，且超出±3 dB自譜譜線根數小于總根數10%，但不得有超過±6 dB退出限的譜線。

經過圖3～圖5的比較可以看出，在頻響函數的條件數存在明顯尖峰的頻率點處，其互譜和自譜控制結果也都有明顯的峰值波動，甚至自譜響應譜值已經超過參考譜退出限，在實際工程中不允許的。

使用本文算法，在控制回路中加入整型權函數矩陣，對驅動信號進行修正。圖6～圖7為頻響函數矩陣整型前后條件數對比，橫軸坐標頻率(Hz)使用對數坐標表示;試件控制點響應如圖6和圖7。

圖5中可以看出，頻響函數矩陣的條件數尖峰狀況得到明顯抑制。圖6和圖7中可以看出，試件控制點的自譜和互譜響應也有明顯的改善。

4 結論

(1)從文中公式推導以及結果圖中可以看出，在多軸隨機振動控制算法和比例均方根修正方法的基礎上，在控制回路中加入基于H∞回路整型方法設計的權函數矩陣，可以改進驅動譜信號，使試件模型的互譜和自譜響應都得到比較明顯的改善。

(2)整型權函數矩陣經過分解設計，可以分別改善頻響函數的病態情況和使頻響函數矩陣盡量對角化。通過進一步的研究，可以設計可調矩陣Wg從而完善整型權函數矩陣的設計方法，得到更好的控制效果。

(3)整型權函數的設計以及對驅動信號的修正屬于預實驗環節，沒有參與驅動信號實時修正，因此不影響實時控制的計算響應速度。

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