多軸振動(dòng)試驗(yàn)控制的整型權(quán)函數(shù)法

姜雙燕，陳懷海，賀旭東，崔旭利

(1.南京航空航天大學(xué) 飛行器結(jié)構(gòu)力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016;2.南京航空航天大學(xué) 振動(dòng)工程研究所，南京 210016)

在振動(dòng)環(huán)境試驗(yàn)技術(shù)的研究中，單軸試驗(yàn)技術(shù)經(jīng)過(guò)多年的發(fā)展，其實(shí)驗(yàn)設(shè)備、實(shí)驗(yàn)方法和標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范已經(jīng)日趨完善，多臺(tái)多軸實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的研發(fā)逐漸成為振動(dòng)環(huán)境試驗(yàn)技術(shù)的一個(gè)主要發(fā)展趨勢(shì)［1]。對(duì)于多軸振動(dòng)實(shí)驗(yàn)來(lái)說(shuō)，其難點(diǎn)在于多個(gè)輸入激勵(lì)點(diǎn)和多個(gè)輸出控制點(diǎn)之間存在強(qiáng)烈的交叉耦合，必須采取有效的解耦措施［2]。對(duì)于常見(jiàn)的三軸向振動(dòng)臺(tái)實(shí)驗(yàn)，一般先采用機(jī)械解耦手段盡可能削弱或者消除三個(gè)軸向運(yùn)動(dòng)之間的耦合關(guān)聯(lián)，剩余耦合因素必須依靠控制算法進(jìn)行解耦［3]。目前廣泛使用的多軸向多激勵(lì)控制算法，是由Smallwood等人在20世紀(jì)80年代提出的［4－6]。但是在隨機(jī)振動(dòng)控制系統(tǒng)的工程實(shí)際應(yīng)用中［7]，由于參考譜中的互譜難以確定等原因，互譜控制的問(wèn)題并沒(méi)有得到很好的解決。

H∞控制理論是近年來(lái)現(xiàn)代控制理論的一個(gè)主要發(fā)展方向，其優(yōu)勢(shì)在于能很好的處理線性系統(tǒng)的性能魯棒性和穩(wěn)定魯棒性，特別適合應(yīng)用于多輸入多輸出系統(tǒng)。H∞回路整型理論，就是通過(guò)定義傳遞函數(shù)的H∞范數(shù)，在頻率域上對(duì)H∞范數(shù)進(jìn)行整型，從而更好地處理多輸入多輸出系統(tǒng)的控制問(wèn)題［8]。

由于目前的多軸向多激勵(lì)控制算法在互譜控制方面的不足，以及H∞理論在MIMO系統(tǒng)控制問(wèn)題上的優(yōu)勢(shì)［9]，本文在多軸控制算法引入H∞回路整型設(shè)計(jì)理論，并且對(duì)整型加權(quán)矩陣進(jìn)行分解研究，從而引入互譜控制環(huán)節(jié)，對(duì)機(jī)械解耦不足以消除的剩余耦合因素進(jìn)行解耦控制，對(duì)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)模型在某些特定頻率點(diǎn)處的固有缺陷進(jìn)行彌補(bǔ)，改善頻響函數(shù)矩陣的病態(tài)情況，使控制目標(biāo)的響應(yīng)自譜和互譜都能夠更好地滿足預(yù)設(shè)參考譜值。

1 基于H∞的回路整型設(shè)計(jì)

經(jīng)過(guò)大量振動(dòng)控制系統(tǒng)仿真計(jì)算和實(shí)驗(yàn)，我們發(fā)現(xiàn)，自譜和互譜控制效果的不理想，很大程度上是由于實(shí)驗(yàn)對(duì)象本身的系統(tǒng)模型存在缺陷，具體表現(xiàn)為:系統(tǒng)頻響函數(shù)矩陣在特定頻率點(diǎn)處條件數(shù)過(guò)大，而信噪比卻比較小。如果試驗(yàn)對(duì)象系統(tǒng)模型存在這樣的缺陷，則試件控制點(diǎn)響應(yīng)的自譜和互譜就難以遵循預(yù)設(shè)值，易發(fā)生突變，無(wú)法滿足實(shí)際工程中振動(dòng)試驗(yàn)的技術(shù)要求。由此，我們?cè)谠械碾S機(jī)振動(dòng)控制算法中，添加H∞回路整型步驟，從而改善控制效果，示意圖如圖1所示。

圖1 回路整型設(shè)計(jì)框圖Fig1.The block diagram of H∞loop-shaping design method

上圖框圖中，R是根據(jù)工程規(guī)范預(yù)設(shè)的參考譜矩陣，其中對(duì)角元素為自譜參考譜值，非對(duì)角元素為互譜參考譜值，包括相干系數(shù)和相位。L是對(duì)R進(jìn)行Cholesky分解得到的下三角矩陣。G為受控試件模型的頻響函數(shù)矩陣。

驅(qū)動(dòng)信號(hào)和輸出響應(yīng)信號(hào)之間的譜矩陣的關(guān)系由下式表達(dá):

式中:Sd為驅(qū)動(dòng)譜矩陣。

圖1中，A為系統(tǒng)頻響函數(shù)矩陣G的逆矩陣，也稱為系統(tǒng)的補(bǔ)償矩陣。假設(shè)在理想情況下，試件控制點(diǎn)的輸出響應(yīng)完全遵循預(yù)設(shè)參考譜要求，則式(1)可寫(xiě)作:

上式中，上標(biāo)H代表矩陣的共軛轉(zhuǎn)置。

對(duì)參考譜矩陣做三角分解:

代入式(2)則有:

對(duì)理想驅(qū)動(dòng)譜矩陣做Cholesky分解:

可得:

由于預(yù)設(shè)參考譜矩陣R缺乏相位信息，所以對(duì)式(6)添加隨機(jī)相位矩陣 X［10]:

其中:θ1，…，θN是服從－π～π均勻分布的隨機(jī)相位。D為驅(qū)動(dòng)信號(hào)的傅氏譜。對(duì)傅氏譜D進(jìn)行逆傅氏變換，并進(jìn)行時(shí)域隨機(jī)化，就可以得到時(shí)域驅(qū)動(dòng)信號(hào)。

W1和W2分別為系統(tǒng)G的前置和后置補(bǔ)償矩陣，則經(jīng)過(guò)整型后的系統(tǒng)頻響矩陣為:

式中:為了簡(jiǎn)化控制算法，W2通常取為與試件模型頻響函數(shù)矩陣同維度的單位矩陣I［8]。則式(8)簡(jiǎn)化為:

將式(9)代入響應(yīng)譜求解公式(1)，則有:

通過(guò)上式，可以將對(duì)系統(tǒng)模型的整型推導(dǎo)為對(duì)驅(qū)動(dòng)譜的整型修正，并定義整型后的驅(qū)動(dòng)譜為:

結(jié)合式(4)，有:

則有:

經(jīng)過(guò)以上推導(dǎo)，圖1中對(duì)受控試件模型G的整型修正最終轉(zhuǎn)化為對(duì)驅(qū)動(dòng)信號(hào)傅氏譜D的整型，并得到D。對(duì)D進(jìn)行逆傅氏變換和時(shí)域隨機(jī)化，就可以得到新的時(shí)域驅(qū)動(dòng)信號(hào)。

采集試件控制點(diǎn)的時(shí)域響應(yīng)信號(hào)，進(jìn)行譜密度估計(jì)，并計(jì)算其與參考譜矩陣的誤差值，使用比例均方根修正算法［10]，得到新的驅(qū)動(dòng)信號(hào)，進(jìn)入下一步迭代運(yùn)算。

2 整型回路中加權(quán)矩陣設(shè)計(jì)

如上節(jié)圖1中所示，整型控制回路中的加權(quán)矩陣W1和W2，分別為系統(tǒng)的前置和后置補(bǔ)償矩陣，為使控制算法簡(jiǎn)化，縮短控制回路計(jì)算時(shí)間，通常將W2取為單位矩陣I［8]，因此，本文主要對(duì)前置補(bǔ)償矩陣 W1進(jìn)行分解研究，并用它對(duì)試件本身存在的固有缺陷進(jìn)行修正，從而得到理想化的系統(tǒng)模型Gs，進(jìn)一步推導(dǎo)出經(jīng)過(guò)整型的驅(qū)動(dòng)信號(hào)傅氏譜Ds。

根據(jù)H∞回路整型設(shè)計(jì)理論，前置補(bǔ)償矩陣W1可以分解為［8]:

式中:Wp包含了動(dòng)態(tài)整型因素，Wa是與Wp相串聯(lián)的解耦器，Wg為可調(diào)對(duì)角矩陣。為簡(jiǎn)化算法，可將其選為單位矩陣I，則有:

上式即為N維系統(tǒng)的前置補(bǔ)償矩陣表達(dá)式。

根據(jù)文獻(xiàn)［8] 以及實(shí)驗(yàn)中得到的響應(yīng)數(shù)據(jù)，當(dāng)頻響函數(shù)矩陣的條件數(shù)大于30時(shí)，則認(rèn)為條件數(shù)過(guò)大，系統(tǒng)對(duì)輸入干擾特別敏感，響應(yīng)有明顯超標(biāo)，應(yīng)對(duì)頻響矩陣函數(shù)給予預(yù)處理以減小其條件數(shù)。

設(shè)計(jì)權(quán)函數(shù)矩陣為對(duì)角矩陣:其對(duì)角元素Wp11，Wp22，…，WpNN為頻響函數(shù)矩陣G每列絕對(duì)值最小的元素。采用上式所示的加權(quán)矩陣來(lái)改善頻響函數(shù)矩陣的病態(tài)情況［11，12]。

由于機(jī)械解耦不能完全達(dá)到解耦目的，所以整型矩陣設(shè)計(jì)的目的還包括使試件模型的頻響函數(shù)矩陣盡可能對(duì)角化:

式中，diag(·)表示矩陣的對(duì)角元素組成的對(duì)角矩陣。

根據(jù)式(16)和式(17)，Wp和Wa分別用于改善頻響函數(shù)矩陣的病態(tài)情況，以及使頻響函數(shù)矩陣盡量對(duì)角化解耦。將它們代入式(15)，就可以得到試件模型的前置補(bǔ)償矩陣。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)采用如圖所示三層鐵架作為三軸向振動(dòng)控制實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ停F架層間用厚度為0.2 mm鈹銅片相連接，該銅片主要傳遞沿其面內(nèi)的力，以達(dá)到多軸向之間機(jī)械解耦目的，剩余的耦合因素依靠控制軟件的算法解耦。頂層鐵架模擬振動(dòng)臺(tái)面，控制目標(biāo)是使頂層鐵架同時(shí)產(chǎn)生預(yù)定的XYZ三個(gè)軸向隨機(jī)振動(dòng)。

圖2 試件模型Fig.2 Unit under test(UUT)

實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ统叽缛缡疽鈭D所示，尺寸單位為mm。

實(shí)驗(yàn)中，采用NI PXI作為信號(hào)發(fā)送(6733模擬輸出模塊)和采集(4472B動(dòng)態(tài)信號(hào)采集模塊)硬件，使用LabVIEW軟件編程進(jìn)行信號(hào)處理和控制算法運(yùn)算。鐵架頂層控制點(diǎn)使用美國(guó)PCB加速度傳感器進(jìn)行響應(yīng)信號(hào)采集。在如圖所示的三個(gè)軸向，使用3臺(tái)Labworks 20 kg激振器同時(shí)進(jìn)行三軸向激勵(lì)信號(hào)輸出。

試驗(yàn)采用400線頻域采樣，分析頻段10 Hz～2 000 Hz。預(yù)設(shè)自譜響應(yīng)參考譜矩陣為梯形譜，在100 Hz和1 000 Hz頻率點(diǎn)處設(shè)置拐點(diǎn)。設(shè)置10 Hz～100 Hz頻段內(nèi)的上升譜和1 000 Hz～2 000 Hz頻段內(nèi)的下降譜的斜率分別為3 dB/倍頻程和－3 dB/倍頻程。100 Hz～1 000 Hz頻段內(nèi)為平譜，其值設(shè)為1e－8 g2/Hz。Y軸向與Z軸向控制點(diǎn)間相干系數(shù)設(shè)為0.9。

圖3和圖4所示，為未使用整型矩陣對(duì)驅(qū)動(dòng)譜進(jìn)行修正得到的控制結(jié)果。

圖3 Y、Z軸向互譜控制結(jié)果(未整型)Fig.3 Auto-spectrum of Y、Z axis(without loop-shaping)

自譜控制結(jié)果圖中，兩組臨界線為參考譜誤差±3 dB和±6 dB線，分別為自譜報(bào)警限和退出限。在實(shí)際工程中，一般要求總均方根誤差不超過(guò)±5%，且超出±3 dB自譜譜線根數(shù)小于總根數(shù)10%，但不得有超過(guò)±6 dB退出限的譜線。

經(jīng)過(guò)圖3～圖5的比較可以看出，在頻響函數(shù)的條件數(shù)存在明顯尖峰的頻率點(diǎn)處，其互譜和自譜控制結(jié)果也都有明顯的峰值波動(dòng)，甚至自譜響應(yīng)譜值已經(jīng)超過(guò)參考譜退出限，在實(shí)際工程中不允許的。

使用本文算法，在控制回路中加入整型權(quán)函數(shù)矩陣，對(duì)驅(qū)動(dòng)信號(hào)進(jìn)行修正。圖6～圖7為頻響函數(shù)矩陣整型前后條件數(shù)對(duì)比，橫軸坐標(biāo)頻率(Hz)使用對(duì)數(shù)坐標(biāo)表示;試件控制點(diǎn)響應(yīng)如圖6和圖7。

圖5中可以看出，頻響函數(shù)矩陣的條件數(shù)尖峰狀況得到明顯抑制。圖6和圖7中可以看出，試件控制點(diǎn)的自譜和互譜響應(yīng)也有明顯的改善。

4 結(jié)論

(1)從文中公式推導(dǎo)以及結(jié)果圖中可以看出，在多軸隨機(jī)振動(dòng)控制算法和比例均方根修正方法的基礎(chǔ)上，在控制回路中加入基于H∞回路整型方法設(shè)計(jì)的權(quán)函數(shù)矩陣，可以改進(jìn)驅(qū)動(dòng)譜信號(hào)，使試件模型的互譜和自譜響應(yīng)都得到比較明顯的改善。

(2)整型權(quán)函數(shù)矩陣經(jīng)過(guò)分解設(shè)計(jì)，可以分別改善頻響函數(shù)的病態(tài)情況和使頻響函數(shù)矩陣盡量對(duì)角化。通過(guò)進(jìn)一步的研究，可以設(shè)計(jì)可調(diào)矩陣Wg從而完善整型權(quán)函數(shù)矩陣的設(shè)計(jì)方法，得到更好的控制效果。

(3)整型權(quán)函數(shù)的設(shè)計(jì)以及對(duì)驅(qū)動(dòng)信號(hào)的修正屬于預(yù)實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，沒(méi)有參與驅(qū)動(dòng)信號(hào)實(shí)時(shí)修正，因此不影響實(shí)時(shí)控制的計(jì)算響應(yīng)速度。

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