一類耦合非線性扭振動力系統的穩定性控制

劉浩然，朱占龍，時培明，侯東曉

(1.燕山大學 信息科學與工程學院，秦皇島 066004;2.燕山大學 電氣工程學院，秦皇島 066004)

非線性廣泛存在于實際的物理系統中，如旋轉軸系的轉動［1，2]、高應力下巖石的強度特性［3]、汽車的懸架系統［4]、橋梁斜拉索［5]等均存在非線性。在非線性振動學科中，人們對單自由度非線性系統及其多自由度非線性系統的研究都取得了較大進展［6－8]。隨著航空航天、城市建設和其它工程實際的需要，對多自由度非線性系統振動的研究顯得尤為重要。文獻［9] 研究了具有間隙的多自由度系統的周期運動及其穩定性的分析方法。文獻［10] 在考慮傳動系統連續分布質量的基礎上，建立了旋轉機械傳動系統的連續動力學模型并得到了系統的固有頻率。文獻［11] 建立了具有非線性的三圓盤扭振系統的數學模型，應用平均法求得了系統滿足3:1型內共振的解并分析了解的穩定性。文獻［12] 研究了斜拉橋拉索－橋面－橋塔的三自由度耦合振動模型及其1∶2∶1內共振問題。文獻［13] 從結構的能量平衡方程出發，對多自由度結構受迫振動中的能量響應特性和能量共振進行了分析。

但是，以往的研究工作多限于對多自由度非線性系統的建模、求解以及穩定性分析，對多自由度的非線性系統進行穩定性控制的研究甚少，并且由于耦合作用廣泛存在于實際的物理系統中［14－16]，因此研究對含耦合項多自由度的非線性系統進行穩定性控制有著更為現實的意義。本文基于耗散項的廣義Lagrange原理建立一類三質量含三次非線性耦合項的扭振系統非線性動力學方程并加以時滯反饋控制。運用多尺度法對含時滯的動力方程進行求解，得到方程在主共振和1∶1內共振情形下的平衡解。應用Routh-Hurwitz穩定判據得到耦合時滯系統在平衡點穩定的充分必要條件，并用數值模擬的方法驗證了時滯參數對扭振系統穩定有顯著的控制效果。

1 三質量扭振系統動力學模型

圖1是一個三質量扭振系統力學模型，設Ji(i=1，2，3)為扭振系統集中質量的轉動慣量，φi(i=1，2，3)，(i=1，2，3)分別為三個集中質量的轉角和轉速。

系統動能為:

圖1 三質量扭振系統力學模型圖Fig.1 The torsional vibration system model with three degree of freedom

系統勢能為:

廣義力矩為:

其中:K12，K23為系統線性扭轉剛度，2，3)，Fi為廣義外力為系統廣義阻尼力，qj(j=1，2，3)為廣義坐標。則可以表示為:

其中:C12為線性阻尼系數為非線性阻尼力函數。

于是:

將式(1)、式(2)、式(3)和式(5)代入含耗散項的廣義Lagrange方程:

得到:

考慮相對轉角的變化，式(7)乘以1/J1減去式(8)乘以1/J2和式(8)乘以1/J2減去式(9)乘以1/J3，得到:

式(12)和式(13)是一類含有三次非線性阻尼力和外激勵作用下耦合扭振系統的非線性動力學方程。通過在外激勵端引入時滯反饋控制項可有效地控制耦合系統的動力學行為，同時令外激勵項T1=f1cos(Ω1t)，T2=f2cos(Ω2t)，則含時滯反饋控制的扭振動力系統為:

式(14)和式(15)是時滯反饋作用下一類耦合非線性扭振系統的動力學方程。其中，τ1和τ2為時滯量，g1和g2為增益系數，g1和g2大于零時為正反饋，g1和g2小于零時為負反饋。

2 含時滯反饋動力系統攝動分析

應用多尺度法求解耦合扭振系統動態響應，引入新變量:

其中ε為小參數，此時關于t的一階導數和二階導數可表示為:

其中 Dn表示 ?/?Tn，n=0，1，…，此時式(14)和式(15)的解可以表示為:

將式(17)～式(20)代入式(14)和式(15)，比較方程兩邊ε的同次冪系數，整理得:

考慮主共振和1∶1內共振情形，令Ω1=0，f1=0，ω2與Ω2的差別為ε的同階小量，同時ω2與ω1的差別也為ε的同階小量，即:

其中σ1和σ2為調諧參數，σ1表示內共振偏差值，σ2表示外共振偏差值。將式(25)和式(26)代入式(23)和式(24)，消除久期項得:

其中，θ1=φ2－φ1－σ1T1，θ2=σ2T1－φ2。

3 Routh-Hurwitz判據下耦合扭振系統穩定的充分必要條件

其中:p1=r1cos(θ1+ θ2)，q1=r1sin(θ1+ θ2)，p2=r2cos θ2，q2=r2sin θ2。

耦合系統(35)～(38)的平衡點通過適當的線性變換可轉移到坐標原點，因此研究系統平衡點在原點處的動力學特性具有普遍意義。在原點處對其進行線性化，得到系統的Jacobian行列式:

其中:

則此Jacobian行列式對應的特征方程為:

其中:λ 表示行列式 A的特征值，k1，k2，k3，k4分別表示特征方程的系數。

應用Routh-Hurwitz穩定判據判斷方程(40)的穩定性，得到耦合系統穩定的充分必要條件

(1)特征方程式的各項系數全部為正值，即ki＞0(i=1，2，3，4)。

(2)主行列式及其主對角線上的各子行列式均大于零，即:

方程(14)、(15)的平衡解穩定的充分和必要條件是特征方程(40)的所有特征根的實部都是負數。如果有一個特征根的實部為正數，則方程(14)、(15)的平衡解就是不穩定的。下面通過某一算例具體說明。

4 算例分析

研究外激勵頻率等于耦合系統固有頻率(σ2=0)情況下，時滯反饋對扭振系統穩定性的影響。為此，仿真計算選取參數 σ1= －0.2，ω1=1，ω2=1.2，c1=0.1，c2=0.1，l1=0.2，l2=0.2，β =0.1，b1=0.1，b2=0.12，τ1=/2，τ2=/2，f=0.2。通過計算可以得到時滯參數g2與系統振幅r1、r2的關系及其系統穩定范圍，如圖2所示。

本文算例中選取固定參數g1=0.1，通過改變參數g2的值來反映耦合系統的穩定區域和不穩定區域。圖2中實線代表穩定解，點劃線代表不穩定解。耦合系統穩定性由 ki＞0(i=1，2，3，4)，Δ1＞0，Δ2＞0，Δ3＞0，Δ4＞0來確定，通過計算得出:系統穩定的臨界點為0.072 4、0.493 9，即參數 g2在 (0.072 4，0.493 9)區間內系統穩定。系統振幅r1、r2由方程(35)～(38)求出:即從圖2可以看出:系統振幅r1隨時滯參數g2在一定范圍內增大而減小，系統振幅r2隨時滯參數g2在一定范圍內增大而增大。

為了與原耦合系統式(12)和式(13)在同樣系統參數下的穩定性及其振幅大小進行比對，同時驗證上述理論預測條件的正確性，我們選擇對圖2(a)預測的結果進行驗證。于是在(ⅰ)g1=g2=0;(ⅱ)g1=0.1，g2= －0.1;(ⅲ)g1=g2=0.1;(ⅳ)g1=0.1，g2=0.4四種情形下對耦合系統式(14)和式(15)進行數值模擬，其初始條件取為:x1(0)=x3(0)=0.01，x2(0)=x4(0)=0，得到四種情形下系統的歷程圖與相圖，如圖3～圖6所示。

由圖3可以看出，當(ⅰ)情形下參數g1=g2=0時，即非受控耦合系統呈現出明顯的非穩現象;在(ⅱ)情形下即g1=0.1，g2= －0.1時在圖2(a)中參數 g2所預測的非穩區域在圖4中系統依然呈現出非穩態勢，這與預測相符合;而通過選取(ⅲ)、(ⅳ)情形下兩組時滯參數 g1=g2=0.1;g1=0.1，g2=0.4 對原系統進行控制后，系統都趨于穩定，這也與圖2(a)中的預測相符，如圖5、圖6所示。

另外，易見選取的后兩組時滯參數中即 (ⅲ)、(ⅳ)兩種情形下g1均為 0.1，g2分別選取為 0.1、0.4，且參數 g2明顯處于 (0.072 4，0.493 9)范圍內。從圖5、圖6看出兩組時滯參數下系統振幅依次為 0.49、0.37，呈遞減趨勢，耦合系統的振幅大小、變化趨勢及其穩定性與上述預測(參見圖2(a))相符合。

圖5 參數g1=g2=0.1時滯系統數值解Fig.5 Numerical solutions of the time-delays system with g1=g2=0.1

圖6 參數g1=0.1，g2=0.4時滯系統數值解Fig.6 Numerical solutions of the time-delays system with parameters g1=0.1，g2=0.4

圖7 參數g1，g2聯合作用下系統的穩定區域與不穩定區域Fig.7 Stable and unstable area under united effect of g1 and g2

上面是固定了時滯參數g1，考慮參數g2變化時系統的穩定性，為了全面分析系統穩定性，考慮二參數的聯合作用，給出二者聯合作用下的穩定區域與不穩定區域，如圖7所示。

5 結論

應用具有耗散項的廣義Lagrange方程建立了含三次耦合項的扭振系統時滯非線性動力系統的動力學方程。運用多尺度法對含有耦合非線性時滯動力系統在主共振以及1∶1內共振同時發生時進行了求解，得到了系統的平衡解。通過應用Routh-Hurwitz穩定判據判別耦合系統在平衡點的穩定性，給出了系統穩定的充分必要條件，并且通過數值模擬的方法驗證了預測條件的正確性。這說明時滯反饋控制在扭轉振動的穩定性控制領域有廣泛的應用前景，也對工程中廣泛存在的耦合系統穩定性分析與控制提供了理論依據。

［1] Swiatoniowski A，Bar A.Parametrical excitement vibration in tandemmills mathematical model and its analysis［J] .Journal of Materials Processing Technology，2003，134(2):214 －224.

［2] Tehrani M S，Hartley P，Naeini H M，et al.Localised edge buckling in cold roll-forming of symmetric section［J] .Thin-Walled Structure，2006，44(2):184－196.

［3] 汪 斌，朱杰兵，鄔愛清，等.高應力下巖石非線性強度特性的試驗驗證［J] .巖石力學與工程學報，2010，29(3):542－548.

［4] 馮 霏，李凌軒，陳亞哲，等.汽車非線性懸架系統共振特性的研究［J] .東北大學學報:自然科學版，2010，31(3):415－417.

［5] 付 英.基礎激勵下橋梁斜拉索的非線性振動［J] .動力學與控制學報，2010，8(1):57－61.

［6] 張慶爽，丁旺才，孫 闖.一類單自由度非光滑系統混沌運動的延遲反饋控制［J] .振動與沖擊，2008，27(1):155－158.

［7] Lin Y T，Sun T C.Mode superposition analysis of viscously damped nonlinear structural systems using an incremental algorithm［J] .Journal of Vibration and Acoustics，1993，115(4):397－402.

［8] 張家忠，許慶余，鄭鐵生.一種分析具有局部非線性的多自由度動力系統動力特性的方法［J] .計算力學學報，1999，59(1):73－78.

［9] 曹登慶，舒仲周.存在間隙的多自由度系統的周期運動及Robust穩定性［J] .力學學報，1997，29(1):74－82.

［10] 侯東曉，劉 彬，時培明.旋轉機械傳動系統連續扭振動力學建模與仿真［J] .中國機械工程，2010，21(1):30－34.

［11] 楊志安，李文蘭.三圓盤非線性扭轉自由振動系統3∶1型內共振［J] .唐山學院學報，2003，16(4):66－68.

［12] 張 妍，王懷磊，楊 杰.斜拉橋索－面－塔三自由度非線性振動模型及其1∶2∶1內共振分析［J] .動力學與控制學報，2010，8(1):62－65.

［13] 謝能剛，宋修廣.多自由度結構受迫振動中的能量共振［J] .振動與沖擊，2002，21(3):40－42.

［14] 陳 彬，劉 閣.化工管路系統的耦合振動主動控制研究［J] .振動與沖擊，2009，28(8):158－162.

［15] 譚長建，祝 兵.地震作用下高速列車與橋梁耦合振動分析［J] .振動與沖擊，2009，28(1):4－8.

［16] 劉相秋，王 聰，鄒振祝.考慮失諧的弱耦合周期天線結構的振動主動控制研究［J] .振動與沖擊，2009，28(6):126－130.