三線擺法測定轉動慣量的計算原理分析

吳 曉

(湖南文理學院，常德 415000)

轉動慣量是物體轉動慣性的量度。物體對某軸的轉動慣量的大小，取決于物體的質量、形狀和回轉軸的位置。對于質量分布均勻，外形不復雜的物體可以從外形尺寸及其質量求出其轉動慣量，而外形復雜和質量分布不均勻的只能從回轉運動中去測得。三線擺法是通過扭轉運動測量轉運慣量的一種常見方法。此方法已成功地用在公斤級小人造衛星、吸排油煙機的葉輪、汽車發動機整機等產品的轉動慣量測試中。一般三線擺扭轉振動是非線性振動，只有當給三線擺扭轉一個小于6°的初始角后，扭轉振動才可以近似為線性振動［1－8]。文獻［2－4] 都是把三線擺處理為線性振動后，推導出扭轉振動的固有頻率計算公式。如扭轉初始角大于6°以后，采用線性振動理論推導出的公式進行計算會帶來一定的誤差。但是，扭轉初始角太小又給測試實驗帶來不便。因此，只有利用非線性振動理論研究三線擺的扭轉固有振動，推導出計算精度高、表達形式簡便的扭轉振動固有頻率計算公式，才能很好地解決上述矛盾。

1 三線擺扭轉振動近似解

當圖1所示三線擺扭轉θ角后(θ角不限于很小)，圓盤的位置升高為h，它的勢能增加為Ep，則有下式成立:

式中:m0為下圓盤的質量，g為重力加速度。

當下圓盤扭轉角為θ時，具有的動能為:

式中:I0為下圓盤對O1O2軸的轉動慣量。

如果略去摩擦力，按機械能守恒定律，圓盤的勢能與動能之和應等于一常量，即:

圖1 三線擺示意圖Fig.1 Sketch map of trilinear pendulum

設懸線長l，上圓盤半徑為r，下圓盤半徑為R。當下圓盤轉一角度θ時，從上圓盤B點作下圓盤垂線，與升高h前、后的下圓盤分別交于C和C'則:

因為:

而(BC+BC')可近似為兩盤間距離d0的二倍，則:

把式(6)代式(3)中并對t微分可得:

取sinθ泰勒級數展開式前三項代入上式中可得:

在式(8)中引入“人工攝動參數”且令τ=ωt可以得到:

令式(9)的初始條件為:

令:

把式(11)代入式(9)中可以得到下式:

把式(9)的解表示為系數待定的傅里葉級數:

為了使式(13)滿足初始條件式(10)，可補充條件:

把式(13)代入式(12)中利用系數待定法及式(14)可以求得:

當下圓盤放上一質量為m，轉動慣量為I的重物時，三線擺的振動周期為，所以由以上各式可得:

利用式(16)、式(17)可得被測物體的轉動慣量為:

在式(18)中當R=r時，式(18)即可化為:

采用式(19)即可計算文獻［1，2] 所采用三線擺所測物體的轉動慣量。

2 計算分析

當把圖1所示三線擺處理為線性振動即簡諧振動時，可知其振動周期為，由此可知三線擺的非線性振動周期與簡諧振動周期比值為下面把三線擺振動周期與簡諧振動周期的比值列在表1中，以便討論分析。

表1 三線擺振動周期比值Tab.1 Ratio of trilinear pendulum's vibrating period

從表1可以看出，本文給出的三線擺振動頻率公式計算結果與精確解吻合得相當好，這說明式(15)的計算精度很高，而且式(15)的表達形式也很簡便。當三線擺轉角超過10°時，按線性振動理論計算的結果與非線性振動理論計算的結果誤差達到0.2%以上，這與文獻［1] 的誤差分析是一致的。三線擺轉角不超過45°時，線性振動理論的計算結果與非線性振動理論的計算結果誤差不超過4%。

由文獻［9] 可知，若采用三條擺線相互平行的三線擺測試物體的轉動慣量時，要求扭轉角小于6°時才可使用公式，即必須保證測試系統為線性的。

由于文獻［2] 沒有給出三條擺線相互平行三線擺擺盤的有關參數，因此無法把本文方法的計算結果與文獻［2] 測試結果進行比較。

為驗證本文方法可靠性，采用三條擺線相互平行三線擺進行了實驗測試。擺盤為標準樣件的實心圓鋼盤。圓鋼盤密度 ρ=7.8×103kg/m3，鋼盤半徑 R0=7.19 ×10－2m 圓鋼盤厚 δ=1.15 ×10－2m，擺線長 d0=1.928 m，圓盤重心到擺線與圓盤固結點的距離 r=5×10－2m。

由以上計算參數可知圓鋼盤的轉動慣量為I'0==37.64 ×10－4kg·m2。

當三線擺扭轉角等于18°時，可測得三線擺的扭轉振動周期為 T0=2.869 5 s。

當R=r時，由式(16)可以得到:

把有關參數代入式(20)中可知I0=38.157 4×10－4kg·m2。把實驗結果I0與理論值I'0進行比較，可知二者誤差為1.374 6%。

從以上分析可知，本文方法計算精度較高，且不受扭轉角小于6°的限制，而且計算過程也比較簡便。

3 結論

(1)三線擺轉角較大時，應采用非線性振動理論來測量物體的轉動慣量。

(2)本文給出的三線擺振動頻率公式計算精度較高且表達形式簡潔，完全可以取代已有的三線擺振動頻率計算公式并在工程實際中應用。

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