飽和地基中二維空溝遠場被動隔振研究

時 剛，高廣運

(1.鄭州大學 土木工程學院，鄭州 450002;2.同濟大學 巖土及地下工程教育部重點實驗室，上海 200092)

隨著經濟的迅猛發展，各種人工振動污染日益頻繁，對鄰近建筑物、精密儀器設備以及人們的生活影響越來越嚴重。國際上已把振動列為“七大公害”之一，因此，對各種人工振動污染的治理就成為當前急需解決的重要課題之一。在地基中設置隔振屏障是振動污染治理的一種有效方法［1]。與傳統方法相比，屏障隔振具有造價低、不易損壞、耐久性好、施工簡單以及可作為結構一部分等優點，因而被廣泛地應用到工程實際中。

隔振屏障具有多種形式，其中，空溝具有設置簡單、造價低、隔振效果好等優點，在隔振工程中應用較多。國內外眾多學者對空溝隔振問題進行了大量的試驗研究和數值分析。Woods［2]首先對空溝主動和被動隔振效果進行了一系列的現場全尺寸試驗研究，并在大量試驗的基礎上提出了空溝屏障隔振設計的一些基本準則。此后，Haupt［3]、Ahmad 等［4]、Klevin 等［5]等也分別進行了一系列試驗來研究空溝幾何尺寸、空溝位置等參數對空溝隔振效果的影響，并給出了一些設計建議。而在數值研究方面，Haupt［6]、May 等［7]學者運用有限元法，Beskos 等［8]、Banerjee 等［9]、Al-Hussaini等［10]學者運用邊界元法，分別對空溝主動隔振和被動隔振問題進行了計算分析。其中大多數的研究是針對均質彈性半空間，也有少量文獻分析了層狀地基中空溝隔振問題，例如，Leung 等［11，12]應用半空間 Green 函數分析了層狀半空間屏障隔振問題;高廣運等［13]采用薄層法半空間基本解作為Green函數的邊界元法，分析了三維半空間中空溝振動隔振問題。

然而，上述研究均局限于彈性介質，未考慮飽和土地基的情況。我國東南沿海經濟發達地區分布有較廣泛的軟土地基，這些地區地基土含水量較大，且往往處于飽和狀態，若采用彈性介質來進行描述則會產生較大誤差。對于飽和土中的隔振問題，徐平等［14]采用波函數展開法分析了單排非連續剛性樁屏障對彈性波的隔離問題;丁光亞等［15]則分析了管樁對傾斜入射彈性波的隔振問題。

本文針對均質飽和地基中二維空溝遠場被動隔振問題，基于薄層法在研究飽和層狀介質中波傳播問題的高效性和邊界單元法處理半無限域中土－結構動力相互作用問題的精確性，結合兩種方法的優點，得到了以二維飽和半空間薄層法基本解答作為Green函數的飽和土二維頻域半解析邊界元法，對飽和地基中空溝的遠場隔振效果及其影響因素進行了詳細研究。

1 飽和土頻域半解析邊界元法

1.1 Biot波動方程

1.2 飽和多孔介質的邊界元方程

飽和土的邊界元方程可由相互作用定理(Reciprocal work theorem)導出［18，19]。

由相互作用定理可得飽和土的邊界積分方程為:

式(2)所示的邊界積分方程通常難以通過解析的方法進行求解，一般可采用類似于有限元的方法進行離散求解，從而形成了邊界元法。

首先，將邊界Γ離散成E個單元，單元中任意點的位移、孔壓、面力和流量可以用單元節點對應量通過形函數來進行近似:

將式(3)代入邊界積分方程(2)中，最終得到飽和土邊界元方程為:

將全部邊界節點按照順序從1到N進行編號。節點n對應的面力、流量和土骨架位移、孔壓分別記作:

令式(4)中面力、流量Tk和骨架位移、孔壓Uk的積分系數分別為和，則式(4)最終可寫成:

按照上述步驟，將對應于每個邊界節點的邊界積分方程(2)用邊界單元積分之和表示，如式(6)所示。遍歷所有邊界節點進行同樣的工作，這樣，對于有N個邊界節點的問題，將得到與N個邊界節點位移、面力、孔壓和流量相關的3N(二維)個線性方程:

式中，i，j=1，2，3(二維)。

上式即為飽和多孔介質的邊界元方程。利用給定的邊界條件，即將給定的邊界節點上的位移、面力、孔壓和流量代入上述方程組中，分離已知量與未知量及其相應的系數，得到可以求解的線性代數方程組，求解這個方程組即可得到所有邊界節點上的未知量。

1.3 飽和多孔介質的半解析邊界元法

研究飽和土地基的波動問題時，常規邊界元法一般采用全空間動力Green函數。因此，在進行邊界單元劃分時，不僅需要在結構－土交界面上進行離散，還需要在半空間表面及不同土層的交界面上進行離散，從而大大增加了未知自由度的個數，導致計算時間和成本急劇增加，計算效率較低。此外，在半空間表面進行離散時，往往僅能在有限區域內進行單元劃分，這也在一定程度上降低了邊界元的精度。

為了減少未知量的個數，提高邊界元的計算效率，采用飽和半空間(或飽和層狀半空間)的位移、孔壓基本解答作為飽和土邊界元法的Green函數。這樣，在分析上述問題時，只需要在土與結構物的表面進行離散，而不需要在半空間表面和土層交界面上劃分單元，從而使邊界元法更好地適用于飽和半空間的情況。

對于飽和層狀地基，可采用傳遞矩陣法和薄層法(TLM)等方法來求解動力Green函數。其中，薄層法屬于一種半解析半數值的方法［20，21]，即對 Biot波動控制方程在豎向進行類似于有限元法的離散，將土層劃分為有限個薄層，而在其它坐標方向進行解析求解。由于薄層法基本解答本身就需要將飽和土地基劃分為有限個薄層，對每一薄層分別賦予相應的材料參數進行集總。在分析層狀介質時，幾乎不增加任何工作量，即可得到層狀介質的基本解答，因此特別適用于分析任意層數的層狀介質相互作用問題。限于文章篇幅，本文不再給出飽和土地基的薄層法解答，可參考文獻［22] 。

這樣，通過在飽和多孔介質的邊界元中引入薄層法基本解答，就形成了飽和多孔介質的半解析邊界元法。一方面可以避免分析飽和半空間問題時需要在半空間表面和土層分界面上進行單元劃分的問題，從而提高了計算效率;另一方面，薄層法求解Green函數時，Fourier逆變換(二維)不需要進行數值積分，且一次求解可獲得各層面上位移、孔壓值，若將薄層分界面與單元節點或Gauss點對應起來，可以大大提高計算效率。

2 飽和地基中空溝遠場被動隔振研究

2.1 空溝遠場隔振的邊界元方程

空溝遠場被動隔振的計算模型如圖1所示。采用半解析邊界元法進行空溝遠場隔振計算時，由于采用薄層法Green函數，能夠自動滿足半空間表面邊界條件，因而僅需要在空溝表面進行邊界單元劃分。本文采用二次單元對空溝表面進行劃分，單元長度L=0.2 λR，其中，λR為飽和土地基Rayleigh波波長。

圖1 空溝遠場被動隔振示意圖Fig.1 Open trench vibration isolation system as passive barrier

假定空溝表面共劃分為E個單元、N個節點，則邊界元方程可表示為式(7)的形式。對該式中的變量進行重新排列，有:

當考慮 Rayleigh波入射時，由于空溝對入射的Rayleigh波產生散射作用，在飽和地基中產生散射波，散射波也滿足式(8)，此時有:

式中:位移、孔壓、面力和流量上標“s”表示散射波。

考慮空溝表面透水的情況，其邊界條件可表示為:

將式(10)和式(11)代入式(9)中，最終可得飽和地基中空溝對Rayleigh波散射的邊界元方程為:

由于采用飽和半空間Green函數，半空間表面沒有進行邊界單元劃分，因此，求解式(12)獲得空溝表面位移和流量或孔壓后，可按下式計算飽和半空間表面各點的散射波:

2.2 驗證

引入衡量隔振效果的位移振幅衰減系數ARF，其定義為［23]:

由邊界元方法求解得到半空間表面散射波位移Us，以及Rayleigh波入射所產生的位移Ui，最終有:

當飽和土的ρf→0和φ→0時，飽和土相應地退化成彈性介質的情況，因此可以采用退化的方法對空溝遠場隔振的飽和土邊界元程序進行驗證。

Conter等［24]計算分析了二維彈性地基中空溝對瑞利波的遠場隔振問題，給出了無量綱空溝深度h*=1.0(h*=H/λR，λR為 Rayleigh 波波長)、無量綱寬度w*=0.4(w*=W/λR)時，空溝前后由入射 Rayleigh 波引起的地面位移幅值。

圖2為本文計算結果與Conter結果的比較。由圖可知，空溝前位移幅值計算結果吻合較好，而空溝后位移幅值誤差相對較大，這可能是由于單元劃分以及退化不完全等因素所造成。

圖2 二維空溝遠場隔振的結果對比Fig.2 Comparative study for passive isolation by open trench

3 計算結果與分析

飽和土地基的基本計算參數如表1所示。

表1 飽和土地基的計算參數Tab.1 Mechanical parameters of saturated soil

為考慮飽和土體的材料阻尼作用，可采用復剪切模量來引入材料阻尼的影響。復模量的實部反映了土體的實際抵抗力，而虛部則反映了土體消散能量的機制。本文取飽和土體的材料阻尼為ξ=0.02。

在計算空溝遠場隔振效果時，空溝幾何尺寸采用無量綱化參量表示，即無量綱深度h*=H/λR和無量綱寬度w*=W/λR。在下述計算中，當考慮一種因素影響時，其他參數保持不變。

此外，為衡量空溝幾何尺寸以及飽和土地基材料參數等對隔振效果的影響，這里引入平均振幅衰減系數AR，其定義如下:

式中，l'取屏障后5個Rayleigh波波長的距離。

3.1 空溝幾何尺寸的影響

本節主要分析空溝深度和空溝寬度的影響，分析時均采用無量綱化的量表示。

3.1.1 空溝深度h*的影響

分析空溝深度對隔振效果影響時，空溝無量綱深度 h*分別取 0.4、0.6、0.8、1.0、1.2、1.4 和 1.6，計算結果如圖3和圖4所示。

圖3 空溝深度不同時振幅衰減系數ARF隨距離變化曲線Fig.3 Graphs of ARF for different trench depth h*

由圖3可知，在飽和土地基中，空溝對入射Rayleigh波具有一定的隔振效果，與彈性地基不同，空溝后振幅衰減系數ARF隨距離呈一種振蕩變化的形式。此外，飽和半空間表面排水條件對空溝隔振影響較小，振幅衰減系數ARF隨距離的變化曲線基本類似，僅量值上稍有差別，因此，在以后分析中僅給出飽和半空間表面不透水時的ARF曲線。

圖4 空溝不同深度時的平均隔振效果ARFig.4 Effect of AR on isolation effectiveness

由圖4可知，隨著空溝深度的增加，空溝后平均振幅衰減系數迅速降低，這表明空溝深度對隔振效果影響較大;然而當空溝深度過1倍λR時，空溝平均隔振效果反而會有所降低，但降低幅度不大。此外，飽和半空間表面透水性對空溝平均隔振效果影響不大。

3.1.2 空溝寬度w*的影響

為分析空溝寬度對飽和地基中空溝隔振效果的影響，空溝無量綱寬度 w*分別取0.2、0.4、0.6 和 0.8，計算結果如圖5和圖6所示。

圖5 空溝寬度不同時ARF隨距離變化曲線Fig.5 Graphs of ARF for different trench width w*

由圖5和圖6可知，在飽和地基中，隨著空溝寬度w*的增加，屏障后的平均振幅衰減系數AR有所增加，空溝隔振效果變差，但降低幅度不大;隨著空溝寬度的進一步增加，空溝的平均隔振效果稍有提高，但提高幅度相對較小，這與彈性介質情況相同。與空溝深度的影響相比，空溝寬度對隔振效果的影響相對較小。

圖6 空溝不同寬度時的平均隔振效果Fig.6 Effect of w*on isolation effectiveness

3.2 飽和土地基材料參數的影響

本節主要對分析飽和土滲透系數κ、泊松比v對隔振效果的影響。

3.2.1 滲透系數κ的影響

分析飽和土地基流體滲透系數κ對空溝隔振效果的影響，滲透系數 κ分別取1.0×10－7m4/N·s，1.0 ×10－8m4/N·s，1.0 ×10－9m4/N·s，1.0 ×10－10m4/N·s和1.0×10－11m4/N·s，計算結果如圖7和圖8所示。

圖7 孔隙滲透系數κ不同時ARF隨距離變化曲線Fig.7 Graphs of ARF for different pemeabilityκ

由圖7和圖8可知，流體滲透系數κ對空溝隔振效果有一定影響:當滲透系數較大時，空溝隔振效果相對較差;隨著滲透系數的增加，屏障后平均振幅衰減系數 AR逐漸減低，空溝隔振效果有所提高，但提高幅度較小。此外，當飽和半空間表面透水時，滲透系數對空溝隔振效果的影響非常小。

圖8 飽和土不同滲透系數κ時的空溝隔振效果Fig.8 Effect of pemeabiltiy κon isolation effectiveness

3.2.2 泊松比ν的影響

為分析飽和土地基的泊松比ν對空溝隔振效果的影響，ν分別取0.20、0.25、0.30 和0.35，計算結果如圖9和10所示。

圖9 泊松比ν不同時ARF隨距離的變化曲線Fig.9 Graphs of ARF for different Possoin’ratio ν

由圖9和圖10可知，泊松比ν不同時，位移振幅衰減系數ARF曲線基本相似，這表明泊松比ν對空溝隔振效果影響較小。同樣，隨著泊松比 ν的增加，平均振幅衰減系數AR也隨之增加，空溝隔振效果有所降低，但降低幅度非常小，這也表明泊松比ν對空溝隔振效果影響非常小。此外，飽和地基表面不透水時的平均隔振效果要稍差于表面排水的情況。

圖10 飽和土不同泊松比ν時的空溝隔振效果Fig.10 Effect of Possoin’ratio νon isolation effectiveness

4 結論

本文在飽和多孔介質頻率邊界元法的基礎上，建立了以飽和半空間薄層法(TLM)基本解為動力Green函數的半解析邊界元法，并采用該方法計算分析了飽和地基中空溝遠場隔振問題，推導了空溝遠場隔振的邊界元方程，最后，詳細研究了屏障幾何尺寸、飽和地基材料參數對空溝隔振效果的影響，主要結論如下:

(1)在飽和地基中設置空溝能夠有效地降低屏障后的位移振幅;

(2)空溝的幾何尺寸對其隔振效果有較大影響，增加空溝深度能有效地提高空溝的隔振效果，但深度超過1倍Rayleigh波波長后，空溝深度對隔振效果影響較為復雜;而空溝寬度影響相對較小，過大的空溝寬度并不能取得更好的隔振效果;飽和地基中空溝隔振規律與彈性介質相似;

(3)飽和地基的滲透系數κ、泊松比ν對空溝隔振效果影響不大;此外，飽和地基表面透水時的隔振效果要稍好于不透水的情況。

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