雙參數沖擊荷載作用下彈性壓桿的動力屈曲研究

鐘煒輝，郝際平，雷 蕾

(1.西安建筑科技大學 土木工程學院，西安 710055;2.中國電力工程顧問集團 西北電力設計院，西安 710075)

早期對軸心壓桿沖擊屈曲的研究方法大多以BR運動準則［1]與放大函數法［2]為主，雖然這些方法本身存在著一定的不足，且在一定程度上掩蓋了屈曲問題的本質，但作為一種便于計算機計算的實用屈曲準則，仍得到廣泛的應用［3，4]。而自上個世紀60年代以來，國外學者開始討論應力波傳播對沖擊屈曲的影響［5，6]，國內關于應力波對沖擊屈曲影響的研究，具有代表性的工作有:朱兆祥［7]通過實驗研究揭示了沖擊屈曲過程中的應力波效應，張善元等［8，9]就直桿沖擊分岔屈曲進行的理論與實驗研究，王安穩［10，11]建立的直桿彈、塑性動力屈曲能量準則并提出了特征參數方法等。

實際上，作用在實際結構上的沖擊荷載往往是相當復雜的，但目前對于沖擊屈曲問題的研究，其沖擊荷載的形式大多集中在較為簡單的理想脈沖荷載與階躍荷載二者上，前者主要研究結構在沖擊荷載作用下被激發的行為，而后者則重點對應力波傳播對結構動力響應的影響進行分析。Youngdahl［12]與朱國琦［13]曾就沖擊荷載形式對結構塑性動力響應的影響進行了討論，可以預見的是，沖擊荷載形式對結構動力屈曲有較大的影響。

圖1 雙參數沖擊荷載Fig.1 Two-parameters impact load

有鑒于此，本文試采用如圖1所示的非恒值沖擊荷載形式——雙參數沖擊荷載P(t)對彈性壓桿沖擊屈曲進行分析，將雙參數沖擊荷載進行等價矩形脈沖簡化，除對理想軸心壓桿建立沖擊分岔屈曲條件外，還對初始幾何缺陷軸心壓桿進行分析，并通過有限差分法進行計算，得出了雙參數沖擊荷載作用下彈性壓桿沖擊屈曲的計算方法。通過兩端簡支和兩端固定軸心壓桿沖擊屈曲算例，初步揭示了沖擊荷載形式對軸心壓桿動力屈曲的影響規律，獲得了有價值的結論。

1 雙參數沖擊荷載的簡化

雙參數沖擊荷載(圖1)可以表示為:

式中:Pmax為雙參數荷載的最大值;tp為雙參數荷載的作用時間。

對軸心壓桿沖擊屈曲而言，雙參數沖擊荷載較階躍荷載要復雜得多，其主要原因是不同時刻不同桿件截面的受力情況并非僅與應力波的傳播有關，還與雙參數沖擊荷載的Pmax與tp密切聯系。一個簡單、有效的做法就是參照Youngdahl的思路［12]將雙參數沖擊荷載近似看作由若干個矩形脈沖荷載組成(等價矩形脈沖，即令沖量面積與形心位置相同的脈沖來代替真實的沖擊荷載形狀)，再將各矩形脈沖荷載作用下的桿段組合起來，就可對雙參數沖擊荷載作用的軸心壓桿進行近似分析，從而簡化計算。如圖2所示根據不同簡化精度的各矩形脈沖荷載大小分別為(m表示簡化的矩形脈沖荷載總數):

圖2 雙參數沖擊荷載的簡化Fig.2 Simplify two-parameters impact load

2 理想彈性壓桿的沖擊分岔屈曲

2.1 控制方程(組)

階躍荷載作用下理想軸心壓桿(如圖3所示)的沖擊屈曲控制方程(組)可以表示為:

圖3 階躍荷載作用下的軸心壓桿Fig.3 Axial compression bar under step load

可得:

式中:γ為一動力參數;κi=對于式(5a)，根據動力參數γ取值不同，其解呈現不同特性，當γ＜0時，為指數型發散解，形式為 T(t)=A eωt+B e－ωt(ω = －A、B為常數)，表明系統在經受微小擾動后的運動是無界的，處于不穩定狀態，對應動力屈曲情況。當γ＜0(即 κi＜0)時式(5b)有解:

(Ⅲ)當4κi＜ －＜0時

2.2 連續條件

各桿段間的連續條件可表示為(定義不同應力桿段的交界處為Li，i+1，分 段 規則如圖4所示):

圖4 桿件分段規則Fig.4 Rule for segmentation of bar

2.3 補充定解條件

相比于靜力屈曲，由于式(5a)中動力參數γ的引入，通過積分常數的齊次方程組獲得的沖擊分岔屈曲條件中存在著兩個未知參量(P與γ)，因此類似靜力屈曲建立屈曲條件的方法只能得出兩個未知參量的關系而不能確定其值，有必要補充新的定解條件。根據文獻［10] “直桿發生分岔屈曲的瞬間所釋放出的壓縮變形能等于屈曲所需變形能與屈曲動能之和”以及“在能量轉換過程中能量對時間的變化率服從守恒定律”的思想，可建立關于軸心壓桿的沖擊分岔屈曲補充定解條件［11]:

2.4 沖擊分岔屈曲條件

由式(6a)～式(6c)可知，各桿段的解Vi均有4個待定積分常數，因此可通過桿件兩端4個邊界條件以及各桿段間的4個連續條件，獲得關于4n個積分常數的齊次方程組，進而建立沖擊分岔屈曲條件，從而求得桿件在不同時刻下的沖擊屈曲荷載及相應屈曲模態［14]。

2.5 理想彈性壓桿的沖擊分岔屈曲計算

雙參數沖擊荷載作用下理想彈性壓桿的動力屈曲計算應根據不同的矩形脈沖荷載作用區域將桿件劃分成若干個桿段，而簡化的矩形脈沖荷載個數越多，荷載越精確，將使問題求解的計算量越大。

表1列出了兩端簡支和兩端固定理想彈性壓桿的首階沖擊屈曲荷載Pdcr(對應著式(1)中的Pmax)及相應動力參數ω，對比了兩種荷載簡化情況的影響(m分別取 1、3)，同時對荷載作用時間 tp分別取 t0.5、t1.0(即應力波傳播至桿件中央和遠端的時間)進行了計算。由表中可以看出，m=3的沖擊屈曲荷載Pdcr相比m=1的情況略小(除兩端簡支tp=t1.0時)，而相應動力參數ω則偏大，這主要是因為在局部桿段上存在著相對較大的桿件應力，致使桿件容易發生屈曲，同時也使桿件的屈曲變形發展較快。

表1 理想彈性壓桿的沖擊屈曲Tab.1 Impact buckling of ideal elastic compression bars

3 初始幾何缺陷彈性壓桿的沖擊屈曲

3.1 控制方程

如圖5所示具有初始幾何缺陷(初彎曲)的軸心壓桿，其沖擊屈曲控制方程為:

式中:v0為桿件的初始橫向位移。由于上式不易獲得精確的解析解，因此本文采用有限差分法對其進行計算。

圖5 初始幾何缺陷軸心壓桿Fig.5 Axial compression bar with initial imperfection

3.2 有限差分格式

控制方程式(9)含有z與t兩個未知量，因此對其需進行空間與時間上的離散。如圖6所示將桿件沿其長度z方向等分成n段，每段長度為Δl=l/n。若設第i段末端的位移為vi，則中心差分格式為:

將上式代入式(9)可得第i點的差分方程:

式中:·v·表示橫向位移對時間的兩階導數。圖6中的v－1與vn+1可根據不同邊界條件而定，若為簡支則v－1=－ v1、vn+1= － vn－1，若為固定則 v－1=v1、vn+1=vn－1。

圖6 有限差分法的空間離散Fig.6 Discrete space of finite difference method

其次，進行時間離散，可得k時刻各離散點位移vi，k的中心差分格式(時間步長為Δt):

將上式第二式代入式(9)可得第i點在k時刻的差分方程:

由上式可見，只要知道k及k－1時刻各離散點的位移v，就可求得k+1時刻各點的橫向位移，依此類推。當k=0時，由式(12)整理可得:

上述有限差分計算時時間步長Δt的選取應小于由所求解方程性質決定的某個臨界值Δtcr，否則算法是不穩定的，本文將Δtcr定義為軸向應力波在兩相鄰離散點之間的傳播時間。

3.3 初始幾何缺陷彈性壓桿的沖擊屈曲計算

對于兩端簡支和兩端固定軸心壓桿的初始幾何缺陷形式如表2所示。表3列出了兩端簡支和兩端固定初始幾何缺陷彈性壓桿的沖擊屈曲系數ζ(ζ=vm/v0m，vm、v0m分別為桿件最大撓度與初始幾何缺陷最大撓度)，對比了三種荷載簡化情況(m分別取1、3、5)和兩種沖擊荷載的影響，同時對荷載作用時間tp分別取t0.5、t1.0和桿件長細比 λ 分別取 50、100 進行了計算。

表2 軸心壓桿的初始幾何缺陷形式Tab.2 Initial imperfection forms of axial compression bars

表3 初始幾何缺陷彈性壓桿的沖擊屈曲Tab.3 Impact buckling of elastic compression bars with initial imperfection

由表中可以看出，荷載簡化精度m對沖擊屈曲系數ζ的影響不大，比較m=1與m=5的計算結果可以發現，誤差通常在5%左右，且一般不超過10%，即雙參數沖擊荷載采用沖量相等的原則來簡化計算是可行而有效的。m=1相對于m=3、5由于首先輸入的應力較大，其作用在構件的時間最長，因此隨著m的增大，沖擊屈曲系數ζ(絕對值，后同)應會有所減小。但實際上，沖擊屈曲系數ζ會隨著時間t的增加而呈非線性增大，若后續輸入的應力較大，則也有可能會出現沖擊屈曲系數ζ隨著m的增大而增大的現象。另外，沖擊荷載的增加會使沖擊屈曲系數ζ增大，但由于本文是在彈性小變形范圍內進行計算的，因此沖擊屈曲系數ζ隨沖擊荷載的非線性變化不明顯。對于兩端固定軸心壓桿，初始幾何缺陷1所產生的屈曲變形大多偏大。

圖7 初始幾何缺陷兩端簡支軸心壓桿的沖擊屈曲變形Fig.7 Impact buckling deformations of elastic compression bars with initial imperfection of both ends simple supported

初始幾何缺陷兩端簡支軸心壓桿的沖擊屈曲變形如圖7所示(圖中縱坐標均進行了歸一化處理，后同)。由圖中可以看出，m=5時桿件的最大橫向變形(峰值)相對于m=1偏向于沖擊端，表現出雙參數沖擊荷載所產生的變形與階躍荷載的差異，但二者差別不大。

初始幾何缺陷兩端固定軸心壓桿的沖擊屈曲變形如圖8所示。由圖中可以看出，固定邊界條件將對桿件屈曲變形有重要影響，會使桿件出現較大的反向橫向變形，并且隨著時間的增大(應力波傳播更充分)，正向橫向變形發展相對迅速，且隨著長細比λ的增大，該現象越顯著。荷載簡化精度m的變化對兩端固定軸心壓桿的沖擊屈曲變形有一定影響，比兩端簡支的影響要大，這主要是由于邊界條件使桿件發生較大的局部變形所造成的。

圖8 初始幾何缺陷兩端固定軸心壓桿的沖擊屈曲變形Fig.8 Impact buckling deformations of elastic compression bars with initial imperfection of both ends fixed

4 結論

(1)雙參數沖擊荷載作用下彈性壓桿的沖擊屈曲問題研究可采用等價矩形脈沖的方法對荷載進行簡化，本文對理想的和初始幾何缺陷的彈性壓桿沖擊屈曲分別進行了分析和計算。

(2)雙參數荷載的簡化精度對理想彈性壓桿沖擊分岔屈曲的計算量有重要影響，從本質上看是改變了桿件不同位置處的剛度，大體上所得沖擊屈曲荷載將比實際情況要小，但沖擊屈曲變形發展卻要快。

(3)雙參數荷載的簡化精度對初始幾何缺陷彈性壓桿的沖擊屈曲計算影響較小，但當邊界條件是固定時，桿件會出現顯著的反向變形，此時不同情況下桿件的正、反向變形變化將有顯著差異。

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