影子價格在資源配置中的一個誤用及其判定方法

鄭山水 （廣州鐵路職業技術學院，廣東 廣州 510430）

·產經研究·

影子價格在資源配置中的一個誤用及其判定方法

鄭山水 （廣州鐵路職業技術學院，廣東 廣州 510430）

影子價格是運籌學、管理學和經濟學中的一個重要概念，是線性規劃對偶思想成功應用于經濟管理領域并解決實際問題重要標志之一。其經濟含義為，對某種資源在實現最大利潤時的一種 “估價”即影子價格。它對于合理利用資源、擴大再生產與提高經濟效益等都有著十分重大的意義。

1 影子價格的計算及其誤用

影子價格的概念來源于對偶線性規劃，設一對對偶的線性規劃：

即：

因此，可以將Z*看作是關于資源的函數：

在 （4）中對bi右向偏導函數可得到：

但是，由此求出的影子價格不具備永遠的指導意義，它只能在有限的范圍內有效，此點往往被忽視！

如某工廠有A、B兩個車間，生產甲、乙兩種產品，每件產品在生產中耗用的資源量、產品的單位利潤與兩個車間可利用的資源總量如表1，現公司在其他條件都不變的條件下擬增加1 000單位的資源投入，為使總收益最大兩個車間應該如何分配資源，各增加多少為宜？如果是增加2 620單位的資源投入呢？

表1 生產有關數據表

為獲取最大利潤，建立線性規劃：

由單純形法對 （6）求解得表2：

表2 初始線性規劃最優單純形表

但是，現在公司增加2 620單位的資源，是否同樣可以按照上面的思維由式子 （5）計算得總收益為1 740+2 100=7 242元。但是，按單純形表計算如表3與式子 （5）計算的結果不一致，難道影子價格的理論是錯誤的嗎，如果不是，這是為什么呢？這其實就是影子價格在資源決策中的一個典型的誤用。

2 影子價格誤用的原因及其判定方法

在資源的配置中總利潤Z*的增量與影子價格這種每增加一單位第i種資源帶來的目標最優值的增率關系并非總是線性的，它只在限制資源bi的一定的取值范圍成立，否則脫離bi的取值范圍所作出的資源優化決策肯定是錯誤的，因為此時最優解xB=B-1b（B-1為最優基的逆矩陣，b為資源常數列向量）與影子價格可能已經發生了改變。如果要保證影子價格不發生變化，則最優基沒有改變即xB=B-1b≥0。

現假設線性規劃 （1）其他條件都不變，只有資源常數項bi中某一個資源常數br發生變化，其變化的量是?br。

表3 增加A設備2 620小時的線性規劃最優解

其中xB為原最優解，為xB的第 i個分量，βir為B-1的第i行第 j列元素。

為了保持最優基不變，即：

當?br在此范圍之內，最優基不變，影子價格與總利潤的關系不發生改變。當?br不在此范圍之內時，將使最優解中某分量小于零，使最優基發生改變，此時要重新單純形法求解新的影子價格。

如上面的例子由表2可知最優解xB和B-1的值為：

為保持A車間資源的影子價格不變，則原線性規劃的最優解不變，下面的式子成立：

整理后得：-200/3≤?bA≤2 600；在此范圍最優解不變，A車間資源的影子價格不發生改變。

如公司增加A車間的資源量1 000單位時，即常數的變化量為?bA=1 000在-200/3≤?bA≤2 600范圍之內，影子價格沒有發生變化，所以此時總收益增加的量可以通過式子 （5）直接得到總收益變化的量即：?z*=?bA×=1 000×2.1=2 100 元， 此時總利潤MaxZ=1 740+2 100=3 840元與單純形表的計算結果一致。

但是公司增加2 620單位資源時，常數的變化量為?bA=2 620，此時變化的量在-200/3≤?b1≤2 600范圍之外，其最優解已經發生了改變，影子價格也隨之改變。如果此時我們還用影子價格與增加量直接相乘得到的數值?z*=?bA×=2 620×2.1=5 502肯定會不正確。

3 結束語

毋庸置疑，影子價格在我們的資源配置中非常重要。無論是以企業收入最大化還是利潤最大化為目標，資源的影子價格在是否轉讓或投產的決策上具有較高的參考價值。但影子價格在資源配置中的應用仍存在一些問題。

第一，企業以總收益最大化為目標，擴大生產往往是同時增加幾種相關資源而不是光增加一種資源，否則會出現邊際收益遞減現象。

第二，就線性規劃模型而言，目標函數和約束條件都是簡化的，實際情況下可能會有更多的變量和約束條件，模型中的價值系數與技術系數等同樣受多種因素的影響，其中有些因素本身就具有不確定性，這些都會影響到影子價格。資源的影子價格與具體的企業及所生產的產品緊密相關，同一種資源在不同的企業，或生產不同的產品或不同的生產規模對應的影子價格可能是不相同的。就算是其他的條件都是確定，單單是資源的增減超越了一定的范圍，影子價格也會發生改變。

總之，以影子價格作為企業資源配置決策的依據時需要十分謹慎，雖然影子價格在理論上對資源配置具有一定的參考價值，但在實際運用中，還需要仔細斟酌。

[1] 吳祈宗.運籌學[M].北京：機械工業出版社，2005.

[2] 馬贊甫.線性規劃中影子價格的 “非唯一性”[J].系統工程，2007(4):119-122.

[3] 劉舒燕.關于影子價格不唯一性討論[J].運籌與管理，2001(6):33-36.

[4] 楊桂元.資源影子價格的靈敏度分析[J].數量經濟技術經濟研究，1999(4):65-68.

How to Judge the Misuse in Shadow Price of Resource Allocation

ZHENG Shan-shui (Guangzhou Institute of Railway Technical,Guangzhou 510430,China)

影子價格在資源的配置中具有重要的指導意義，但是在應用時如果不考慮資源約束項的應用范圍，得出的結果將不具備指導性。運用影子價格的邊際定義對其與資源常數項的關系進行考察，通過理論與實例分析影子價格在資源配置時的有效范圍，避免影子價格的誤用。

線性規劃；影子價格；資源配置；對偶問題

Shadow price has important guiding significance for resource allocation.However,in the application we often forget the scope.In this paper,we analyze the relationship between the shadow price and the resources,through the theory and examples to judge the range of resources.All of this is in order to avoid the misuse of the shadow price.

linear programming;shadow price;resource allocation;dual problem

F224

A

2010-12-17

鄭山水（1976-），男，湖南衡陽人，廣州鐵路職業技術學院物流管理系，講師，中山大學博士研究生，研究方向：產業組織與流通經濟、生產運作管理。

1002-3100(2011)03-0133-03