一種效率測度的新方法：隨機非參數數據包絡分析法

籍艷麗，趙麗琴

（1.常熟理工學院數學與統計學院，江蘇常熟215500；2.山西財經大學統計學院，太原030006）

一種效率測度的新方法：隨機非參數數據包絡分析法

籍艷麗1，趙麗琴2

（1.常熟理工學院數學與統計學院，江蘇常熟215500；2.山西財經大學統計學院，太原030006）

考慮到隨機前沿法（SFA）和數據包絡分析法（DEA）的不足，文章介紹了一種新的效率測度方法——隨機非參數數據包絡分析（StoNED）。該方法結合了SFA和DEA兩者的優點，具有更好的理論基礎；而且，借助于軟件GAMS，可以進行求解。新的方法可以更加科學地對效率進行測度。

效率；隨機前沿法（SFA）；數據包絡分析法（DEA）；隨機非參數數據包絡分析法（StoNED）

0 引言

近年來，對于效率測度的研究很多，這些研究大多采用兩種方法——參數方法或非參數方法，它們的區別在于是否構造一個“生產前沿面”。參數方法根據不同假設選定生產函數的不同形式并對其中的參數進行估計，而非參數方法無需估計前沿生產函數的參數及函數具體形式。使用較多的分析技術有兩種，一是數據包絡分析法（Data Envelopment Analysis-DEA），其屬于非參數方法；另一是隨機前沿法（Stochastic Frontier Approach-SFA），其屬于參數方法。其中，DEA是一種運用線性規劃的數學過程，用于評價生產決策單位的效率，其目的就是構建出一條非參數的包絡前沿線，有效點位于生產前沿上無效點處于前沿的下方；SFA是把生產前沿面看作是隨機的生產邊界而采用統計方法求解參數的隨機性參數前沿生產函數方法。

那么，DEA法和SFA法在測算決策單位的效率時，何者更優？作為一種非參數方法，DEA方法的主要優點在于不需要指定生產函數的形式或分布假設，從而避免了相應的設定誤差，同時解決了各決策單位的最優化問題，并能同時提供多個效率測算指標；但是，該方法將任何對生產邊界的偏離都度量為非效率成分，即不能將隨機誤差分離出來。作為一種參數方法，SFA方法的主要優點在于，能夠較好地將純粹的隨機誤差與非效率值相分離；但是，在估計生產函數的相關參數時，不恰當的函數形式或誤差項的分布假設會潛在地將設定誤差與效率估計混淆。這樣看來，在測度效率時，兩者各具優點，但也有各自的不足，沒有經驗顯示其中一種方法絕對優于另一種。因此，在結合兩者的優點基礎上，我們介紹一種測度效率的新方法——隨機非參數數據包絡分析法（StoNED）。

1 模型設定

StoNED方法是Kuosmanen在SFA和DEA的基礎上發展起來的一種非參數前沿分析方法。為簡便起見，我們這里使用一種代表性模型。用經典的生產函數f:y=f(x)表示生產技術，該函數概括了生產可能集。而生產函數事先并不知道，與DEA法相同，假定f屬于單調遞増的凹函數，用F2來表示，這些假設和生產函數的公理相一致。不同于SFA法，事先沒有假定具體的函數形式。相反地，我們內生地選擇函數f，這樣，確定部分的生產函數采用了與DEA法相同的非參數處理技術。

與DEA法不同，我們引入隨機成分，而這一隨機成分遵循SFA的通常設定。決策單位i產出的觀察值yi不同于f(xi)，合成殘差εi=vi-ui，其中ui為無效率項，vi為誤差項。正式地：

2 模型估計

與SFA文獻的修正普通最小二乘法（MOLS）相似，我們采用矩方法來估計StoNED模型（1）。估計方法包括三步：①對殘差贊=（贊1，…，贊n）的最小二乘估計；②基于殘差分布的二階m2和三階矩m3，對于方差σ2u和σ2v的估計；③基于條件分布的無效率項贊i的估計。此外，在得出無效率項后，可以繼續通過計算，最終求出StoNED的效率值E。基于此，本文對模型的估計采用三個步驟。

為便于計算，在StoNED模型中，我們采用非參數回歸技術（稱為凹面非參數最小二乘法（CLNS））代替普通最小二乘法OLS。與OLS相比較，CNLS不同點在于考慮了單調和凹回歸函數的更一般的非參數形式。正式地，CNLS模型可以改寫為一個二次規劃問題。

對于一個事先未設定的函數形式，模型(2)的CNLS估計n個切超平面。斜率系數β'i代表投入i的邊際產出。第二個約束條件通過應用一系列不等式（被稱為“Afriat inequalities”）對函數施加了凹性限制。第三個約束條件對函數施加了單調遞增性限制。

生產函數f的CNLS估計為分段線性方程，這點與DEA前沿面非常相像。然而，模型（2）的最小二乘與線性規劃DEA在許多方面都不同。首先，DEA模型對每個決策單位分別進行線性規劃求解，而模型（2）同時考慮所有決策單位的殘差ε贊，進而求解。其次，DEA模型借助于相對尺度的乘法效率，而模型（2）采用絕對尺度的偏離前沿面的加法效率，這點與SFA文獻相一致。再次，EDA模型僅僅提供生產前沿面的隱性代表，而模型（2）清晰地描述了生產函數的邊際特征。最后，最重要的不同之處在于DEA模型對ui限制在單側，而CNLS模型（2）對ui不加限制。

這里CNLS可以通過GMAS（General Algebraic Modeling System）軟件進行估計。

這些矩是真實矩μ2和μ3的一致估計量，它們依賴于無效率項和誤差項。

因此，方差σ2u和σ2v能夠從m2和m3簡單地估計出來。這個估計以合成誤差ε的分布的偏斜為基礎，它是由于無效率項導致的。因此，三階矩m3理論上應該是負。

關于方差估計，我們可以對無效率項使用條件估計量。Jondow等（1982）指出，考慮到贊的無效率項ui的條件分布是截尾正態分布，且均值，方差作為ui的一個點估計量，我們可以使用條件期望值E(ui|i)，作為無效率項的值。也即：

其中，覬是標準正態密度函數，ψ標準正態累積分布函數。公式（7）的條件均值有一直觀解釋：條件分布的眾數μ*和標準差σ*與正態危險函數覬（-μ*/σ*）/（1-ψ（-μ*/σ*））的乘積之和。作為可供選擇的點估計，可能在條件分布的眾數μ*與0兩者中選擇較小者。同樣，我們能夠得到基于條件分布的無效率項的區間估計（見Horrace和Schmidt，1996）。100（1-a）%置信區間為：

其中，zL=覬-1（1-（α/2）α（μ*/σ*）），zU=覬-1(1-(1-α/2))覬(μ*/σ*)。

2.3 效率值E的估計

在公式（1）中，由無效率項ui和誤差項vi組成的合成殘差εi，使得決策單位的產出yi觀測值會與f(xi)值出現差異，同時給方程兩邊除以f(xi)，由于兩者之間的差異是無效率項引起的，而不是誤差項，因此決策單位的效率計算公式為：

其中E（vi）=0，因此（9）式變為

這樣，采用凹面非參數最小二乘CNLS技術以及一些矩估計，我們得到了決策單位的效率值。這只是一種簡單可行方法之一，比如在求方差時，還可采用極大似然估計法，而且，這里我們只討論了簡單的截面模型，同樣的思路可以擴展到面板模型（見Kuosmanen,2006）。這里不再討論。

3 結束語

隨機非參數數據包絡分析（StoNED）既考慮了SFA的殘差分解為無效率項和隨機誤差項的優點，同時也考慮了DEA的非參數分段線性前沿的優點。該方法把前沿分析中的參數和非參數方法綜合到統一框架下。從根本上來看，StoNED在沒有影響DEA和SFA優點的同時把兩者結合起來。該模型建立在SFA和DEA認可的標準公理和假設之下；在分析過程中極大地依賴于SFA和DEA所建立的概念和原理，不需要引入新的概念或工具，因此該方法比較容易理解和掌握。而且，借助于軟件GAMS，我們可以對決策單位的效率進行測度。總之，StoNED法具有巨大的現實意義。

[1]Aigner D.J.,P.Schmidt.Formulation and Estimation of Stochastic Frontier Models[J].Journal of Econometrics,1977,(6).

[2]Horrace W.C.,P.Schmidt.Confidence Statements for Efficiency Estimation from Stochastic Frontier Models[J].Journal of Productivity Analysis,1996，(7).

[3]Jondrow J.,I.S.Materov,P.Schmidt.On Estimation of Technical Inefficiency in the Stochastic Frontier Production Function Model [J].Journal of Econometrics,1982，(19).

[4]Kuosmanen T.Stochastic Nonparametric EnvelopmentofData: Combining Virtue of SFA and DEA in a Unified Framework[C]. MTT Discussion Paper,2006.

（責任編輯/易永生）

O21

A

1002－6487（2011）05-0033-02

籍艷麗（1978-），女，山西長治人，博士，講師，研究方向:統計理論與方法。

趙麗琴（1978-），女，山西原平人，博士，講師，研究方向：多元和數據分析。