基于ARIMA-GMDH的GDP預測模型

尹靜，何躍

（四川大學工商管理學院，成都610064）

基于ARIMA-GMDH的GDP預測模型

尹靜，何躍

（四川大學工商管理學院，成都610064）

文章先對四川省GDP分別建立了ARIMA時間序列模型和GMDH變量自回歸模型來進行預測；然后利用GMDH自組織建模方法建立ARIMA-GMDH組合預測模型來預測；最后使用Bonferroni-Dunn方法對三個模型的穩定性進行分析檢驗。模型預測結果和穩定性檢驗結果表明：基于ARIMA-GMDH組合的GDP預測模型的擬合和預測都優于另外兩種單預測模型。相比之下組合模型在擬合和預測效果具有較高的可靠性、準確性和穩定性。

GDP；ARIMA；GMDH；組合預測

0 引言

對GDP的定量預測模型種類繁多。最初人們多用單一模型預測，如回歸分析法、時間序列分析法、灰色預測法、人工神經網絡法等。但是不同的預測方法也自身存在局限性，可能會影響預測效果。例如ARIMA模型可能存在共線性、過擬合的現象，會影響模型的預測能力[1]；GMDH自回歸模型的不同數據分組預測出來的結果不同，導致預測結果有偏差[2]；而組合預測能克服單個模型預測的局限性，能夠綜合各種模型的有用信息，最大效用地利用各個模型的有用信息，減少單個模型受隨機因素的影響，使預測的精度得到提高。根據參考文獻[2]，自組織組合預測模型要優于最優組合模型和人工神經網絡組合預測模型，因此采用此方法組合預測。

本文嘗試首先分別利用ARIMA、GMDH自回歸模型對四川省季度GDP進行預測，在此基礎上建立基于GMDH的兩種模型的組合模型；最后使用Bonferroni-Dunn方法做模型穩定性檢驗。

1 預測模型簡介

1.1 ARIMA模型介紹

ARIMA(p，d，q)自回歸求積移動平均(Auto Regressive Integrated Moving Average)模型由美國統計學家G.E.P.Box和G.M.Jenkins于1970年首次提出，廣泛應用于各種類型時間序列數據的分析方法，是一種預測精度較高的短期預測方法。其實質是差分運算與ARMA模型的組合。此模型是從數據本身出發來尋找可以較好描述數據的模式，從而可以保證模型與數據的擬合較好，但是也存在共線性和過擬合現象，影響預測效果。

ARIMA模型擬合和預測的基本步驟：

（1）數據進行平穩化處理與檢驗。ARIMA模型建模方法是以序列平穩性為前提。檢驗的標準方法是單位根檢驗，若序列不滿足平穩性條件，則可通過數學方法，如差分變換或者對數差分變換使其滿足平穩性條件。

（2）模型識別。通過計算能夠描述序列特征的一些統計量，如自相關(ACP)系數和偏自相關(PACP)系數來確定ARMA(p,d,q)模型的階數p和q，并根據一定的準則，如AIC準則或SC準則等綜合考慮來確定模型的參數，使參數盡可能少。

（3）估計模型的未知參數，并通過參數的T統計量檢驗其顯著性，以及模型的合理性。

（4）進行診斷分析，檢驗模型的擬合值和實際值的殘差序列是否為一個白噪聲序列，證實所得模型確實與所觀察到的數據特征相符。

1.2 GMDH自回歸模型介紹

數據分組處理方法（Group Method of Data Handling，GMDH）是由烏克蘭科學院A.G.Ivakhnenko院士于1967年首次提出的，并由德國學者J.A.Mueller和軟件專家L.Frank在軟件KnowledgeMiner中具體實現了目前他們提出的算法，使其不斷應用發展。

GMDH算法是建立在“進化－遺傳－變異－選擇”的進化論原理基礎上的，重復這樣一個遺傳、變異、選擇和進化的過程，使中間待選模型的復雜度不斷增加，直至得到最優復雜度模型[2]。

自組織建模算法的主要步驟：

①將觀測樣本數據分成訓練集和檢測集；

②在每階段按不同的變量和增長的復雜度產生待選模型；

③對于參數模型，在訓練集上估計未知參數；

④在每階段利用檢測集的數據選出一些最好的模型；

因此自組織區別于一般回歸模型的最大的優點是它將數據分為訓練集和測試集，在訓練集上使用內準則進行參數估計得到中間待選模型，而在測試集上使用外準則進行中間候選模型的選擇，這個過程不斷重復直到外準則值不能再改善才停止，這樣的停止法則可以保證在一定噪聲水平下得到數據擬合精度和預測能力之間實現最優平衡的最優復雜度模型，不會出現一般的回歸方法中常出現的過擬合而犧牲了預測能力的現象。

而GMDH自回歸模型是將自組織數據挖掘中的GMDH算法與傳統自回歸模型相結合而產生的一種預測方法。與傳統的自回歸分析方法相比，GMDH自回歸模型在小樣本區間上能較好地進行系統的擬合預測工作[3]。

1.3 組合預測模型

組合預測，就是將不同的預測方法進行適當的組合，綜合利用各種方法所提供的有用信息，從而盡可能的提高預測能力。目前已知的組合預測方法主要有權系數組合預測法、非線性組合預測法和自組織組合預測方法[2]。

但是權系數組合預測法的特點是認為參加組合預測的各個預測模型間是一種線性關系，而往往單個預測模型都是非線性的；非線性組合預測法所需設計的參數比大多數統計預測模型都多，有時會造成網絡模型的過擬合現象，即這種模型雖然對樣本數據有較高的擬合精度，但預測能力差。自GMDH組合預測模型恰好能解決這些問題，因此，選擇基于GMDH的ARIMA-GMDH組合預測模型。

2 實證分析

由《四川省統計年鑒》得到2000年1季度到2009年4季度共40個四川省GDP季度累計值作為組合預測模型的原始數據。但由于通貨膨脹等因素可能造成各年的價格有差異，全部按照2000年價格作可比價處理數據。將其中2000年1季度到2008年4季度共36個數據用于預測模型，2009年1季度到2009年4季度共4個數據作預測檢驗數據。

2.1 ARIMA時間序列模型預測

ARIMA時間序列模型預測法計算過程非常復雜，用EVIEWS軟件[6]對四川省GDP數據進行一系列處理和分析。

2.1.1 數據預處理

首先對數據平穩性進行檢驗，從GDP數據的序列圖可以看出GDP數據不具有明顯的周期變化和季節波動，是非平穩的，且呈現出指數發展趨勢，可以通過取對數將指數趨勢轉化為線性趨勢，然后再對GDP數據取對數后進行一階差分。差分后如圖1所示，可知自相關系數與偏相關系數落入置信區間并快速趨近于零，數據變得平穩。

2.2.2 模型識別

ARIMA(p,d,q)模型中d已經確定為1，現需要確定p與q的值。我們引人自相關系數和偏自相關系數這兩個統計量來識別ARMA(p,q)模型的系數特點和模型的階數。由圖1可知，自相關系數與偏相關系數都具有拖尾性，自相關系數在k=3和4時顯著不為0，所以確定p的值為2,，3或4。偏相關系數在k=2，3和4時顯著不為0，則確定q的值為3或4。那么可能合適的（p，q）組合為（3,2），（3,3）（3,4），（4,2），（4,3），（4,4）。

2.2.3 模型建立

經過多次嘗試和檢驗后，模型檢驗結果如表1所示，根據AIC值越大越好，SC和Adjusted R-squared值越小越好的原則，確定最終模型為ARIMA(4,1,4)。

表1 ARIMA模型檢驗結果

2.2.4 預測模型

在模型ARIMA(4，1，4）的基礎上消除多重共線性得到最佳擬合模型如下：

其中Z為X的一階差分，即Z=△X，X=1n(GDP)，GDP為2000年1季度到2008年4季度可比價。

最終預測模型為：

2.2 GMDH自回歸模型預測

根據GMDH預測模型原理，利用軟件Knowledge Miner計算過程如下：

（1）首先輸入數據，選擇預測GMDH自回歸預測模型，確定模型，其中最重要的參數有max.time lag和Model Type。根據經驗我們得知第一個參數跟輸入數據的類型有關，如數據是月度數據一般為12；為季度數據時，一般為4。

（2）確定參數后，我們應該根據外準則原則：選取Coefficient Of Determination（R-squared）和adjusted R-squared達到最低點又再回升時，預測效果為最好。對于四川季度GDP累計值，當max.time lag取4，Model Type取exclusively linear時，此時Coefficient Of Determination(R-squared)和adjusted R-squared值最佳。

（3）最優預測模型

2.3 基于GMDH的組合預測結果

GMDH方法采用多層迭代的方法，利用Knowledge Miner軟件選取組合預測模型來做組合預測。建立模型確定參數時，同樣根據外準則原則選取最佳參數預測最優結果。

以YARIMA，YAR-GMDH作為模型的輸入，使用GMDH方法將各個單項預測模型的結果組合起來，最終自組織建模軟件（Knowledge Miner）篩選出最優復雜度模型為：

2.4 預測結果分析比較

經過2008年的金融危機和四川地震災害，導致自2008年4季度以來至2009年1季度四川省GDP明顯回落，宏觀經濟進入本輪經濟周期的下行區間；但是經過國家的投資拉動和災后重建，2009年2、3、4季度已開始回升。三種模型對于四川省GDP的預測誤差都在3%以下，在可接受范圍內，具體預測結果如表2。

表2 2009年1～4季度單項預測模型與組合預測模型GDP預測結果

從表2看，ARIMA模型的標準誤差為2.30%，GMDH自回歸模型的標準誤差為2.43%，組合預測模型預測的標準誤差僅為1.67%，并且組合預測模型的相對誤差與單項模型相比都有所改善，得到的預測效果較為可靠和滿意，說明通過GMDH組合后的預測模型能在很大程度上減少由單個模型帶來的誤差，具有一定的抗干擾性，從而保證預測的準確性。

3 模型擬合能力分析

為了進一步分析各個模型的穩定性，使用Bonferroni-Dunn檢驗方法來驗證單項模型與組合模型之間在模型擬合方面是否存在顯著的差異。

Bonferroni-Dunn檢驗方法是將模型擬合值與實際值進行比較，并按照差值的絕對值從小到大進行排序，若差值相同，則賦一個平均排序，最后計算每一種模型所有時間內的平均排序。根據Bonferroni-Dunn檢驗，若每兩種模型之間擬合的差異是顯著不同的，那么它們之間平均排序的差值應該至少要大于下面的臨界值：

其中qα為在相應顯著性水平下的Bonferroni-Dunn檢驗臨界值，k為模型的個數，N為擬合數據的條數。

2002年1季度至2008年4季度各預測模型數據擬合值與排序結果如表3所示。

表3 2002年1季度-2008年4季度各預測模型數據擬合值與排序結果

在α=0.05時，qα=2.241，計算得CD值為0.5989，由此可知，在置信度為95%的水平下，組合預測模型的數據擬合能力要優于ARIMA模型（2.2857-1.5357>0.5989）與ARGMDH模型（2.1786-1.5357>0.5989）。

4 結語

本文通過對四川省2000年1季度到2009年4季度的GDP累計值數據（按2000年可比價格）進行預測檢驗，分析得到：ARIMA模型和GMDH自回歸模型模型比較適合預測宏觀經濟指標，組合預測模型的預測結果更優于單一模型預測結果,因此組合預測模型的應用更具有實際意義。

但是為了達到更好的預測效果，我們應該不斷地提高和改進各單項模型和組合模型的擬合與預測能力，同時可以尋找更好的組合模型進行預測。根據穩定性和擬合效果的分析，擬合效果好的預測結果不一定是最優的。這給我們的啟示是：每種預測模型都有其自身的優點、缺點和適用范圍，我們應該根據具體情況選擇最優預測模型。

[1]何躍，鮑愛根，賀昌政．自組織建模方法和GDP增長模型研究[J]．中國管理科學，2007，(2)．

[2]賀昌政.自組織數據挖掘與經濟預測[M].北京：科學出版社，2005.

[3]賀昌政，俞海，盧躍奇．自組織組合預測方法及其應用[J]．數量經濟技術經濟研究，2002，(2)．

[4]王莎莎，陳安，蘇靜，李碩．組合預測模型在中國GDP預測中的應用[J]．山東大學學報，2009，(2)．

[5]趙蕾，陳美英.ARIMA模型在福建省GDP預測中的應用[J]．科技和產業，2007.

[6]易丹輝．數據分析與EVIEWS應用[M]．北京：中國統計出版社，2002.

[7]曹玉潔，何躍，賀昌政．基于R/S分析的GMDH自組織方法在用電量預測中的應用[J]．軟科學，2009，(7).

（責任編輯/亦民）

F201

A

1002－6487（2011）05－0035-03

國家自然科學基金資助項目（70771067）

尹靜（1986-），女，河北保定人，碩士研究生，研究方向：信息管理與信息系統。

何躍（1961-），男，重慶人，博士，副教授，研究方向：管理信息系統、數據挖掘、決策支持系統。