基于線性規劃的投資組合模型

張鑫

（同濟大學經濟與管理學院，上海200092）

基于線性規劃的投資組合模型

張鑫

（同濟大學經濟與管理學院，上海200092）

中小投資者缺乏適合的投資理論的指導。文章建立的跨時期投資線性規劃模型屬于投資組合模型對于中小投資者來說具有較高的參考價值，能夠幫助投資者合理配置資金以期獲得最大收益。投資者要把該模型使用的定量分析方法與自身的定性分析相結合，不斷修正模型的數據，以便于根據形勢的變化及時調整投資策略。

組合投資；線性規劃；隨機時間序列；價格預測

我國資本市場發展迅速，為中小投資者提供了投資機會。但他們并沒有獲得較大的盈利，原因之一在于投資者缺乏完善的投資理論來指導。國內外學者關于組合投資分散風險的研究雖然比較多。但他們在討論投資組合問題時傾向于使用較高深的數學工具，對中小投資者實際運用價值不大。而且很少有模型涉及到跨時期投資以及對未來收益最大化方案的求解，將建立的數學模型通過對現實投資方案的優化以檢驗其實際意義的過程幾乎沒有。本文試圖建立一種跨時期投資線性規劃模型，幫助投資者運用計算機軟件或程序在短時間內得出計算結果，以幫助廣大中小投資者進行決策。

1 跨時期投資線性規劃模型的建立

1.1 金融產品未來價格的預測技術

所有金融產品的價格都隨著時間而不斷變化，被認為是時間序列。但由于金融產品的價格波動具有較強的隨機性，絕大多數情況下是無法用特定的解釋變量來解釋的，這就導致了基于因果關系的回歸模型及其預測技術在預測金融產品價格的領域里可行性較弱。為此可采用時間序列模型，通過歷史數據得出關于其過去行為的有關結論，進而對時間序列的未來行為進行推斷，一般形式為：

Xt=F(Xt-1,Xt-2,…，μt)

本文采用ADF對各金融產品價格的平穩性進行檢驗，通過3個模型來完成：

模型1：

模型3：

模型3中的t是時間變量，代表了時間序列隨時間變化的某種趨勢。各模型的虛擬假設都是H0∶δ=0，即存在一個單位根。模型1與另兩個模型的區別在于是否包含有常數項和趨勢項。實際檢驗時從模型3開始，然后模型2、模型1。何時檢驗拒絕零假設，即原時間序列不存在單位根，是一個平穩序列，則何時停止檢驗。否則，直到檢驗完模型1為止。如果單位根始終存在，該時間序列就是非平穩的。

在確定了金融產品各時期的價格為平穩序列之后，即可采用時間序列模型來預測其未來的價格。一般認為，平穩的時間序列是由隨機過程生成的。典型的p階自回歸過程AR (p)的數學形式為：

Xt=φ1Xt-1+φ2Xt-2+…+φpXt-p+ut

且它的隨機擾動項ut是一個q階移動平均過程MA(q)：

μt=εt-θ1εt-1-…-θqεt-q

其中，εi茗N(0,δε2)是白噪聲，i=t,t-1,…，t-q。兩式合并得到一個更一般的自回歸移動平均過程ARMA(p,q)：

Xt=φ1Xt-1+φ2Xt-2+…+φpXt-p+εt-θ1εt-1-…-θqεt-q

該式表明一個隨機時間序列可以通過一個自回歸移動平均過程生成，即該序列可以由其自身的過去或滯后項以及隨機干擾項來解釋。如果該序列是平穩的，即它的行為不會隨著時間的推移而變化，那么我們就可以通過該序列過去的行為來預測未來。

隨機時間序列模型作為隨機過程的描述，它的平穩性與該隨機過程的平穩性是等價的，因此，可以通過它所生成的隨機時間序列的平穩性來判斷。即如果一個p階自回歸模型AR(p)生成的時間序列是平穩的，就說該AR(p)模型是平穩的；否則，就說該AR(p)模型是非平穩的。對p階自回歸模型AR(p)：

引入滯后算子L，使得：

LXt=Xt-1,L2Xt=Xt-2,…，LpXt=Xt-p

則（1）式變化為(1-φ1L-φ2L2-…-φpLp)=0，它就是AR(p)的特征方程。可以證明，如果該方程所有根都在單位圓外，則模型是平穩的。但通常來講，對于高階自回歸模型AR(p)來說，沒有必要直接計算其特征方程的特征根。

對于移動平均模型MA(q)，有：

當滯后期大于q時，Xt的自協方差系數為0。因此，有限階移動平均模型總是平穩的。

由于ARMA(p,q)模型是AR(p)與MA(q)模型的結合，而MA(q)模型總是平穩的，因此ARMA(p,q)模型的平穩性只取決于AR(p)部分的平穩性。

時間序列計量經濟學模型的識別則采用自相關函數ACF與偏自相關函數PACF的特性。一般的，p階自回歸模型AR(p)的k期滯后方差為：

從而有自相關函數：

可見，無論k有多大，ρk的計算均與其1到ρ階滯后的自相關函數有關，因此呈現拖尾狀。如果AR(p)是穩定的，則|ρk|遞減且趨于零。

自相關函數ACF給出了Xt與Xt-k的總體相關性，但總體相關性可能掩蓋了變量之間完全不同的間接相關性。偏自相關函數克服了自相關函數的缺點，是在已知序列值xt-1，…，xt-k+1的條件下，xt與xt-k間關系的度量。在AR(p)過程中，對所有的k>p，Xt與Xt-k的偏自相關函數可見AR(p)的一個重要特征是偏自相關函數在p以后截尾，而它的自相關函數拖尾。

對MA(q)過程的識別而言，若隨機時間序列的自相關函數截尾，即自q以后ρk=0(k>q)，而它的偏自相關函數是拖尾的，則此序列是q階移動平均MA(q)序列。

ARMA(p,q)的自相關函數，可以看作是AR(p)與MA(q)的自相關函數的混合物。當p=0時具有截尾性質；當q=0時具有拖尾性質；當p、q都不為時，它具有拖尾性質。從識別上看，通常ARMA(p,q)過程的偏自相關函數可能在p階滯后前有幾項明顯的尖柱，但從p階滯后項開始逐漸趨向于零；而它的自相關函數則是在階滯后前有幾項明顯的尖柱，從q階滯后項開始逐漸趨向于零。

在確定了模型的具體形式之后，利用Eviews軟件估計出回歸方程的系數并做顯著性檢驗，得到的數學表達式即可預測金融產品未來的價格，并且能夠計算其收益率。

1.2 跨時期投資線性規劃模型的建立與求解

為簡化投資過程，使模型更具有一般性，本文把投資期限設為5期，這個“期”可以是日、月、年等任何單位，同時，模型中金融產品在其投資期限內的收益率都用字母表示。

模型假設投資者在初始的第0時期擁有量為M的閑置資金，投資期限內有以下5個投資品種可供選擇，投資期限分別為1～5期，到期收益率分別為a1--a5，則1元到期可得A1=(1+a1)--A5=(1+a5)元；令Xij為第j個品種在第i期所投入的資金數額，也就是決策變量。

將各時期的決策變量及其相應到期收益列出。投資者的目標是在投資結束時擁有的資金回報最多：

在第0時期的約束條件為用于投資的資金不能超過投資者所擁有的閑置資金量，即：

在第1、2、3、4時期的約束條件為用于投資的資金不能超過當時由于先期投資到期而收回的資金量，即：

合理性約束：所有決策變量都不小于0。

將上述數學表達式改寫成LINGO的運算代碼錄入軟件，可以得到軟件的計算結果，即各時期用于每一種金融產品的資金的具體金額，該結果能夠使投資者最后的投資回報最多。而當M=1時，計算結果中期末投資回報額的小數部分就是該投資期限內的收益率。

2 跨時期投資線性規劃模型的檢驗

2.1 投資產品的選擇

建立模型的目的就是給投資者提供一種進行決策的工具。為了檢驗模型的效果，本文設定某一投資者在2009年11月底擁有1個單位的閑置資金，投資期限為5個月，到20010年4月底為止，目標是使2010年4月底回收的資金單位最多。經過定性分析，他所考慮的投資對象有股票、基金、銀行短期理財產品以及待償期小于5個月的企業債。

為了得到理論上的最優組合，需要排除一些不確定的因素，做出如下假設：（1）所有的投資決策都在每月月底做出，月中不進行任何操作；（2）股票和基金的持有期都為1個月，即本月底買進下月底拋出，若再想持有則在拋出后繼續買進；（3）銀行短期理財產品與企業債券必須持有到規定的期限結束，企業債中途不能在二級市場上拋售；（4）這5個月內所有金融產品的收益率保持不變；（5）不計任何的交易手續費；（6）股票和債券的收益則需要扣稅。前者為10%，后者為20%。

該投資者認為在2009年11月底可以選擇的金融產品有：（1）股票：萬科A（000002）、浦發銀行（600000）；（2）企業債券：04通用債（120482）；（3）基金：南方績優（160110）、華夏紅利（160307）；（4）理財產品：上海農行2008年“本利豐”第27期“盛世華年——信貸資產類人民幣信托理財產品”。

2.2 預測金融產品未來價格及收益率

以萬科A為例，該股票從2006年12月到2009年11月的每月最后一個交易日收盤價設為，序列的自相關函數并未迅速趨于零，而是在零附近波動，且沒有通過檢驗，故該序列是非平穩序列。一階差分△eanket后，自相關函數與偏自相關函數迅速趨于零，同時通過了ADF檢驗。可以認為，萬科A的一階差分是過程。估計出其方程形式為：

即：

wanket=1.8086wanket-1-0.8086wanket-2+ut-0.7613ut-1

萬科A的月K線在2009年10、11月的收盤價分別為11.51元和11.53元。利用Eviews軟件預測得到萬科A在2009年12月最后一個交易日收盤價的估計值為11.57元，月度收益率0.35%，扣除10%稅收后的凈收益率為0.31%。根據假設4，該收益率在這5個月內保持不變。

同樣，浦發銀行spdbt的股價的自相關函數并未迅速趨于零，而是在零附近波動，且沒有通過ADF檢驗。在做一階差分△spdbt后，自相關函數與偏自相關函數迅速趨于零。從其自相關函數與偏自相關函數的變化情況來看，可以認為，浦發銀行的一階差分是ARMA(1,1)過程。估計其回歸方程的形式：

整理該方程：

spdbt=spdbt-11.7889-0.7889spdbt-2+ut-0.6330ut-1

浦發銀行在2009年10、11月份月K線的收盤價分別為21.74元和22.02元。利用Eviews軟件預測得到浦發銀行在2009年12月最后一個交易日收盤價的估計值為22.13元，月度收益率0.50%，扣除10%稅收后的凈收益率為0.45%。

南方績優（160110）從07年12月到09年11月的凈值時間序列的自相關函數與偏自相關函數在滯后1階之后迅速趨于零，通過了檢驗，因此可以直接進行估計。從自相關函數與偏自相關函數的形態分析，南方績優是過程。估計出其方程形式：

由于ut-1前的系數不顯著，故刪除ut-1項，重新估計方程，得：

從回歸方程中容易看出南方績優的預期月收益率為（0.9545-1）/2×100%=-4.55%。

華夏紅利（160307）從2007年12月到09年11月的凈值時間序列的自相關函數并未迅速趨于零，而是在零附近波動，且沒有通過ADF檢驗，故該序列是非平穩序列。一階差分△huaxiat后，自相關函數與偏自相關函數迅速趨于零，同時通過了檢驗。可以認為，華夏紅利的一階差分是過程。估計出其方程形式為：

整理該方程：

華夏紅利在2009年10、11月份月底凈值分別為308.9元和326.3元。利用Eviews軟件預測得到華夏紅利在2009年12月最后一天凈值的估計值為329.66元，月度收益率1.03%。基金收益無需繳稅，1.03%即是凈收益率。

04通用債為浮動利率債券，票面利率為一年定期存款利率加1.75%，每年的3月31日付息。本期的票面利率應該是2009年3月31日的一年期定期存款利率2.25%加上1.75%，即4%。投資者持有5個月，這5個月的收益率為1.67%，扣除20%的債券收益稅，凈收益率1.33%。

農行“本利豐”為非保本浮動型人民幣信托理財產品，投資上汽金融轉讓的信貸資產，且上汽金融按約定進行回購。投資期限為90天（3個月），產品預期的年化收益率4.80%。該產品的計算較為簡便，每3個月按照復利計算的收益率為1.19%，同時，銀行理財產品無需繳納所得稅，故該收益率即是凈收益率。

2.3 求解跨時期投資最優組合

在計算出各金融產品的預期收益率之后，即可將投資者的投資目標表述成線性規劃模型的形式。為了簡便起見，首先將預測收益率為負數的南方績優從投資組合中剔除。那么，該投資者還有5種產品可以選擇：（1）萬科A（000002）。投資期限為1個月，可循環持有，月預期凈收益率0.31%。1元到期可得元。（2）浦發銀行（600000）。投資期限為1個月，可循環持有，月預期凈收益率0.45%。1元到期可得1+0.45% =1.0045元。（3）華夏紅利基金。投資期限為1個月，可循環申購，月預期收益率1.03%。1元到期可得1+1.03%=1.0103元。（4）農行“本利豐”產品。投資期限為3個月，可循環購買，3個月預期收益率1.19%。1元到期可得1+1.19%=1.0119元。（5）04通用債（120482）。投資期限為5個月，這5個月的凈收益率為1.33%。1元到期可得1+1.33%=1.0133元。

將各時期的決策變量及其相應的到期收益，可以得到投資者的目標：

第0時期的約束條件：用于投資的資金不能超過投資者期初所擁有的閑置資金量1，即：

第1、2、3、4時期的約束條件：用于投資的資金不能超過當時由于先期投資到期而回收的資金量，即：

合理性約束：所有決策變量不小于0。

將上述模型表達式改寫成LINGO程序代碼寫入軟件，就可以得到軟件的計算結果，包括目標函數的最優解以及所有決策變量的值。

由此可見，投資者只需要在2009年11月底時將所有資金全部買入華夏紅利基金，到2010年4月底收取利息就能在投資期限結束時獲得理論上的最大收益，這5個月的收益率為5.26%。

以上投資方案的結果是投資者無須進行組合投資。這只是一個特例。不同的投資者會有不同的備選方案，預期的收益率也各不相同。方案越多，投資決策也就越復雜，組合投資就越顯得必要。

3 結論與建議

3.1 模型實際效果的檢驗與判斷

自2008年9月爆發全球金融海嘯以來，我國經濟也出現了高位回落的態勢，股市創出了2007年10月回調以來的低位。在這樣的背景下，模型的計算結果建議投資者在2008年10月底購買收益率不俗但風險相對較小的企業債是非常合理的，國內無論是交易所還是銀行間債券市場都從那以后經歷了一波大的牛市。隨著我國政府相繼許多經濟振興規劃，采取適度寬松的貨幣政策和積極的財政政策，股市就此見底反彈，大盤連續的幾波升浪使得浦發銀行、萬科A等眾多個股具有了相當的投資機會。在這種情況下，債券的固定收益特性不再具有優勢，投資者投資于以上的品種都要比按照模型的計算結果只投資于債券所獲得的收益要大得多。造成上述結果的原因并不是金融產品本身的性質，而是國家調控政策、市場的普遍心態和投資者對經濟形勢的預期等人為的因素，這些恰是數理模型難以衡量的。因此，跨時期投資線性規劃模型達到了為中小投資者提供投資決策依據的目的。對于經濟形勢發生較大轉變，政策層面不確定性增大的時期，在運用模型進行定量分析的同時，必須結合定性判斷。

3.2 跨時期投資線性規劃模型的優缺點

模型具有以下優點：（1）線性規劃的方法具有科學性，克服了單純的定性分析沒有量化指標的不足；（2）該模型考慮了對未來金融產品價格的預測及跨時期的因素，稍加變化即可運用到各種類似的投資組合之中，具有一般性；（3）模型的計算都通過計算機軟件完成，避免手工運算的繁瑣；（4）計算結果有一個精確值。

模型的不足在于：（1）該模型對未來金融產品價格及其收益率預測技術有很高的要求，因而時間序列計量經濟學模型預測的準確程度決定了按照該模型進行投資的成敗；（2）市場上投資者普遍的心態和預期、國家宏觀調控的政策等等，這些無法量化的因素是所有數理模型難以解釋的，該模型也不例外。

3.3 模型的改進

（1）投資者在運用模型時可以增大投資產品可選方案的規模，利用其計算結果在更多的備選方案中做出決策，選擇一種或幾種產品進行投資，提高模型的使用及參考價值。

（2）在線性規劃的目標函數中，可以加入金融產品的風險因素，使收益最大與風險最小這兩個目標同時實現。

當然，加入了上述因素之后，模型會更復雜。尤其是風險的衡量不但要計算每一個金融產品價格波動的標準差，而且各投資品種兩兩之間的協方差也要進行計算，計算量大大增加。而且，各產品在投資組合中的權重正是模型需要求解的，除了某些特殊情況，每一時期各個產品在組合投資中的權重都在不斷變化，這無疑增加了定義風險水平的難度。

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（責任編輯/易永生）

F224

A

1002－6487（2011）05－0068-04

張鑫（1962-），男，湖南汩羅人，副教授，研究方向：公司經理，資本市場。