供應質量不可靠下的易逝品最優訂貨和定價策略

官振中，李曉力

（1.四川大學 工商管理學院，成都 610064；2.西南交通大學 經濟管理學院，成都 610031）

供應質量不可靠下的易逝品最優訂貨和定價策略

官振中1，2，李曉力2

（1.四川大學 工商管理學院，成都 610064；2.西南交通大學 經濟管理學院，成都 610031）

易逝品由于其價值可能會在短時間消逝，不切適宜的訂貨和定價策略會對出售易逝品的零售商的利潤產生很大的影響，文章考慮在供應商供貨有次品情況下，以獲得最大期望利潤為目標，建立了需求是隨機且受價格變量影響時的最優訂貨和定價策略模型，對模型的最優條件和性質進行了討論，并分析了產品次品率及批發價格、需求的波動程度對最優策略的影響，得到了一系列有意義的性質和管理原則。

易逝性產品；訂貨策略；定價策略；隨機需求

0 引言

易逝品[1][2]又稱季節性產品或短生命周期產品，如：報紙雜志、影碟、食品、藥品和時裝等。隨著科技的進步，更新換代加快，越來越多的產品 (如：電子產品、個人計算機和信息產品等)具有易逝品時效性強、需求波動大的特征。超過生命周期的易逝品的剩余價值將會喪失或變得很低。

以往關于易逝品庫存方面的很多研究都是假定產品完全合格，沒有考慮產品的質量問題，雖然現代工廠追求零缺陷的理念，而在實際供應鏈操作中，由于供應商在工藝水平、沿途運輸、倉儲等環節不可避免的導致一些產品缺陷，而考慮到易逝品價值短時間的衰退性，研究供貨不可靠的易逝品訂貨策略具有重要的理論意義和現實價值，同時由于定價會影響消費者的需求，可以對產品的供需起到調節作用，同時考慮定價和訂貨對于短期就是利潤壓力的易逝品零售商更符合現實情況。

對于易逝性產品訂貨的研究，始于上個世紀50年代的單階段庫存模型，即報童（Newsboy）模型。自1988年到現在，已經有超過50篇的文獻專門對此問題進行了研究[3]；國內研究易逝品訂貨策略也是成果豐富[4-7]，但是這些研究都建立在零售商所販賣產品價格是外生變量，即不受零售商所控制[8-11]，而價格作為營銷策略的重要一環，其決策深深影響顧客的需求，進而會影響零售商的利潤，很顯然，顧客的購買行為會受到零售商的定價決策影響，當售價過高時顧客的購買意愿會降低，結果造成零售商的庫存負擔，但售價過低時，零售商亦會利潤微薄而難以在激烈競爭市場環境下生存，考慮到易逝品在銷售期末價值基本為零這一典型特征，零售商更應重視價格對需求的影響繼而影響庫存的消耗，對于易逝品考慮價格的研究在收益管理文獻中比較多見[12-14]，對于將價格作為決策變量引入到報童模型中代表性的文獻包括：Lau和Lau[15]提出易逝性產品的定價、訂購問題，將傳統的報童模式延伸，考慮到價格會影響需求，進而以線性與非線性回歸的兩種模式來表現價格相依的需求模式，并探討價格和訂購量對利潤的影響；Petruzzi和Dada[16]同樣認為應將價格和需求作為決策因素引入到傳統的報童模型，闡明了市場學如何引入到運營管理領域中去，Burnetas和Smith[3]針對易逝性產品做多期的定價、訂購決策，并在需求未知的情況下，靠著過去定價、訂購量與銷售水平之間的關聯，決定價格影響數量訂購，且更進一步發現需求與價格間呈現出隨機函數的關系；而Lau和Lau[17]通過相加型和相乘型等五種不同的需求模式，驗證出不同需求形式對存貨定價的模式有不同影響。本文將著重研究零售商在面臨可以自主決定最優價格時從而影響顧客需求的情形下的最優策略，并引入供貨質量不可靠因素，著重考察各個因素對最優決策的影響，為業界實踐操作提供理論依據。

1 模型描述、變量描述及假設

假定市場中由一個零售商和一個供應商組成的供應鏈，顧客的需求是隨機波動的，并且受價格的影響，零售商需要同時決策訂多少貨并且訂多少價，為討論分析的方便，進行如下的符號定義和假設：

w：供應商的單位產品的批發價格；v：單位產品的缺貨損失；

R：包含缺陷品的產品的缺陷品率，為一統計值，R∈（0，1）；A：單位缺陷品的顧客索賠；

p：單位產品的零售價格（決策變量）；q：零售商向供應商的訂貨量（決策變量）；

X：產品的市場需求量，為一隨機變量，其概率密度函數f(x)和累積分布函數F(x)均為可微的和可逆的；μ：產品市場需求量的數學期望；

假設1供應商都有足夠的產品可供訂購；

假設2產品的單位零售價格不小于該產品的單位批發價格，即p>w；這個假設說明零售商銷售產品是想獲得一定的利潤，保證其愿意訂購產品出售給顧客；

假設3初始庫存為0。

2 系統建模與分析

2.1 利潤函數建立

在需求為隨機的情況下，零售商面臨兩種情形：進貨量大于需求和進貨量小于需求，其利潤函數可分別表示如下：

在利潤模型中，零售商所需付出的成本項有：向制造商購買產品的采購成本，即購買產品所付出的批發價格；零售商向制造商訂購過少產品數量而產生缺貨的信用損失成本；以及考慮當零售商販賣有質量缺陷的產品時遭索賠的成本。決策變量為零售商向供貨商訂多少貨，并且制定販賣的價格，假定零售商時風險中立的，即追求期望利潤最大化。考慮到易逝品的時效性，假設到銷售期末殘值為零，這在易逝品研究中是個常用的假設，不影響問題的性質。

2.2 需求函數的描述

我們將隨機需求與價格間的關系建立成下列的模式：

為了計算的簡化性，我們將價格影響需求的式子以線性的方式表示，并用d(p)的函數式來統稱之，而ε稱作誤差項，并符合以下假設：

①ε服從正態分布，且ε為獨立隨機變量；

②平均數 E(ε)=0；

③方差 Var(ε)=σ2；

于是可以很清楚的知道需求亦會服從相同的概率分布（正態分布），此回歸模型并符合下列假設：

②不同價格p下的需求x相互獨立；

圖1給出了這種簡單線性需求函數示意圖；

圖1 簡單線性需求函數示意圖

如此，零售商的期望利潤可以表示如下：

令 x=u+σY，那么 Y=(x-u)/σ

利潤函數可以化簡為：

式（5）分別對q和p求導，得到：

令式（6）和式（7）等于零，解下列方程組即可得到零售商的最優訂貨量和最優定價：

證明 令：

其海塞矩陣為：

3 最優訂貨量和最優定價的一些性質

為討論的方便，給出如下定義：

定義 風險比例函數（hazard rate function）h(z)=描述了訂貨增加一個單位時而缺貨概率減少的比例。

性質1 產品的最優訂貨量q跟產品的單位批發價w成反比關系，而產品最優定價p當跟單位批發價w成正比關系，當則成反比關系。

最優訂貨量跟批發價格的關系非常直觀，也是傳統報童模型的結論，在價格一定情況下，批發價格越高肯定訂貨越少，相反則訂的越多；而在一定總量庫存下，失效比例函數越大，說明其越容易滿足顧客，此時如果危險比例函數大于臨界值時，批發價定得高，零售價亦可以定得高而不怕顧客的流失，相反，低于時反而應該降價以刺激顧客的購買率。

性質2 產品的最優訂貨量q*跟產品的單位索賠額AR成反比關系，而產品的最優定價p*當如果時跟單位索賠額AR成正比關系，當時則跟單位索賠額AR成反比關系。

當單位索賠額過大時，零售商可以通過減少訂貨量來規避當販賣質量不合格產品產生的不良后果。

推論 當AR等于零，表明供應商供應的產品全是無缺陷產品，可以看出，此時零售商將會訂更多的產品，即零售商在相同條件下，無次品產品訂購數量將大于有此品訂購數量。

4 結論及未來研究

本文研究了一類特殊品——易逝性產品的訂貨問題，指出了零售商在面臨供應商供應的產品有質量缺陷時，采用向下替代策略來滿足一部分缺貨需求，同時還可以提高其期望利潤，證明了零售商最優策略存在應滿足的條件，并給出了不同條件對于訂貨策略的影響，得出了一些有意義的性質和結論，未來可以在本研究的基礎上，可以在以下領域做進一步研究：（1）本文考慮的是單階段問題，而零售商考慮的是多階段問題，并且在多階段問題中還會涉及補貨問題，模型將變得更加復雜，但將會更接近于實際，所得結論對實務操作估計更具啟發性；（2）價格受質量缺陷的影響，即不同質量的產品售予不同的價格，這樣索賠額將不再僅僅是一個固定值；（3）本文僅從零售商自己出發，而市場上存在多個零售商，即要考慮競爭的因素，這也是當今易逝品研究的一個熱點和難點。

[1]Nahmias,S.Perishable Inventory Theory：a Review[J].Operations Research,1978,30(4).

[2]Raafat,F.,Wolfe,P.M.,Eldin,H.K.An Inventory Model for Deteriorating Item[J].Computers and Industrial Engineering,1991,20(1).

[3]Petruzzi N.C,M.Dada.Pricing and the Newsvendor Problem:A Review with Extensions[J].Operations Research,1999,47(2).

[4]蔡連僑，陳劍，嚴厚民.可替代產品的庫存模型研究(I):最優訂貨量[J].系統工程理論與實踐，2003,(6).

[5]蔡連僑，陳劍，嚴厚民.可替代產品的庫存模型研究((II):基本性質[J].系統工程理論與實踐，2003,8.

[6]陳旭.面向隨機需求的可替代易逝品的訂貨策略研究[J].系統工程理論方法應用,2004，13(4).

[7]陳旭.考慮批發價格更新的易逝品的零售商訂貨策略[J].中國管理科學,2004,12(4).

[8]Khouja M.The Single Period (news-vendor)Inventory Problem:A Literature Review and Suggestions for Future Research[J].Omega,1999,(27).

[9]Pentico D W.The Assortment Problem with Probabilistic Demands[J].Management Science,1974,21(3).

[10]Goh C H,Greenberg B S,Matsuo H.Two-stage Perishable Inventory Models[J].Management Science,1993,39(5).

[11]Bassok Y,Anupindi R,Akella R.Single Period Multi-product Inventory Models[J].Operations Research,1999,47(4).

[12]Weatherford L R A,Bodily S.A Taxonomy and Research Overview of Perishable Asset Revenue Management Problems[J].Journal of Combinatorial Optimization,1992,1(3).

[13]Gabriel R.,Susana V.Periodic Pricing of Seasonal Products in Retailing[J].Management Science,1997,43.

[14]Zhao W,Zheng Y S.Optimal Dynamic Pricing for Perishable Assets with Nonhomogeneous Demand[J].Management Science,2000,46(3).

[15]Lau,A.H.L.,H.S.Lau.The Newsboy Problem with Price-dependent Demand Distribution[J].IIE Trans,1988,20(2).

[16]Burnetas,A.N,C.E.Smith.Adaptive Ordering and Pricing for Perishable Products[J].Operation Research,2000,48(3).

[17]Lau,A.H.L.,H.S.Lau.Effects of a Demand-curve’s Shape on the Optimal Solutions of a Multi-echelon Inventory/pricing Model[J].EJOR,2003,147(3).

F275

A

1002－6487（2011）04－0170-03

博士后面上基金資助項目（200904501291）；教育部博士點基金項目（20090184120027）

官振中（1975-），男，湖北荊門人，博士后，副教授，研究方向：易逝品供應鏈和收益管理。

（責任編輯/易永生）