高等代數課程教學思考

李小新，高 芳

（池州學院 數學計算機科學系，安徽 池州 247000）

高等代數課程教學思考

李小新，高 芳

（池州學院 數學計算機科學系，安徽 池州 247000）

針對高等代數課程理論抽象、學生對其缺乏興趣這一問題,結合教學實踐，提出及時總結課程中的重要數學思想和方法、直接指出抽象理論的數學實質、運用類比法來講授抽象理論等一系列的方法，以使學生快速理解并掌握抽象的理論知識，提高學習興趣。

高等代數；抽象理論；類比法

高等代數是數學專業的一門重要的基礎課，由于其概念多、理論高度抽象，常使初學者在學習時心存畏懼、缺乏興趣。在高等代數課程的教學中，如何讓學生快速理解并掌握抽象的理論知識，提高他們學習高等代數的興趣成為擺在授課教師面前的一個重要課題。很多文獻就此展開了探討，例如[1-3].下面筆者結合多年的教學實踐，以北京大學編寫的高等代數教材[4]為例，談一談在這方面的幾點體會。

1 及時總結課程中的重要數學思想和方法

在高等代數課程中，蘊含著許多非常重要的數學思想和數學方法，初學者在學習時一般只注重其表面知識，很難挖掘這些知識背后所埋藏的寶貴財富。因此，授課教師應該帶領學生及時提煉、總結，真正將知識轉化成能力。

（1）在講解某些知識點時，高等代數很注重將一般情形轉化為特殊情形。例如在求矩陣的秩時，按照定義，矩陣的秩是指矩陣中非零子式的最高階數,如果按照定義來求秩，對于一般的矩陣，無疑計算量太大，因此課本先介紹了行階梯形矩陣的秩的求法，只要數非零行的行數就可以了，然后指出初等變換不改變矩陣的秩，從而就可以用初等變換的方法，將一般的矩陣轉化為行階梯形矩陣來求秩。這種方法同樣出現在二次型正定性的判定上，一般二次型的正定性判定如果按照定義是非常困難的，為了解決這個問題，課本上首先給出了標準形的判定，即只需要看平方項的系數是否都為正，并接著指出非退化的線性替換不改變二次型的正定性，因此一般二次型正定性的判定只要利用非退化的線性替換轉化為標準形來判定就可以了。

（2）關于唯一性的證明，課本上多次運用了同一法。例如在證明矩陣A的逆矩陣唯一時，假設B和C都是A的逆矩陣，首先B和C是兩個毫不相干的矩陣，怎么證明它們相等呢？這就需要引進橋梁E,因為E=AB=BA=AC=CA,而 B=BE,要將 B過渡到C,需要將E換AC或CA,而根據E的橋梁作用，我們選擇AC，此時B=BE=BAC=EC=C,最后一步就是我們常說的過河拆橋。在證明線性空間中負元素的唯一性時，用的是完全相同的方法。如果在教學過程中及時帶領學生對這兩個證明所涉及的方法進行比較、總結，那學生所掌握的就不僅僅是兩個性質的證明，而是一個數學方法，這種方法在今后處理有關唯一性證明時，或許會用得上，比如歐式空間的每個子空間都有唯一正交補的證明。

（3）高等代數的初學者在做練習時，都很害怕證明題，不知道從哪兒下手。對于有些很難的證明題，需要豐富知識的儲備以及靈感的出現，但對于大多數簡單的證明題，其證明方法往往是有章可循，如果教師不對這些方法加以總結和提煉，而是就題講題，學生很難在短時間內掌握其精髓，因此不能舉一反三，害怕也就在所難免。筆者在教學生證明完一個題目后，總是帶領學生回過頭來一起觀察、思考，總結出做這類題目的方法。比如對有一類證明題，我們總結的方法是：證明題都是由條件推出結論，而條件中實際上蘊含有小條件和小結論，結論中也蘊含有小條件和小結論，證明時，要緊盯結論中的小結論，即最終的目標，從結論中的小條件出發，過渡到條件中的小條件，再由條件中的小條件得出條件中的小結論，最后由條件中的小結論推得結論中的小結論。為了更加清楚地描述上述過程，給出如下圖形：

下面以一個例子說明這種方法.：

設 α1,α2,α3線性無關， 證明 α1+α2,α2+α3,α3+α1也線性無關。

將本例中的上述要素列舉如下：

條件：α1,α2,α3線性無關 結論：α1+α2,α2+α3,α3+α1也線性無關

小條件：t1α1+t2α2+t3α3=0 小條件：x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+x3(α3+α1)=0

小結論：t1=t2=t3=0 小結論：x1=x2=x3=0

我們最終是要證明 結論中的小結論：x1=x2=x3=0，按照上面的分析，首先從結論中的小條件：x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+x3(α3+α1)=0 出發，怎樣過渡到條件中的小條件呢？因為條件中的小條件：t1α1+t2α2+t3α3=0 的左邊是一個關于 α1,α2,α3的線性組合，于是將 x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+x3(α3+α1)變形為(x1+x3)α1+(x1+x2)α2+(x2+x3)α3， 這樣就由結論中的小條件過渡到了條件中的小條件，再到條件中的小結論，即得x1+x3=x1+x2=x2+x3=0，稍加計算就得到了結論中的小結論，即完成證明。

這種證明方法在高等代數的例題與習題中經常出現，如果學生掌握了，那將解決相當一部分問題。

2 直接指出抽象理論的數學實質

高等代數由于概念多，理論抽象，所以很多知識點學生一時難以把握其實質。如果教師在對這些知識點講解后，再指出它的數學實質，將對學生的學習起到事半功倍的效果。比如學生在剛接觸特征值與特征向量這對孿生概念時，覺得特別抽象，然后又學習了它們的求法，對于求法的分析篇幅較長，使得初學者更是云里霧里，不知到底是怎么求。如果此時教師指出求特征值的實質就是解方程，求特征向量的實質就是解方程組，那么學生就能針對剛才教師的分析，結合所指出的實質，有一種豁然開朗的感覺，即使對求法的分析過程還有些許不理解，也不影響對特征值與特征向量的求解，從而使他們在學習中能產生成就感，提高學習積極性。再比如在剛接觸線性變換的值域與核的概念時，它們同樣使初學者感到高度抽象，再談它們的求法，初學者從內心深處就很害怕，如果在解釋了它們的求法后，再指出求線性變換的值域其實就是求一個向量組的極大無關組，而求核實際上就是解一個方程。這樣使初學者感到這么抽象的概念的求法也不是那么高深，其實質就是自己早已熟悉的知識，于是不再對它們產生排斥。

3 運用類比方法來講授抽象理論

高等代數中很多內容都比較抽象，初學者一時難以理解，如果能運用類比的方法在生活中找到模型，這對學生理解這些抽象的理論將大有幫助。比如在講到向量的坐標時，由于中學里學生熟悉的向量（x,y,z）的坐標就是（x,y,z），這實際上是因為在 R3里選擇了標準正交基е1,е2,е3才有如此好的結果。如果換一組基，同一個向量的坐標就不一樣了，而且這兩個坐標之間還有一定的關系，初學者這時就覺得比較陌生了。這時不妨如下類比：將某人的身高看做向量，現用不同的尺子來測量，這些尺子可以看作是空間中的不同的基，所測出來的結果即可類比為向量的坐標。假設某人的身高正好是兩米，如果尺子的單位是米，則所測結果為2，如果尺子單位是厘米，則所測結果為200，如果尺子單位是尺，則結果為6，這里2、200和6就是同一個人的身高（同一個向量）在不同的尺子（不同基）下的測量結果（坐標），而這些測量結果（坐標）之間的關系，是與尺子的單位（基）有關的，1米=3尺，因此2=×6,有了這個類比，初學者就很容易理解同一個向量在不同基下的坐標之間的關系了。

4 結束語

其實大學數學的很多課程都如高等代數一樣，理論抽象，學生一時很難領會其精髓，從而喪失了學習的興趣。作為教師，如何將這些抽象的理論深入淺出地傳授給學生，除了要求自己有豐富的知識外，還要不斷探索良好的教學方法，從多方面培養學生的學習興趣，以期收到事半功倍的效果。

[1]王勇.提高學生學習高等代數效率的一些舉措 [J].廣西民族大學學報：自然科學版,2008,14(3):102-105.

[2]李尚志.從問題出發引入線性代數概念 [J].高等數學研究,2006,9(5):6-9.

[3]李成杰 關于高等代數教學的思考與探索[J].高等數學研究2010,13(2):47-48.

[4]北京大學數學系.高等代數[M].北京:高等教育出版社,2003.

G 642

A

1674-1102(2011)06-0118-02

2011－10－13

池州學院教學研究項目（2010jy013）；池州學院教學研究項目（2010jy045）；池州學院《高等代數》優質課程建設。

李小新（1976-），男，安徽懷寧人，池州學院數學計算機科學系副教授，碩士，主要研究方向為代數圖論。

[責任編輯：曹懷火]