歸納、猜想與證明

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(嘉興市第一中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 浙江嘉興 314001)

歸納、猜想與證明

●陸洪良

(嘉興市第一中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 浙江嘉興 314001)

隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的推行和考試觀念的轉(zhuǎn)變，以注重培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)思維能力與解決問(wèn)題能力的新題型越來(lái)越多地涌現(xiàn)，其中歸納、猜想與證明等問(wèn)題備受青睞．那么，什么是歸納、猜想與證明呢？歸納、猜想與證明指的是給出一定的條件(可以是有規(guī)律的算式、圖形或圖表等)，讓學(xué)生認(rèn)真分析、仔細(xì)觀察、綜合歸納、大膽猜想、得出結(jié)論，進(jìn)而加以驗(yàn)證(或證明)的數(shù)學(xué)探索問(wèn)題．其解題思維過(guò)程是：從特殊情況入手→探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律→綜合歸納→猜想得出結(jié)論→驗(yàn)證(或證明)結(jié)論．這類問(wèn)題形式多樣、方法靈活多變、技巧性強(qiáng)，學(xué)生普遍感到束手無(wú)策．本文試圖通過(guò)數(shù)與式、函數(shù)、幾何圖形和操作性4種類型的問(wèn)題來(lái)闡述這類題型的解題思想方法．

1 數(shù)與式類型

例1計(jì)算：21-1=1，22-1=3，23-1=7，24-1=15，25-1=31，…．歸納各計(jì)算結(jié)果中的個(gè)位數(shù)字規(guī)律，猜測(cè)22 011-1的個(gè)位數(shù)字是

( )

A．1 B．3 C．7 D．5

解因?yàn)?1-1=1，22-1=3，23-1=7，24-1=15，25-1=31，26-1=63，27-1=127，28-1=255，…，可以發(fā)現(xiàn)，個(gè)位數(shù)字呈1，3，7，5周期性循環(huán)，而22 011=24×502+3，所以22 011-1的個(gè)位數(shù)是7．故選C．

例2觀察下面的幾個(gè)算式：

1+2+1=4，

1+2+3+2+1=9，

1+2+3+4+3+2+1=16，

1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，…

根據(jù)你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請(qǐng)直接寫(xiě)出下面式子的結(jié)果：

1+2+3+…+2 010+2 011+2 010+…+

3+2+1=________．

分析這是一道數(shù)字類探索性問(wèn)題.解這一類型題目要用到歸納推理，經(jīng)過(guò)觀察知道：加數(shù)排列成“回文”的形式，依次從小到大，再?gòu)拇蟮叫〉倪B續(xù)正整數(shù)，而所得的和恰好是最大(最中間)數(shù)的平方，因此不難得出結(jié)論是2 0112．

數(shù)與式類型問(wèn)題反映了由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的分析、歸納、抽象、概括能力，因此在處理此類問(wèn)題時(shí)，一定要依據(jù)題意，從最簡(jiǎn)單情形出發(fā)，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并通過(guò)大膽地猜想、歸納、驗(yàn)證，從而得出正確的結(jié)論．?dāng)?shù)學(xué)史上有很多重要的發(fā)現(xiàn)，如哥德巴赫猜想、四色猜想、費(fèi)爾馬大定理等就是由數(shù)學(xué)家的探索、猜想而得的.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)必須不斷地去探索、猜想、總結(jié)規(guī)律，這樣才會(huì)有所發(fā)現(xiàn)、有所創(chuàng)造．

圖1

2 函數(shù)類型

(2007年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題改編)

解先從最簡(jiǎn)單的情形著手：求出點(diǎn)A1,A2,A3,A4的坐標(biāo)，進(jìn)而歸納猜想得到An的坐標(biāo)并驗(yàn)證．如圖1，分別過(guò)點(diǎn)P1,P2作x軸的垂線，垂足分別為B1,B2.設(shè)OB1=a，A1B2=b，則

解得

于是

例4如圖2，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M0的坐標(biāo)為(1,0)，將線段OM0繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°，再將其延長(zhǎng)到點(diǎn)M1，使得M1M0⊥OM0，得到線段OM1；又將線段OM1繞原點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°，再將其延長(zhǎng)到點(diǎn)M2，使得M2M1⊥OM1，得到線段OM2，如此下去，得到線段OM3，OM4，…，OMn．

圖2

(1)寫(xiě)出點(diǎn)M5的坐標(biāo)；

(2)求△M5OM6的周長(zhǎng)；

(3)我們規(guī)定：把點(diǎn)Mn(xn,yn)(n=0,1,2,3,…)的橫坐標(biāo)xn，縱坐標(biāo)yn都取絕對(duì)值后得到的新坐標(biāo)(|xn|,|yn|)，稱之為點(diǎn)Mn的“絕對(duì)坐標(biāo)”．根據(jù)圖中點(diǎn)Mn的分布規(guī)律，請(qǐng)你猜想點(diǎn)Mn的“絕對(duì)坐標(biāo)”，并寫(xiě)出來(lái)．

解(1)M5(-4，-4)．

(2)由規(guī)律可知，

(3)由題意知，OM0旋轉(zhuǎn)8次后回到x軸的正半軸.在這8次旋轉(zhuǎn)中，點(diǎn)Mn分別落在坐標(biāo)象限的分角線上或x軸或y軸上，但各點(diǎn)“絕對(duì)坐標(biāo)”的橫、縱坐標(biāo)均為非負(fù)數(shù)，因此點(diǎn)Mn的“絕對(duì)坐標(biāo)”可分為以下3類情況：令旋轉(zhuǎn)次數(shù)為n．

3 幾何類型

例5如圖3，觀察下面的點(diǎn)陣圖形和與之相對(duì)應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律：

(1)請(qǐng)你在④和⑤后面的橫線上分別寫(xiě)出相對(duì)應(yīng)的等式;

(2)通過(guò)猜想，寫(xiě)出與第n個(gè)圖形相對(duì)應(yīng)的等式．

解通過(guò)觀察分析，順著3個(gè)已知式子的書(shū)寫(xiě)規(guī)律即可寫(xiě)出式④和式⑤，進(jìn)而可以推出其一般規(guī)律：

(1)因?yàn)棰?×0+1=4×1-3；②4×1+1=4×2-3；③4×2+1=4×3-3，所以可類似地推得:④4×3+1=4×4-3和⑤4×4+1=4×5-3．

(2)由已知條件結(jié)合第(1)小題的結(jié)論可得，第n個(gè)圖形相對(duì)應(yīng)的等式為：

4(n-1)+1=4n-3．

圖3

例6如圖4,5,6，點(diǎn)D，E分別是正△ABC、正方形ABCM、正五邊形ABCMN中以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的相鄰2條邊上的點(diǎn)，且BE=CD，DB交AE于點(diǎn)P．

(1)求圖4中∠APD的度數(shù)．

(2)圖5中∠APD的度數(shù)為_(kāi)_______，圖6中∠APD的度數(shù)為_(kāi)_______．

(3)根據(jù)前面的探索，能否將本題推廣到一般的正n邊形的情況.若能，寫(xiě)出推廣問(wèn)題和結(jié)論；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

圖4 圖5

圖6 圖7

分析本題從特殊圖形(正三角形)出發(fā)，進(jìn)行規(guī)律探索，通過(guò)對(duì)圖形的觀察和變化情況的分析，合理地進(jìn)行猜想、驗(yàn)證，并由特殊到一般地進(jìn)行引申推廣．

解(1)由△ABC為等邊三角形，可得

AB=BC，∠ABE=∠BCD=60°，

又由BE=CD，得

△ABE≌△BCD，

因此

∠BAE=∠CBD，

故 ∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=

∠ABE=60°．

(2)90°，108°．

(3)能.如圖7，點(diǎn)E，D分別是正n邊形ABCM…上以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的相鄰2條邊上的點(diǎn)，且BE=CD，BD與AE交于點(diǎn)P，則

評(píng)注本題的本質(zhì)就是進(jìn)行歸納、猜想、類比和聯(lián)想，作出判斷和推理論證．

4 操作類型

第0次操作： 2 3

第1次操作： 2 5 3

第3次操作： ……

(1)請(qǐng)寫(xiě)出第3次操作后所得到的9個(gè)數(shù)，并求出它們的和；

(2)經(jīng)過(guò)k次操作后所有數(shù)的和記為Sk，第k+1次操作后所有數(shù)的和記為Sk+1，寫(xiě)出Sk+1與Sk之間的關(guān)系式；

(3)求S6的值.

(2)由題設(shè)知S0=5，因此

所以

于是

故

圖8

例8如圖8所示，對(duì)面積為1的△ABC逐次進(jìn)行以下操作：第1次操作，分別延長(zhǎng)AB，BC，CA至點(diǎn)A1，B1，C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，順次連結(jié)A1，B1，C1，得到△A1B1C1，記其面積為S1；第2次操作，分別延長(zhǎng)A1B1，B1C1，C1A1至點(diǎn)A2，B2，C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，順次連結(jié)A2，B2，C2，得到△A2B2C2，記其面積為S2；…；按此規(guī)律繼續(xù)下去，可得到△AnBnCn，則其面積Sn=________．

分析從最簡(jiǎn)單的情形出發(fā)，先求△A1B1C1的面積.連結(jié)BC1,由AC1=2AC，可得

S△ABC1=2S△ABC=2；

又由A1B=2AB，得

S△A1BC1=2S△ABC1=2×2=4，

于是S△A1AC1=S△A1BC1+S△ABC1=4+2=6.

同理可得

S△A1B1B=6；S△B1CC1=6.

因此S△A1B1C1=S△A1BB1+S△B1CC1++S△AA1C1+S△ABC=

3×6+1=18+1=19.

同理可得

S△A2B2C2=19S△A1B1C1=192；

S△A3B3C3=19S△A2B2C2=193；

…

進(jìn)而可推得，S△AnBnCn=19n．

綜上所述，對(duì)于這4種類型問(wèn)題的求解，首先要仔細(xì)審題，看清楚題目所求的未知量是什么；然后找出各個(gè)未知量之間的聯(lián)系，這其中就包括了在尋找未知量的拓展過(guò)程中，哪些量變了，哪些量沒(méi)有變；最后根據(jù)這些聯(lián)系列出通項(xiàng)求解．在遇到具體關(guān)系很難找的問(wèn)題時(shí)，不妨先寫(xiě)出第1項(xiàng)，第2項(xiàng)，第3項(xiàng)，…，然后去找其存在的規(guī)律．偉大的科學(xué)家牛頓說(shuō)過(guò)，“沒(méi)有大膽的猜測(cè)就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”．因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要注重培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)地觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理論證的能力，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)與分析、解決問(wèn)題的能力.衷心希望學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)能得到全面的提高．