教學創新課例：數列復習課

●

(太和中學 安徽阜陽 236600)

教學創新課例：數列復習課

●周欣

(太和中學 安徽阜陽 236600)

在數學教學改革的浪潮中，各種體現新理念的教學模式層出不窮.如何在這種形勢下使課堂教學出新又出彩，既讓學生主動探求、獲取的知識，發展思維，增長能力，又在充滿懸念和矛盾沖突的教學活動中，讓學生領略數學的魅力，使教與學成為師生的一種共同享受，這是廣大數學教師所努力追求的一種高境界.筆者在公開課“數列習題課”的教學中完全打破傳統的模式，進行大膽嘗試，取得了預期的效果，受到了學生和聽課教師的好評.筆者將這節課教學過程中富有特色的部分介紹如下，并進行了必要的評析.

1 教學過程節錄

例1在等差數列{an}中，a10=100，a100=10，求a110.

學生發現題目雖簡單，但極有特點，躍躍欲試.

分析求a110可先求出什么，如何求？一般是求首項和公差，可由a10=100，a100=10列出方程組解出首項a1及公差d.

解法1由已知得

解得

a1=109，d=-1,

于是

a110=109+109×(-1)=0.

學生較快得出解法2.

解法2由a110=a10+90d,得

d=-1,

于是

a110=a100+10d=10-10=0.

解法2實際上是將等差數列通項公式進行推廣，通常an=a1+(n-1)d.根據等差數列的定義可得

an=a2+(n-2)d;

an=a3+(n-3)d;

…

an=an-1+d.

一般結論為an=am+(n-m)d.

上面推廣的結論可以解決什么問題？若是等比數列，則有無類似結論？

學生小結已知任意2項可以求出首項和公差，對應等比數列有：an=a1qn-1，an=a2qn-2…，an=amqn-m.

圖1

當學生沒有新解法時,教師啟發：數列實際上是一種特殊函數.從這一角度上看，我們可以怎樣理解數列？

畫圖展示，數列就是按照一定順序排成的一列數.

從函數的觀點看，數列是定義在N*或其有限子集{1,2,3，…，n}上的函數f(n).當自變量從1開始依次取正整數時，f(n)所對應的一列數值：f(1),f(2),f(3),…,f(n).

引導學生得到：(1，a1)，(2，a2)，…,(n,f(n)),就是一次函數f(n)=an=nd+(a1-d)圖像上散開的點.進一步啟發學生,本題實際上涉及到3個點：A(10,100)，B(100,10)，C(100，a110).

解得

a110=0.

反思在學習本章內容時,要善于從函數的角度去理解數列，繼續引導學生仔細觀察：此題的條件與結果有何特點？它們之間是否是巧合呢？

師生共同探究、觀察、討論得出(由學生總結):

(1)條件的2項與項數剛好交換；

(2)要求項的項數恰好為已知2項的項數和；

(3)大膽猜想：{an}為等差數列，若am=n，an=m，則am+n=0.

由等差數列的性質an=am+(n-m)d得出d=-1,于是am+n=an+md=m-m=0.

變式若將原題中的a10，a100，a110分別改為S10,S100,S110，即和的形式，會有什么好的解法、好的發現？

學生思考，教師巡視，等大多數學生做完后，組織學生發言，教師作點評.

解法1設數列{an}公差為d，首項為a1.由

解得

從而

教師點評這是根據等差數列前n項和公式進行思考，利用了方程的思想，思路嚴謹，但計算量大，運算過程極易出錯.

解法2由已知得

式(1)-式(2)得

從而

學生可能會仿照前例解法3，用函數的觀點解題，但可能思維受阻.

由an與Sn的關系an=Sn-Sn-1(n≥2),揭示了an與Sn之間的關系.以上變式就是用Sn來代替an得到的一道題，那么是否可以大膽地猜想用等差數列的和作為項構成一個新的數列是等差數列呢？

不妨試一試，首先，S1,S2,S3,…,Sn能否構成一個新的等差數列？為了說明此問題，可以舉例.如1,2，3，…，n，則S1=1，S2=3，S3=6，….

教師啟發從an=sn-sn-1(n≥2)本身去想，即a1=s1,a2=s2-s1,a3=s3-s2,a4=s4-s3,…，得來全不費功夫！s1，s2-s1，s3-s2,s4-s3,…，sn-sn-1就是a1,a2,a3,…,an這個數列本身！由此學生思維活躍起來，聯想到前面習題、練習中的類似問題，此時合理引導，做到活而不亂.

引導學生歸納和推廣：(1)若{an}為等差數列，則Sk,S2k-Sk,S3k-S2k，…也是等差數列，公差為kd；(2)若{an}為等比數列，則Sk,S2k-Sk,S3k-S2k，…也是等比數列，公比為qk.由以上分析，得解法4.

解法4由S10,S20-S10,S30-S20,…,S110-S100成等差數列,設公差為d′，則

S100=S10+(S20-S10)+…+(S100-S90)=

由S10=100,得d′=-22，于是

S110=S10+(S20-S10)+…+(S110-S100)=

解法4實際上構造了一個新的等差數列，思路顯得更廣.

得

a11+a100=-2.

-110.

學生總結a11+a100=a1+a110，推廣至如p+q=m+n，則ap+aq=am+an；類比到等比數列可得ap·aq=am·an.

從以上解法可看出：對概念認識得越清，產生的解法越簡捷，而最后一種解法揭示了問題的內在涵義.

2 對上述教學特色的簡評

2.1 倡導積極主動、勇于探索的學習方式

傳統的復習課一般是整理教科書中的內容，梳理知識網絡，鞏固基礎，回顧基本方法，訓練基本技能.基本上是教師講、學生聽，學生主動性較差.而學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式.這些方式有助于發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程.而本節課正是以一道不起眼的“小題”為引子，深入挖掘，通過“一題多解”、“一題多變”等靈活多樣的形式進行研究性復習，不僅有效地復習了數列這一章的基本知識，而且為學生創造許多創新的機會，學生思維得以優化.

2.2 注重體現數學思想，著眼培養創新能力

本節的研究性復習是根據課本的脈絡，將復習內容轉換為研究專題，主動獲取知識，應用知識解決問題的學習活動，具有主動性、深刻性、開放性等特點，并把知識上升到數學思想.如例1中的解法1和解法2應用方程思想，解法3應用數形結合思想、函數思想；例2揭示an與Sn的關系理解數列和的本質，例2中解法4應用了嘗試、猜想、類比等方法，解法5是從思維深刻性轉到思維批判性.整個設計通過一道不起眼的“小題”創設情境，從具體實例出發，展現數學知識的發生、發展過程，使學生能夠從中發現問題、提出問題，鼓勵學生在經歷數學的發現和創造過程中，養成獨立思考、積極探索的習慣，發展學生的思維，培養學生的創新能力.

2.3 返璞歸真，強調本質

數學課程要講邏輯推理，更要講道理.通過例1這一典型例子的分析和學生自主探索活動，使學生理解數學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的思想方法，追尋數學發展的歷史足跡，把數學的學術形態轉化為學生易于接受的教育形態.通過對這道不起眼的“小題”進行“一題多解”、“一題多變”及類比、猜想、論證等，力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，為學生形成積極主動的、多樣的學習方式創造有利的條件，以激發學生的數學學習興趣，又不失時機地揭示數學知識的本質，如例2中的解法5.

[1] 涂榮豹.談提高對數學教學的認識[J].中學數學教學參考(高中)，2006(1-2)：13-15.

[2] 羅增儒.數學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社，2001.

[3] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準(實驗)[M].北京：北京人民教育出版社，2003.