關于自然數倒數和的一個結論

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(寧波大學數學系 浙江寧波 315211) (富陽市第二中學 浙江富陽 311400)

關于自然數倒數和的一個結論

●陳計●許康華

(寧波大學數學系 浙江寧波 315211) (富陽市第二中學 浙江富陽 311400)

定理存在無窮多個自然數n,使得bn<[1,2,3,…,n]成立.

為此,先證明以下引理.

引理對任意的自然數n,如果存在素數p≥3,滿足(p-1)pk≤n

證明因為

根據Wolstenholme定理[1,2],當p>3時,有

定理的證明由于滿足(p-1)pk≤n

結合上述討論，筆者提出如下猜想：

猜想1存在無窮多個自然數n,使得bn=[1,2,3,…,n]成立.

單墫教授在文獻[3]中用初等方法給出了關于[1,2,3,…,n]的上下界: [1,2,3,…,n]<4n;當n≥7時,[1,2,3,…,n]>2n.

[1] 華羅庚.數論導引[M].北京：科學出版社，1979.

[2] Hardy G H,Wright E M.An Introduction to the Theory of Numbers[M].Oxford Clarendon Press,1979.

[3] 單墫.趣味數論[M].北京:中國青年出版社,1987.