穩中有變 亮點紛呈
——2011年數學高考解析幾何試題評析

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(柯橋中學 浙江紹興 312030)

穩中有變亮點紛呈
——2011年數學高考解析幾何試題評析

●張惠民

(柯橋中學 浙江紹興 312030)

1 教學要求與考查要求

解析幾何是高中數學的主干內容，其核心是用代數的方法研究解決幾何問題，體現數形結合的思想方法.這類試題主要考查運算求解能力和推理思辨能力.題型一般為一個選擇題、一個填空題、一個解答題，分值在20分左右.

2 命題特點和知識類型

2011年的數學高考試題有3個比較明顯的特點：一是直線與雙曲線的位置關系繼續淡化；二是對設參、消參的考查進一步強化；三是探究在什么條件下使某個對象為定值的雙向探究問題有明顯降溫趨勢.選擇題和填空題以考查基本知識和基本技能為主，但穩中有變，例如，浙江省數學高考理科試題第17題是一個小巧靈活的好題.解答題通常集中在直線和圓、橢圓及拋物線的位置關系方面命制，第(2)小題大多以軌跡問題、最值問題、存在性問題、定值問題、參數求解的形式出現.

3 亮點掃描

亮點1情理之中 意料之外

(2011年江西省數學高考理科試題)

解由已知得

整理得

又

2式比較得

從而

因此

(2011年浙江省數學高考理科試題)

設A(x1,y1)，C(x2,y2),則直線AC的方程為

y1=-5y2，

從而

式(1)2÷式(2),得

利用韋達定理可得

解得

設點A的極角為θ，則點C的極角為π+θ.因為ρA=5ρC，所以

解法3設A(x1,y1)，B(x2,y2),由橢圓定義知

所以

由橢圓第二定義知

從而

(3)

由式(3),式(4)解得x1=0，所以點A的坐標為(0,±1).

亮點22個方程消2個參數成為一道風景線

(2011年江西省數學高考理科試題)

分析由已知得

又

(6)

求離心率常規的方法往往是先得到關于a,b,c的關系式，再消去b然后解得e．

整理得

(2011年安徽省數學高考理科試題)

圖1

式(7)×2-式(8)，得點P的軌跡方程為

2x-y-1=0.

亮點3結論即證即用,考查思維的靈活性

(2)設線段PQ的中點為M，求|OM|·|PQ|的最大值.

(2011年山東省數學高考理科試題)

(2+3k2)x2+6kmx+3(m2-2)=0.

設點O到直線l的距離為d，則

化簡得

3k2+2=2m2,

因此

當直線l的斜率不存在時，易驗證

也成立.

(2)因為M為線段PQ的中點，而

2|OM|·|PQ|,

評注借用平面幾何中的結論避免了代數運算的復雜性，而結論的即證即用使最值求解的過程得以優化.

(3)假設橢圓C上存在點D(x1,y2)，E(x2,y2)，G(x3,y3)，使得

由第(1)小題知

從而

同理可得

評注已證結論的再一次應用無疑使該題的特色更趨顯明，這也成為2011年眾多解析幾何試題中一道好題.

4 復習建議

4.1 有創意地呈現基礎知識和基本技能

2011年重慶市數學高考理科試題第20題第(2)小題中的部分表述為：“是否存在2個定點F1，F2，使得|PF1|+|PF2|為定值.”從表面上看，該小題是一個雙向探究題，2個定點和1個定值都需要探究，但其本質實為求橢圓的方程.高考復習不該是基礎知識和基本技能的簡單多次重現，有創意地呈現基礎知識和基本技能，無疑有助于激發學生的學習興趣、提高復習效率.2011年浙江省數學高考理科試題第21題，其中關健性的一步是得到k1,k2是方程

的2個根，若由此適時提出“同一法”的思想，則能提高學生對此類問題的理解層次和記憶深度.

4.2 重視“點參數”的應用

4.3 重視軌跡求解方法的拓展

設點、列式、代入、化簡、檢驗是軌跡求解的最基本方法.例如,2011年陜西省數學高考理科試題第17題、2011年廣東省數學高考理科試題第19題、2011年天津市數學高考理科試題第18題均用到此法.而交軌法、參數法、定義法等在軌跡求解中的應用在現行教材中沒有系統講述，需要拓展補充.如2011年安徽省數學高考理科試題第21題主要考查的就是用參數法求軌跡,且有相當的難度.

4.4 提高字母演算的準確性

解析幾何中培養學生的思維能力固然重要，但是繁雜、冗長的字母演算是學好解析幾何的基礎和必備功課.