由Mircea Lasscu不等式引發的探究

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(杭州學軍中學 浙江杭州 310012)

由MirceaLasscu不等式引發的探究

●張瑋

(杭州學軍中學 浙江杭州 310012)

文獻[1]中給出了Mircea Lasscu不等式n元推廣的簡單證明，筆者經過仔細觀察，發現一個有趣的事實.先看n元情形的Mircea Lasscu不等式：

對不等式(1)左邊變形可得

由此，筆者聯想到均值不等式串

并證明了如下結果也成立.如不加說明，默認k,n∈N*.

定理1若a,b>0，則

當且僅當a=b或k=1時,等號成立.

證明由均值不等式可知

由文獻[2]中不等式可得

故

原命題得證.

上述證明方法也可以用來證明不等式(1).與此同時，用類似的方法，筆者還推廣了定理1得到定理2，并且還證明了其他的幾個結果：

定理2設xi>0(i=1,2,…,n)，則

當且僅當xi=xj(i≠j)或k=1時,等號成立.

證明由均值不等式可知

其二是心血管方面的癥狀：人會覺得心慌、胸悶、頭暈眼花，這是因為屋里暖氣過熱，水液蒸發過快，血液變得黏稠，供氧不足導致的。如果不能及時改善，很可能是心腦血管病的誘因，如果原本就有肺心病、心功能不全等問題，除了寒冷，過熱過干也同樣危險。

由文獻[2]中不等式可得

故

原命題得證.

定理3設xi>0(i=1,2,…,n),則

當且僅當xi=xj(i≠j)或k=1時,等號成立.

與定理2證明類似，此處略去.

當且僅當xi=xj(i≠j)或k=1時，等號成立.

證明由均值不等式可知

由文獻[2]中不等式可得

故

原命題得證.

定理5設xi>0(i=1,2,…,n),則

當且僅當xi=xj(i≠j)或k=1時,等號成立.

與定理4證明類似，此處略去.

定理6設xi>0(i=1,2,…,n),則

當且僅當xi=xj(i≠j)或k=1時，等號成立.

與定理4證明類似，此處略去.當k=n時，即為不等式(1).

定理7若a,b>0，則

當且僅當a=b或k=1時，取到等號.

即只需證明

(a2k+b2k)(a2+2ab+b2)≥(a2+b2)(a2k+2akbk+b2k),

只需證明

a2k+1b+ab2k+1≥a2+kbk+akb2+k，

即

a2k+b2k≥a1+kbk-1+ak-1b1+k.

因為a2k+b2k-a1+kbk-1-ak-1b1+k=(ak-1-bk-1)(a1+k-b1+k)≥0，所以原命題得證.

猜想設xi>0(i=1,2,…,n)，則

當且僅當xi=xj(i≠j)或k=1時，等號成立.

筆者能力有限，上述猜想無法給出證明.通過觀察幾何畫板演示，筆者猜想上述不等式成立，且不等式左邊的式子有上界，上界小于2.75，但是能否給出一個精確的值，經過探究，無果.

[1] 安振平，馬俊青.Mircea Lasscu不等式推廣的簡單證法[J].中學教研(數學)，2011(4)：10.

[2] 張瑋.一個不等式的簡證和推廣[J].福建中學數學，2011(4)：35-36.