創(chuàng)設(shè)情境教學(xué)余弦定理

韓朝海

摘要：余弦定理具有一定廣泛的應(yīng)用價(jià)值，教學(xué)中我們從實(shí)際需要出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境。

關(guān)鍵詞：余弦定理；解三角形；數(shù)學(xué)情境

“余弦定理”作為高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，是解決有關(guān)斜三角形問題的兩個(gè)重要定理之一，也是初中“勾股定理”內(nèi)容的直接延拓。它是三角函數(shù)一般知識(shí)和平面向量知識(shí)在三角形中的具體運(yùn)用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算問題等他數(shù)學(xué)問題以及解決生產(chǎn)、生活實(shí)際問題的重要工具，因此具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。

一、設(shè)計(jì)思路

布魯納指出，學(xué)生不是被動(dòng)的、消極的知識(shí)的接受者，而是主動(dòng)的、積極的知識(shí)的探究者。教師的作用是創(chuàng)設(shè)學(xué)生能夠獨(dú)立探究的情境，引導(dǎo)學(xué)生去思考，參與知識(shí)獲得的過程。因此，做好“余弦定理”的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)，使學(xué)生掌握新的有用的知識(shí)，體會(huì)聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點(diǎn)，而且能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力。

依據(jù)建構(gòu)主義學(xué)說(shuō)，教學(xué)不能無(wú)視學(xué)生的這些經(jīng)驗(yàn)，另起爐灶，從外部裝進(jìn)新知識(shí)，而是要把學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)中“生長(zhǎng)”出新的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。我采用“情境—問題”教學(xué)模式，以“設(shè)置情境—提出問題—解決問題—反思應(yīng)用”為主線，把從情境中探索和提出數(shù)學(xué)問題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，以“問題”為紅線組織教學(xué)，形成以提出問題與解決問題相互引發(fā)攜手并進(jìn)的“情境—問題”學(xué)習(xí)鏈，使學(xué)生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”。

二、教學(xué)過程

1．設(shè)置情境

自動(dòng)卸貨汽車的車箱采用液壓機(jī)構(gòu)。設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算油泵頂桿BC的長(zhǎng)度，已知車箱的最大仰角為60°，油泵頂點(diǎn)B與車箱支點(diǎn)A之間的距離為1.95m，AB與水平線之間的夾角為6°，AC的長(zhǎng)為1.40m，計(jì)算BC的長(zhǎng)（保留三個(gè)有效數(shù)字）。

2.啟發(fā)思考

能否把這個(gè)實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題？（數(shù)學(xué)建模）

在三角形ABC，已知AB＝1.95m，AC＝1.40m，∠BAC＝60°＋6°＝66°，求BC的長(zhǎng)。這個(gè)問題的實(shí)質(zhì)是在三角形中，已知兩邊和它們的夾角，求第三邊。

（一般化）三角形ABC，知AC＝b，BC＝a，角C，求AB。

3．解決問題

我們以前遇到這種一般問題時(shí)，是從特殊圖形入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法。據(jù)此可先在直角三角形中試探一下：直角三角形中c2=a2+b2（勾股定理，角C為直角）斜三角形ABC中，過A作BC邊上的高AD，將斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形。（聯(lián)想構(gòu)造）

討論：在銳角三角形ABC中，過A作AD垂直BC交BC于D，在直角三角形ADB中，AB2＝AD2＋BD2；在直角三角形ADC中，AD＝ACsinC，CD＝ACcosC，即AD＝bsinC，CD＝bcosC。

又BD＝BC－CD，即BD＝a－bcosC

∴c2=（bsinC）2+（a－bcosC）2=b2sin2C+a2－2abcosC+b2cos2C

=a2+b2－2abcosC

同理a2=b2+c2－2bccosA

b2=a2+c2－2accosB

在鈍角三角形ABC中，不妨設(shè)角C為鈍角，過A作AD垂直BC交BC的延長(zhǎng)線于D，在直角三角形ADB中，AB2＝AD2＋BD2；在直角三角形ADC中，AD＝ACsin（π－C），CD＝ACcos（π－C），即AD＝bsinC，CD＝－bcosC，又BD＝BC＋CD，即BD＝a－bcosC

∴c2=（bsinC）2+（a－bcosC）2=b2sin2C+a2－2abcosC+b2cos2C

=a2+b2－2abcosC

同理a2=b2+c2－2bccosA，b2=a2+c2－2accosB

同理可證a2=b2+c2－2bccosA

b2=a2+c2－2accosB

4．反思應(yīng)用

余弦定理揭示了三角形中任意兩邊與夾角的關(guān)系，那么余弦定理能夠解決哪些問題？

知三求一，即已知三角形的兩邊和它們的夾角，可求另一邊；已知三角形的三條邊，求角。

請(qǐng)同學(xué)們用余弦定理解決開始提出的問題。（請(qǐng)一位同學(xué)將他的解題過程寫在黑板上）

解：由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2ABACcosA

＝1.952＋1.402－2×1.95×1.40cos66°20′

＝3.571

∴BC≈1.89（m）

答：頂桿BC約長(zhǎng)1.89m。

三、教學(xué)反思

教學(xué)時(shí)，教師立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，通過學(xué)生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問題、解決問題、應(yīng)用反思的過程，學(xué)生成為余弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂，知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到了較好的落實(shí)，為今后的“定理教學(xué)”提供了一些有用的借鑒。