衛(wèi)星制導炮彈脈沖修正矢量的計算方法研究

戴明祥，楊新民，易文俊

（南京理工大學 瞬態(tài)物理重點實驗室，南京210094）

利用成本相對較低的脈沖側噴發(fā)動機提供操縱力的控制系統(tǒng)取代結構復雜、價格不菲的舵機系統(tǒng)將是發(fā)展靈巧彈藥的理性模式之一.近年來，脈沖修正屬于熱點研究領域，國內外研究學者對此做了大量研究工作，并在導引律、制導控制策略、控制方式、脈沖系統(tǒng)穩(wěn)定性等方面取得了可喜成果.HABLANI比較了利用脈沖控制的零效脫靶量導引律（ZEM）和脈沖比例導引律（PPN）[1]；文獻[2]提出了脈沖修正動態(tài)穩(wěn)定性條件；文獻[3]在脈沖式末制導子彈導引律中提出了零效脫靶量比例導引律；徐勁祥對脈沖修正迫彈修正方案進行了研究，提出了四象限修正方案[4]等.但對于衛(wèi)星制導彈藥脈沖修正矢量計算方面的研究較少.

對于脈沖發(fā)動機控制系統(tǒng)來說，脈沖發(fā)動機有脈沖推力大，作用時間短，點了即用，單發(fā)控制量較大且數(shù)量有限等特點.正是基于上述特點，在脈沖發(fā)動機控制系統(tǒng)的靈巧彈藥中，需保證單發(fā)發(fā)動機調控修正最優(yōu)（即不出現(xiàn)修正過量），而脈沖發(fā)動機單發(fā)控制量較大，若不正確計算出單發(fā)脈沖修正矢量，很難實現(xiàn)脈沖發(fā)動機的調控最優(yōu).

1 模型建立

1.1 發(fā)動機模型建立

設脈沖側噴發(fā)動機的推力軸心與彈丸質量中心重合，如圖1所示.

圖1 脈沖發(fā)動機安裝位置

設共計N臺發(fā)動機周向均布，如圖2所示，Ox1y1z1為彈體坐標系.每臺發(fā)動機之間的間隔角度.設0＃發(fā)動機位于彈體坐標系的Oy1軸上，順彈體旋轉方向依次定義1＃，2＃，…，N－1＃發(fā)動機，則第i＃發(fā)動機與Oy1軸的角度為

圖2 脈沖發(fā)動機安裝徑向分布

1.2 坐標系轉換關系

地面坐標系xyz[5]與大地固連，不考慮地球自轉和曲率影響，將其看為慣性坐標系.彈道坐標系x2y2z2隨彈丸速度矢量的改變而改變，需將彈道系坐標轉換為地面系坐標，即：

式中，θ為彈道傾角，ψv為彈道偏角.

2 問題分析

2.1 衛(wèi)星導引脈沖修正彈藥控制原理

基于衛(wèi)星導引的脈沖修正彈藥控制系統(tǒng)主要由衛(wèi)星虛擬導引頭、滾轉測量機構、彈載計算機（包括彈道解算器和決策控制機構）、脈沖發(fā)動機組和靈巧彈丸組成.其控制系統(tǒng)的設計如圖3所示.

圖3 基于衛(wèi)星導引的脈沖修正彈藥控制系統(tǒng)組成

在彈丸自由飛行過程中，衛(wèi)星虛擬導引裝置實時給出彈丸空間位置和速度矢量信息.彈道解算器根據(jù)上述信息，代入相關氣動力參數(shù)和氣象條件，解算出彈丸落點，與目標點坐標比較得到落點偏差；滾轉測量機構給出脈沖發(fā)動機組各發(fā)動機位置信息.根據(jù)落點偏差和發(fā)動機位置信息，決策控制機構需計算出發(fā)動機點火與否和點火的發(fā)動機編號.在此過程中，決策控制機構必須計算出各發(fā)動機的脈沖修正矢量，從而作出最優(yōu)決策.

2.2 彈道解算

根據(jù)衛(wèi)星虛擬導引裝置給出的實時空間位置信息（x，y，z，v），以此作為炮口參數(shù)，建立彈丸質心運動方程組[5]，并代入相關氣象條件，利用數(shù)值計算方法（如龍格－庫塔法）聯(lián)立求解微分方程組，得出彈丸自由飛行落點.同時，彈道解算還給出了彈丸剩余飛行時間tr和落點速度矢量vt.

3 脈沖修正矢量的計算原理

理想條件：①脈沖發(fā)動機工作期間，彈體轉速恒定；②脈沖發(fā)動機工作時間和作用力大小一定（即總沖大小一定），作用力瞬間產(chǎn)生、瞬間消失；③脈沖發(fā)動機工作對彈體姿態(tài)無影響，彈體中心軸線始終與速度矢量線重合.

3.1 脈沖平均推力矢量計算

脈沖發(fā)動機工作時間極短，故將脈沖推力矢量合成為平均推力矢量.在某時刻t0決策控制機構給出第i＃發(fā)動機的點火指令（設脈沖發(fā)動機點火延遲時間為τ），則經(jīng)過時間τ后第i＃發(fā)動機點火工作.設ts為發(fā)動機工作持續(xù)時間，F(xiàn)為脈沖推力大小，ωx為彈體轉速.圖4中，ατ為點火延遲彈體旋轉角度，αω為發(fā)動機工作時彈體旋轉角度，γv為彈丸速度傾斜角.

脈沖平均推力矢量方向與彈道坐標系Oy2軸的夾角pi為

此刻彈道坐標系下的脈沖平均推力方向單位向量IFa為

脈沖平均推力矢量大小為

圖4 脈沖發(fā)動機工作圖

3.2 運動的分解

由于脈沖發(fā)動機沖量大小有限，一般為幾十或上百N·s，則單個脈沖發(fā)動機對彈丸作用產(chǎn)生的速度分量為幾m/s，對彈丸自由飛行的氣動力影響很小，可以忽略不計.

如圖5所示，假定在某空間位置A第i＃號發(fā)動機接受到點火指令，產(chǎn)生的平均推力矢量如式（2）、式（3）所示.將彈丸質心運動分解成沿平均推力矢量方向先加速后勻速的直線運動和無控彈道的自由飛行運動.在A點，由衛(wèi)星虛擬導引頭給出空間信息（x，y，z，v），經(jīng)彈道解算器數(shù)值解出落點M的位置（xM，yM，zM）、自由飛行剩余時間tr和落點速度矢量vt.

1）直線運動.

在發(fā)動機工作期間，受持續(xù)恒定脈沖平均推力作用，彈丸作勻加速運動；當發(fā)動機作用完畢后，彈丸保持勻速直線運動.脈沖發(fā)動機產(chǎn)生的速度分量Δv為

式中，aFa為脈沖平均推力產(chǎn)生的加速度.

故經(jīng)過時間tr后，沿脈沖平均推力矢量方向上的位移s為

式（6）和式（4）忽略了彈丸沿推力矢量方向橫向移動的空氣阻力的影響.

圖5 脈沖修正矢量計算圖

2）無控彈道的自由飛行運動.

由于忽略了速度分量對自由飛行氣動力的影響，則自由飛行運動的一切參數(shù)不變，其運動軌跡與2.2節(jié)彈道解算描述的運動軌跡完全一致，故經(jīng)過時間tr后，彈丸將會位于無控彈道自由飛行的落點M，飛行速度為無控彈道落點速度vt，其在彈道系中的坐標為（vt，0，0）.

3.3 位移的合成

如圖5，經(jīng)過時間tr后，直線運動的位移為lMC，則有：

無控彈道自由飛行運動的位移為lAM，則兩獨立運動的合成位移lAC為

則在位置A，第i＃發(fā)動機接收到點火指令，經(jīng)時間tr后，彈丸將運動到C點，設C點坐標為（xC，yC，zC），速度矢量vC為（vCxvCyvCz），則有：

式中，θ0、ψv0分別為彈丸在A點時的彈道傾角和彈道偏角.

式中，θt、ψvt分別為無控自由飛行落點M的彈道傾角和彈道偏角.

3.4 脈沖修正矢量計算

由式（10）得出C點位置，由于單發(fā)發(fā)動機調控能力有限，直線運動位移s一般為幾十或上百m，則C點至修正彈道落點距離很短.假定彈丸在C點附近的運動為直線運動（即此時忽略重力影響）.

脈沖修正矢量：脈沖發(fā)動機修正彈道在無控彈道落點水平面上的交點與無控彈道落點之間的方向向量.如圖5中的lMM′，M′為修正彈道落點.

設M′點 坐標為（xM′，yM′，zM′），則lCM′//vC，故lCM′＝kvC，得：

由脈沖修正矢量定義知：

聯(lián)立式（13）、式（14）解出：

則脈沖修正矢量lMM′為

式中，s、pi、Δv由式（6）、式（1）、式（4）給出；θ0、ψv0由衛(wèi)星虛擬導引裝置給出；vt、θt、ψvt由彈道解算器給出.

4 單發(fā)脈沖發(fā)動機調控能力分析

脈沖發(fā)動機調控能力為脈沖發(fā)動機修正矢量的模，用R表示，即R＝｜lMM′｜.

4.1 簡化處理

對于無控彈丸氣動外形，其靜穩(wěn)定裕度一般較大，無控自由飛行彈道彈道偏角極小，可以忽略不計，即ψv0≈ψvt≈0，則sinψv0≈sinψvt≈0，cosψv0≈cosψvt≈1.由式（16）得：

Δv一般為幾 m/s，vt一般為幾百 m/s，Δv為小量，則有：

將式（18）代入式（17）得：

4.2 單發(fā)動機調控能力分析

對于指定彈道，θt一般保持不變，即可認為θt為常量.聯(lián)立式（1）、式（6）、式（20）知單發(fā)動機修正能力與發(fā)動機推力大小F、發(fā)動機作用時間ts、彈體轉速ωx、彈丸剩余飛行時間tr、發(fā)動機位置（γv＋αi）、發(fā)動機作用時刻的彈道傾角θ0有關.

對指定彈道上某點某時刻發(fā)動機的調控能力進行分析，則彈道參數(shù)（ωx，tr，θ0，θt）、發(fā)動機參數(shù)（F，ts）都為常量，則此時發(fā)動機調控能力只受發(fā)動機位置的影響，即式（20）只有pi為變量.設得：

5 發(fā)動機最優(yōu)點火決策的設計

設t0時刻，衛(wèi)星導引頭給出該時刻的位置信息（x，y，z）、速度矢量v，則彈載計算機通過彈道解算可得彈丸落點M（xM，0，zM），得目標點坐標MT（xMT，0，zMT）.其導引偏差矢量為lMMT＝（xMT－xM0zMT－zM）.此時第i＃號發(fā)動機脈沖修正矢量lMM′i可由式（19）求得.

則第i＃號發(fā)動機點火決策條件為

式中，λ為圓概率誤差Ecp的修正系數(shù)；δ0為相角決策閾值.其決策區(qū)域見圖6的陰影區(qū)域.

圖6 點火決策區(qū)域

6 仿真驗證

6.1 脈沖修正矢量驗證

選取某典型迫擊炮彈典型彈道，間隔取4個特征點位置作為起控點，其4個特征點位置的彈道傾角分別為11.0°，－11.2°，－22.4°，－32.5°.建立彈丸6自由度運動學模型，數(shù)值仿真沿周身分布的單發(fā)脈沖修正能力，與式（16）計算結果比較，如圖7所示.由此可見式（16）計算結果與6自由度仿真結果一致，驗證了式（16）計算方法的正確性.

圖7中，由外到內對應于彈道傾角為11.0°、－11.2°、－22.4°、－32.5°的特征點.

圖7 脈沖修正矢量圖

脈沖修正矢量的計算誤差為

6.2 閉環(huán)驗證

按圖3所示組成衛(wèi)星制導脈沖修正閉環(huán)系統(tǒng)，設置無控彈道落點與目標偏差（－235m，100m），采用式（22）設計脈沖發(fā)動機點火決策，進行有控彈道仿真.考慮衛(wèi)星導引頭捕星定位時間、衛(wèi)星導引頭量測誤差、脈沖發(fā)動機沖量攝動、彈體滾轉相位測量誤差以及風偏等相關擾動因素進行仿真計算.要求Ecp≤12m，仿真結果平均脫靶量為（－7.52m，－3.50m），在Ecp要求的范圍之內，從而驗證了本文研究的衛(wèi)星制導炮彈脈沖修正矢量計算方法的有效性.

通過6自由度彈道仿真和控制系統(tǒng)閉環(huán)驗證，充分說明了衛(wèi)星制導炮彈脈沖修正矢量計算方法的正確性和有效性，可以為脈沖發(fā)動機設計和控制決策系統(tǒng)研究提供較好的參考價值.

[1]HABLANI H B.Pulsed guidance of exoatmospheric interceptors with image processing delays in angle measurements，AIAA 2000－4272[R].2000.

[2]王中原，丁松濱，王良明.脈沖修正彈在脈沖力矩作用下的飛行穩(wěn)定性條件[J].南京理工大學學報，2000，24（4）：322－325.WANG Zhong－yuan，DING Song－bin，WANG Liang－ming.Flight stability condition for a projectile of corrected trajectory with impulse moments[J].Journal of Nanjing University of Science and Technology，2000，24（4）：322－325.（in Chinese）

[3]寇保華，張曉今，楊濤，等.脈沖式末制導子彈導引規(guī)律的研究[J].彈道學報，2005，17（1）：28－31.KOU Bao－h(huán)ua，ZHANG Xiao－jin，YANG Tao，et al.Study of guidance law for impulse terminal guidance sub－munitions[J].Journal of Ballistics，2005，17（1）：28－31.（in Chinese）

[4]徐勁祥.末段修正迫彈脈沖修正方案研究[J].彈箭與制導學報，2005，25（1）：50－52.XU Jin－xiang.A study on impulse correction scheme of terminal correction mortar projectile[J].Journal of Projectiles，Rockets，Missiles and Guidance，2005，25（1）：50－52.（in Chinese）

[5]錢杏芳，林瑞雄，趙亞男.導彈飛行力學[M].北京：北京理工大學出版社，2008.QIAN Xing－fang，LIN Rui－xiong，ZHAO Ya－nan.Missile flight mechanics[M].Beijing：Beijing Institute of Technology Press，2008.（in Chinese）