巨災債券的精算定價模型評析

謝世清

(北京大學經濟學院,北京 100871)

巨災債券,通常簡稱CAT bonds,是一種保險連接證券 (insurance linked securities),其付息或者還本與巨災事件發生與否相連,即只有當巨災發生且造成損失滿足觸發條件時,債券投資者才會損失利息或本金。作為一種把保險風險轉移到資本市場的新型投資工具,巨災債券兼具金融產品和保險產品的特性,因此其定價較普通公司債券要復雜得多。巨災債券的定價既是巨災債券的核心技術與難題,也是其得以成功發行的關鍵。

目前國內對巨災債券的理論定價模型研究較少,僅有少數學者對此進行了初步嘗試。田玲、向飛 (2006)[1]比較分析了風險定價框架下的LFC模型、Wang兩因素模型和Christofides模型。陸珩(2006)[2]嘗試了在不完全市場框架下基于代表性代理模型的巨災債券定價模型。田玲、張岳(2008)[3]討論了巨災債券定價的影響因素和闡述了基于債券合成的巨災債券定價方法。本文旨在從保險精算定價的角度對巨災債券的四個主要理論定價模型進行系統評析。

一、Kreps模型

傳統的保險精算定價模型一般首先收集客觀的損失數據,然后計算出期望損失 E(L) (Expected Loss),再加上風險承擔RL(Risk Load)以及各類費用支出 E(Expenses),則可以計算出巨災債券的價格P(Premium),即

其中的關鍵是如何計算出風險承擔。通常采用標準差風險附加原則,即風險承擔RL=風險附加乘數λ＊損失標準差σ。如果不考慮費用支出 (E=0),價格P可簡化為:

Kreps(1999)[4]從再保險合同定價的投資等價原理出發,考察了一年期單次支付的再保險合同的定價問題。設保險的初始價格為P,風險附加為RL,rf為無風險國債利率,A為再保險公司未收到保費時的初始資產,F為再保險公司的初始投資額,即F=P+A,期望損失為E(L),則再保險合約的價格可以表示為:

假設目標投資收益率為y,則根據投資等價原理,其現金流期望必須滿足如下等式:

從上面兩式中可以進一步求解得出風險附加為:

此外,對現金流期望等式取方差有:Aσy=σL,代入上式中可知:

將以上風險附加的表達式代入再保險合約的價格中可得:

Kreps模型的優勢首先在于清晰地說明了風險附加部分是利率、目標收益率等因素在內的函數,其次,Kreps模型提出了標準差風險附加的保險精算定價方法,從而為以后的四種主要巨災債券理論定價模型奠定了基礎。但該模型存在著兩大缺陷:其一、不能有效反映巨災損失分布的重尾特征;其二、無法計算各細分風險層次交易價格。正是由于這些缺點,保險界不得不在標準差風險附加模型基礎上尋求新的替代模型。

二、LFC模型

LFC模型是由美國Lane Financial公司總裁Morton Lane根據對巨災債券市場價格的經驗觀察所提出來的 (Lane,1998)[5]。該模型認為巨災債券的價格由巨災期望損失加上期望超額收益兩部分組成。第一、巨災期望損失E(L),即巨災損失強度的概率加權平均值E(L)=ΣipiLi;第二、期望超額收益 (Expected Excess Return,EER)用以衡量由于巨災的重尾性質所產生的風險溢價。這樣,巨災債券價格可表示為:

Lane(1999)[6]假設巨災損失發生概率,即第一美元損失概率為 PFL (Probability of First-dollar Loss),條件期望損失幅度CEL(Conditional Expected Loss)為E(L)/PFL,則期望超額收益 (EER)可以表示為PFL和CEL的函數,即EER=f(PFL,CEL)。

Lane(1998)認為可以用Cobb-Douglas生產函數來估算EER,則有:

上述風險承擔EER計算公式是Cobb-Douglas生產函數在巨災風險定價中的應用。如同生產函數刻畫了生產時對勞動力和資本之間的權衡關系一樣,該式也體現了投資者在巨災損失頻率和損失程度之間的權衡關系,即給定相等可能損失性,投資者將偏好更低的損失程度;另一方面,在損失程度相等的情況下,投資者將偏好更低的損失頻率。

值得注意的是,α,β,γ是需要根據市場數據來估計確定的三個參數。Lane(2000)[7]運用1999年發行的16只巨災債券的數據,經過回歸分析可得到上述參數的估計值α=49.46%,β=57.41%, γ=55%。一旦確定好這些參數,即可較容易地計算出巨災債券的價格。作為一個實證模型,LFC模型利用已發行的債券的相關經驗數據,預測未來進入市場的債券價格的參考范圍。但其缺點也是明顯的:第一、未能有效地反映債券二級市場實際價格的周期性變化;第二、也未能吸收巨災債券標的風險的季節性變化。

三、Wang轉換模型

Wang轉化模型基于通過觀測到的實際巨災債券的價格對原始巨災債券分布進行調整,以獲得更加準確的巨災風險分布函數 (Wang,1995)[8]。設S(x)=Pr{X>x}為理論巨災風險的生存函數,即巨災損失X超過x的發生概率,故整個巨災的期望損失為E[X]=(x)dx。巨災再保險一般采取將巨災風險分割成不同層次,x(a,a+h)表示風險層次為 (a,a+h]的巨災風險,相應的賠付函數為:

那么,對應于該巨災風險層次的期望損失可表達為:

當h較小時,巨災債券理論價格E[X(a,a+h]≌S(a) ×h近似成立。令實際觀測到的巨災債券價格為E＊[X],則S＊(a) ≌E＊[X]。由于實際價格中加入了風險溢價,即有

(a,a+h](a,a+h]S＊(a)>S(a),我們可以將實際債券價格看作是調整后生存函數的精算值。

令S＊(x)為變換后的巨災風險生存函數,即S＊(x) =g(S(x)),其中g(0) =0,g(1) =1。Wang(1995)提出的比例風險轉換 (proportional hazards transform,PH)具有如下形式,即S＊(x) = (S(x))1-λ,0≤λ≤1。

由于衡量風險厭惡水平的夏普比率能較好地模擬正態分布的巨災風險,Wang(2002)[9]將夏普比率測度從正態分布資產推廣到更加普遍的一種形式,即常用的比例風險轉換。經過Wang轉換后的巨災風險生存函數如下所示:

綜上所述,不難推導出Wang轉換模型下的巨災債券定價公式為:

Wang轉換模型的最大優點在于將風險溢價加入到期望損失中,并允許價格隨著市場特征,如個人風險厭惡水平ρ變化而改變,從而更好地反映實際巨災風險的概率分布。必須注意,Wang轉換模型假設風險的概率分布是已知確定的,而事實上人們總是通過有限的經驗數據估計概率分布,這樣總是存在參數不確定性問題。后來發展的Wang兩因素模型將對這一問題進行修正。

四、Christofides模型

Christofides模型基于Wang提出的比例風險轉換模型,通過兩次近似處理推導出更為簡潔高效的巨災債券理論價格。圖1代表了一個典型巨災債券的生存函數與附加個人風險厭惡水平的比例風險Wang轉換后的函數曲線。其中生存函數曲線S(x)下方面積為巨災債券的期望損失E(L),比例風險轉換曲線S＊(x)= (S(x)1/ρ,ρ≥1與生存函數曲線S(x)之間的面積差為巨災債券價格中的風險承擔,或者是期望超額收益EER。

圖1 生存函數曲線與考慮到風險厭惡水平后的Wang轉換曲線

首先,Christofides(2004)[10]把生存函數S(x)作了第一次近似處理,即用簡單的指數衰減函數來刻畫生存函數分布:S(x)=αe-βx,其中α,β為需要估算的參數。從生存函數中我們可以發現:(1)第一美元損失概率PFL為S(0)=αe-β×0=α;(2)本金耗盡概率是S(1)=αe-β;那么,沒有考慮風險厭惡水平ρ的期望損失E(L)可計算為:

根據第一美元損失概率PFL和期望損失E(L),我們可以對巨災風險的分布進行近似擬合估算。由于估算出來的指數生存函數可能與本金耗盡率不相吻合,因此可利用已發行的巨災債券的經驗數據估計出風險厭惡水平ρ,從而更好地模擬出巨災風險分布。在對上述α,β,ρ參數進行估算的基礎上,Christofides模型下巨災債券價格可表示為:

第二,在β較小時,Christofides對上式進行第二次近似處理可得:

此外,考慮到期望損失E(L)可表達為第一美元損失概率PFL和條件期望損失幅度CEL的乘積,則巨災債券的價格還可表述為:

Christofides模型的最大優點在于其對Wang轉換模型下計算表達式進行了數學技術上的簡化處理,使定價計算更為簡單高效,且不會對原有Wang轉換模型定價的精確性造成實質性損害。其不足之處在于與Wang轉換模型一樣,沒有考慮參數不確定性問題。

五、Wang兩因素模型

Wang轉換模型從概率變換上對巨災債券定價模型進行了調整,而Wang兩因素模型則是在Wang轉換模型的基礎上,對參數不確定性作了進一步改進 (Wang,2002)[11]。Wang轉換模型假設資產的收益服從標準正態分布,與現實中巨災風險的“重尾”特征不符。因此,Wang(2004)[12]用k自由度的學生t分布來替代標準正態分布以更好地描述未知參數的重尾特征。對參數不確定性進行調整后的分布密度函數如下:

Lane(2000)、Christofides(2004)和Wang(2004)分別對1999年的16只巨災債券的交易數據進行了實證研究。其分析思路大體一致,都是先獲取市場整體定價水平下的參數估計值,再代入原有數據得到模型價格。Wang(2004)利用Wang兩因素模型對上述數據進行研究確定出最優參數為λ=0.453,k=5,并發現LFC模型、Christofides模型和Wang兩因素模型與實際發行價格標準誤差平方分別約為0.41%、0.44%和0.22%。因此,Wang兩因素模型較LFC模型和Christofides模型都更加精確。

考慮上述參數的不確定性,并經Wang概率分布轉換后的兩因素模型的生存函數為:

其中Φ為標準正態分布函數,Ψ (.)為t分布,λ為價格市場風險或者夏普比率。

那么,對于風險層次為 [a,a+h]Wang兩因素模型下的巨災債券定價可表達為:

六、四種精算定價模型的比較分析

作為巨災債券四種常用定價模型,LFC模型、Wang轉換模型、Christofides模型和Wang兩因素模型,都沿用了傳統保險精算的定價思路,運用計量方法估算影響價格的重要因素來定價。不難看出,它們在發展上也具有一定的內在邏輯延續性,是一個不斷總結經驗和逐步加以改進的過程。表1對這四個模型的共同點和不同點進行了比較分析。

先看共同點:第一,四個模型都是基于傳統保險精算定價原理,將巨災債券價格分為巨災期望損失和風險附加兩部分,都基于Kreps模型所提出的標準差風險附加的保險精算定價方法。所不同的是,LFC模型直接計算風險溢價,而后三者通過概率變換直接實現了風險溢價向風險調整溢價的轉換,風險附加部分被隱藏在了計算公式之中。

第二,都不同程度地考慮了巨災分布的重尾特征,并試圖通過各自的風險度量指標進行描述。四個模型都認為傳統的風險度量指標夏普比率或標準差難以適應于非對稱的巨災保險風險,因此需要引入相應的、新的風險度量指標進行修正。

表1 四種精算定價模型的比較分析

再看不同點:第一,模型性質不同。LFC模型屬于實證模型,來自于對巨災債券市場的直接觀察與提煉,并沒有從理論的角度加以推導模型變量之間的函數關系。后面三個模型屬于理論模型,主要基于Wang對資本風險和保險風險統一定價的理論研究,以及Christofides關于系統性風險和非系統性風險的理論定價研究。

第二,風險度量指標不同。LFC模型用條件期望損失來度量偏斜分布的巨災風險;Wang轉換模型和Christofides模型則著重考察市場上的風險厭惡水平;Wang兩因素模型主要通過對參數不確定性和概率變化來刻畫巨災風險。

第三,風險細分層次價格可否計算。LFC模型無法計算巨災風險細分層次上的債券價格,后三者均可以計算,只是技術實現復雜程度有所不同。具體而言,Christofides模型較Wang轉換模型和Wang兩因素模型計算更為簡單,只需要考慮風險厭惡系數。

第四,精確程度不同。總體而言,Wang兩因素模型在精確程度上要優于Wang轉換模型; Wang轉換模型要優于Christofides模型;Christofides模型則優于LFC模型。

第五,存在缺陷不同。LFC模型的主要缺陷在于面臨著市場周期性變化和風險的季節性變化; Wang轉換模型中風險厭惡水平難以計算;Christofides模型缺乏對參數不確定性因素的考慮;Wang兩因素模型則面臨著各參數的估算和巨災概率分布變換在技術實現上更加復雜。

七、結 語

自漢諾威再保險1994年首次成功發行巨災債券以來,巨災債券發展迅速,現已成為巨災保險市場上最為活躍,接受程度最高的巨災保險連接證券,并對傳統的再保險進行了有力補充。巨災債券的迅速發展離不開其定價模型的不斷改進。在傳統再保險的Kreps期望-方差定價理論基礎上,巨災債券的定價模型發展出四個常用精算定價模型:LFC模型、Wang轉換模型、Christofides模型和Wang兩因素模型。

通過對上述四個主要精算定價模型的回顧與分析,本文發現,巨災債券定價模型的發展實質上是在傳統債券定價理論的基礎上,不斷引入自然風險特征以及市場特征的一個逐步完善過程。雖然其定價模型尚存在一定的缺陷,但日趨成熟的巨災債券市場也間接說明了巨災債券精算定價模型的合理性。如何進一步合理描述巨災風險的特性、參數的不確定性以及市場不完全等特征將是未來巨災債券定價模型發展的主要方向。

[1]田玲,向飛.基于風險定價框架的巨災債券定價模型比較研究[J].武漢大學學報,2006,(2).

[3]田玲,張岳.巨災風險債券定價研究的進展評述[J].武漢大學學報,2008,(5).

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[7]Lane,M..Pricing Risk Transfer Transactions[J],ASTIN Bulletin,Vol.30,pp.259-293,2000.

[8]Wang,Shuan.Insurance Pricing and Increased Limits Ratemaking by Proportional Hazards Transforms[J],InsuranceMathematics&Economics, Vol.17,Issue 1,pp.43-54,1995.

[9]Wang,Shuan.A Classof Distortion Operators for Pricing Financial and Insurance Risks[J],Journalof Risk and Insurace,Vol.67,No.1,15 -36,2000.

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[11]Wang,Shaun.Pricing of Catastrophe Bonds[M],Alternative Risk Strategies,Risk Press,2002.

[12]Wang,Shuan.Cat Bond Pricing Using Probability Transforms[C],Special Issue Insurance and the State of the Art in Cat Bond Pricing, Geneva,2004(January).