隨機電磁光束經菲涅耳波帶片衍射后的傳輸特性

舒建華，陳子陽，蒲繼雄，孫希

（1.華僑大學 信息科學與工程學院，福建 泉州 362021；2.江西警察學院 基礎部，江西 南昌 330000）

隨機電磁光束經菲涅耳波帶片衍射后的傳輸特性

舒建華1，陳子陽1，蒲繼雄1，孫希2

（1.華僑大學 信息科學與工程學院，福建 泉州 362021；2.江西警察學院 基礎部，江西 南昌 330000）

基于相干偏振統一理論，以電磁高斯－謝爾模型光束為例，研究隨機電磁光束經菲涅耳波帶片衍射后的傳輸特性，以及入射光的相干長度、偏振度和菲涅耳波帶片的最大半徑數對光強和偏振度的影響.研究表明：光束的相干特性及菲涅耳波帶片的最大半徑數對聚焦光強會產生影響；偏振度極值的位置在焦點及次焦點附近，并且偏振度極值的位置隨波帶片最大半徑數的變化而變化.

菲涅爾波帶片；偏振；隨機電磁光束；衍射；聚焦光強

自2003年美國著名光學專家Wolf提出交叉偏振統一理論［1］以來，隨機電磁光束在傳輸過程中的光強、相干度及偏振度變化一直是研究的熱點.例如，Korotkova等［2］研究了隨機電磁光束在大氣中傳輸的偏振度變化，發現當傳輸距離達到一定程度后，傳輸場中的偏振度將回復到源平面的偏振度大小，并保持不變.趙道木等［3］的研究結果表明，當滿足一定條件時，完全偏振和完全非偏振的渦旋光束在傳輸過程中偏振度將保持不變.季小玲等［4］研究了多色部分相干電磁光束在大氣湍流中傳輸時的偏振度變化，發現同單色光一樣，多色的電磁光束經過長距離傳輸之后，偏振度也將最終回復到源平面的初始值.蔡陽健等［5］研究了扭曲的位相對各項同性和各項異性的電磁高斯－謝爾模型光束經像散ABCD光學系統后光束特性的影響.菲涅耳波帶片是一種光束整形和聚焦的光學元件，在X射線成像、紫外成像及原子成像與聚焦等領域都有著重要的應用，因此也成為近20年的研究熱點之一［6-9］.對平面波經過方形的螺旋位相型菲涅耳波帶片聚焦的研究表明，通過一定的調制可以獲得軸上強度為零的光強分布；對平面波經過整數階和分數階位相型分布的菲涅耳波帶片的聚焦特性的研究表明，通過調節波帶片的數目和拓撲荷數可以獲得并控制空心光束 .這些研究在粒子的囚禁和操控中得到了應用［10-11］.此外，多色光經過菲涅耳波帶片聚焦后，在相位奇點處出現相應的光譜變化［12］.本文以電磁高斯－謝爾模型光束為例，研究隨機電磁光束經過菲涅耳波帶片之后的光束特性.

1 理論分析

菲涅耳波帶片是由一系列透光和不透光圓環組成的特殊光柵，圓環的半徑滿足

式（1）中：M為菲涅耳波帶片的最大半徑數；rM為菲涅耳波帶片的最大半徑.當M為奇數時，波帶片的中心部分是一圓孔，完全透光；當M為偶數時，波帶片的中心部分是一圓屏，完全不透光 .光束通過菲涅爾波帶片的衍射示意圖，如圖1所示.

一束沿z方向的電磁波，在菲涅耳波帶片所在的平面（z＝0）的交叉譜密度矩陣［1］可表示為

以高斯－謝爾模型光束為例，研究隨機電磁光束經菲涅耳波帶片的衍射特性，簡單起見，假設其交叉項為零，因此各矩陣元可表示為

為了書寫方便，將式（2）合寫成一個方程，即

式（4）中：ρ′1和ρ′2是z＝0平面內的位置矢量，均與z軸垂直；s（ω）表示原點處的譜密度；參數B，σ，δx，x和δy，y均與位置無關，但可能與頻率ω有關.

電磁波束的偏振度由一般的文獻［1］的公式給出，即

將式（2），（3）代入式（5）后，可得到在菲涅耳波帶片處的電磁波束的偏振度，即

高斯－謝爾模型光束在觀察平面z內（ρ1，ρ2）兩點的交叉譜密度矩陣元［13］為

圖1 光束通過菲涅爾波帶片的衍射示意圖Fig.1 Scheme of the light diffracted by Fresnel zone plates

將式（4）代入式（7），可得到

根據文獻［14］，有

雙圓環菲涅耳波帶片（M＝4）的積分區間在［r1，r2］和［r3，r4］，可得到z平面內兩點（ρ1，ρ2）的交叉譜密度矩陣元的解析表達式為

令ρ1＝ρ2＝ρ，φ1＝φ2＝φ，可得到高斯－謝爾模型光束通過雙圓環菲涅耳波帶片后，其交叉譜密度的各矩陣元為

高斯－謝爾模型光束通過雙圓環菲涅耳波帶片后，其在點（ρ，φ，z）的光強和偏振度［1］分別為

2 數值模擬

基于式（15），（16），對高斯－謝爾模型光束經過菲涅耳波帶片后的光強和偏振度進行數值模擬.不同相干長度的部分相干高斯－謝爾模型光束經菲涅耳波帶之后，其光強分布情況如圖2所示.圖2中：λ＝632.8nm，σ＝1mm，r1＝0.67mm，P0＝0，M＝6.

圖2 相干長度對光強分布的影響Fig.2 Influence of the correlation length on the distribution of light intensity

隨機電磁光束經不同最大半徑數（M）的菲涅耳波帶片衍射后，其光強分布情況如圖3所示.圖3中：δx，x＝δy，y＝1mm，其他參量與圖2相同.從圖3可以看出：隨著最大半徑數的增加，焦點處的軸上光強分布更加集中，所獲得聚焦焦斑將變小.

以6個環的菲涅耳波帶片為例，研究相干長度對軸上點偏振度的影響，如圖4所示.圖4中：δx，x＝1 mm；P0＝0.5；其他參量與圖2相同；所取的源平面偏振度為0.5（B＝1／3），即y方向的光強為x方向的1／3.從圖4可以發現：當δx，x＝δy，y時，即兩個方向的相干特性相同時，衍射場中軸上點的偏振度將保持和入射光的偏振度相同；當δx，x＞δy，y時，在焦點處和1／3焦點處附近的偏振度數值最大；而當δx，x＜δy，y時，在焦點處和1／3焦點處附近的偏振度數值最小.

究其原因，當δx，x＝δy，y時，x方向和y方向的聚焦特性相同，所以偏振度和入射光偏振度相同；當δx，x＞δy，y時，從圖2中的結論可知，相比于入射光x方向光強與y方向光強的比值，聚焦點x方向的聚焦光強與y方向光強比值將更大，因而偏振度較大；而當δx，x＜δy，y時，相比于入射光x方向光強與y方向光強的比值，聚焦點x方向的聚焦光強與y方向光強比值將減小，使得焦點處的偏振度變小.

圖3 菲涅耳波帶片的最大半徑數對聚焦衍射光強的影響Fig.3 Influence of the max radius number of zone plates on the distribution of focusing light intensity

入射光偏振度對衍射場軸上點偏振度的影響，如圖5所示.圖5中：δx，x＝1mm，δy，y＝0.5mm，其他參量與圖2相同.從圖5可以看出：當入射光的偏振度越大，則衍射后軸上點的偏振度也越大.當入射光的偏振度為1時，軸上點的偏振度也始終為1.這是因為入射光偏振度為1時，B的取值為0，即入射光僅僅只有x方向的分量，沒有y方向的分量 .因此，在傳輸過程中始終只有x方向分量的光強，從而偏振度為1.

以最大半徑數（M）為4，8，12的菲涅耳波帶片為例，研究菲涅耳波帶片的最大半徑數對軸上點偏振度的影響，如圖6所示.圖6中：δx，x＝1mm，δy，y＝0.5mm，其他參量與圖2相同.從圖6可知：對于所選取的參量，當菲涅耳波帶片的最大半徑數比較少時，軸上點的偏振度的極大值和極小值也較小；隨著波帶數的增加，軸上點偏振度的極大值和極小值將變大.此外，隨著最大半徑數的增加，焦點附近的偏振度極大值的位置越靠近焦點.

圖4 相干特性對軸上點偏振度的影響.Fig.4 Influence of the coherence on the degree of polarization for on－axial points

圖5 入射光偏振度對軸上點偏振度的影響Fig.5 Influence of the degree of polarization of the incident light on the degree of polarization for on－axial points

圖6 菲涅耳波帶片的最大半徑數對軸上點偏振度的影響Fig.6 Influence of the max radius number of Fresnel zone plates on the degree of polarization for on－axial points

3 結論

以電磁高斯－謝爾模型光束為例，基于交叉偏振統一理論和交叉譜密度傳輸公式，研究隨機電磁光束經過菲涅耳波帶片后在衍射場中的光強及偏振度分布，得到如下4點結論.

（1）光強和偏振度分布隨著入射光的相干度、偏振度，以及波帶片的最大半徑數的變化而變化.

（2）光束經菲涅耳波帶片后，在衍射場中的焦點處和1／3焦點處將出現聚焦光斑.

（3）入射光的相干度越高、菲涅耳波帶片的最大半徑數越多，所獲得的聚焦光斑越小.

（4）偏振度的極值將出現在焦點處附近，極值的大小與入射光的偏振度和相干度有關，極值的位置和菲涅耳波帶片的最大半徑數有關.隨著最大半徑數的增加，極值的位置更加靠近焦點.

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［13］MANDEL L，WOLF E.Optical coherence and quantum optics［M］.New York：Cambridge University Press，1995.

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Transmission Properties of Stochastic Electromagnetic Beams Diffracted by Fresnel Zone Plates

SHU Jian－hua1，CHEN Zi－yang1，PU Ji－xiong1，SUN Xi2
（1.College of Information Science and Engineering，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China；2.Basic Course Department，Jiangxi Public Security College，Nanchang 330000，China）

Based on the unified theory of coherence and polarization，Electromagnetic Gaussian Schell－model beam was taken as an example to study the transmission properties of random electromagnetic beams diffracted by Fresnel zone plates，the influence of correlation length，the degree of polarization of incident light，and the max radius number of zone plates on the light intensity and the degree of polarization.It is shown that the coherent property and the max radius number of zone plates will influence the focusing intensity，that the position of extremum of degree of polarization is near by the focus and the second focus，and it varies with the change of the max radius number of zone plates.

Fresnel zone plates；polarization；stochastic electromagnetic beams；diffraction；focusing intensity

錢筠 英文審校：吳逢鐵 ）

O 436.1

A

1000－5013（2011）06－0618－05

2010－10－06

舒建華（1955－），男，副教授，主要從事光的傳輸和量子光學的研究.E－mail：sjh＠hqu.edu.cn.

國家自然科學資金資助項目（60977068）；中國科學院西安光學精密機械研究所瞬態光學與光子技術國家重點實驗室開放基金資助項目（SKLST200912）；國務院僑辦科研基金資助項目（10QZR01）