二階矩隨機(jī)Hilbert邊值問題

姚村，林峰

（華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021）

二階矩隨機(jī)Hilbert邊值問題

姚村，林峰

（華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021）

通過對稱擴(kuò)張的方法，把二階矩隨機(jī)Hilbert邊值問題轉(zhuǎn)化為二階矩隨機(jī)Riemann邊值問題，最終求解二階矩隨機(jī)Hilbert邊值問題.

邊值問題；Hilbert問題；Riemann問題；二階矩；對稱擴(kuò)張；隨機(jī)過程

設(shè)L是一簡單光滑閉曲線，以反時針方向為正，它把復(fù)平面C分成內(nèi)部區(qū)域S＋和外部區(qū)域S－，（Ω，F(xiàn)，P）是概率空間.文獻(xiàn)［1］討論了隨機(jī)奇異積分的存在性，并且得到了隨機(jī)Cauchy型積分的Plemelj公式；文獻(xiàn)［2］討論了隨機(jī)Riemann邊值問題的解.本文通過對稱擴(kuò)張的方法［3］，求解隨機(jī)Hilbert邊值問題.

1 預(yù)備知識

隨機(jī) Hilbert邊值問題是指，求在S＋內(nèi)均方解析的復(fù)隨機(jī)過程Φ＋（ω，z）＝u（ω，z）＋i v（ω，z），均方連續(xù)到S＋＋L上，滿足邊值條件）

式（1）中：a（ζ），b（ζ）都是已給在L上∈H 的實函數(shù)；c（ω，ζ）是（Ω，F(xiàn)，P）上的一個實值隨機(jī)過程，它依賴于參數(shù)ζ∈L，假定它是一個二階矩過程，并且滿足

式（1）也可改寫為

由于經(jīng)過保形映射，可以把S＋變?yōu)閱挝粓A內(nèi)部，而L變?yōu)槠鋱A周，且仍以反時針方向為正向.這樣，只考慮問題（1）在L為單位圓時的解，以下總假設(shè)S＋就是單位圓域｜z｜＜1，L是單位圓周｜ζ｜＝1.

2 隨機(jī)函數(shù)在圓外的擴(kuò)張

為了求解圓內(nèi)隨機(jī)Hilbert問題，應(yīng)設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為隨機(jī)Riemann問題 .把單位圓域S＋中的隨機(jī)函數(shù)Φ（ω，z）按如下定義給出其在外域S－中的對稱擴(kuò)張或?qū)ΨQ函數(shù)，有

定理1 若Φ（ω，z）在S＋內(nèi)均方解析，則Φ＊（ω，z）在S－內(nèi)均方解析.

證明 因Φ（ω，z）在S＋內(nèi)均方解析，則存在隨機(jī)過程η（ω，z），使得

由 Loeve準(zhǔn)則［4］可知

又有

由 Loeve準(zhǔn)則［4］可知

即知Φ＊（ω，z）在S－內(nèi)均方解析.

如果Φ（ω，z）能從S＋內(nèi)均方連續(xù)延拓到單位圓周L∶｜ζ｜＝1上，則Φ＊（ω，z）也能從S－內(nèi)均方連續(xù)延拓到L上，且因為，故有

從而，若Φ（ω，z）在S＋內(nèi)均方解析，均方連續(xù)于S＋＋L上，則有

這就是一分區(qū)均方解析函數(shù)，以L為跳躍曲線，它在L上的邊值滿足條件為

3 隨機(jī)Hilbert邊值問題的轉(zhuǎn)化

假定a2＋b2≠0在L上.利用上段方法，把所求函數(shù)Φ＋（ω，z）＝Φ（ω，z）對稱擴(kuò)張到S－中，可得分區(qū)均方解析函數(shù)Ω（ω，z）（式（5）），則可把式（1）改寫為（a（ζ）＋i b（ζ））Ω＋（ω，ζ）＋ （a （ζ）－i b（ζ））Ω－（ω，ζ）＝2c（ω，ζ）， ζ∈L. （7）

又因為a（ζ），b（ζ）∈H，因此可得

再由Rc（ζ，ζ′）∈H（L×L），可知

由此，問題（1）可轉(zhuǎn)化為隨機(jī)Riemann問題，即

滿足條件式（6）的隨機(jī)Riemann問題（8）的解，就是問題（1）的解.所以只需求出隨機(jī)Riemann問題（8）的解Ω（ω，z），作出Ω＊（ω，z），再求出

便是原問題（1）的解Φ（ω，z）＝Ω0（ω，z），z∈S＋.

4 隨機(jī)Hilbert邊值問題的求解

設(shè)X（z）為G（ζ）的典則函數(shù)，問題（8）的指數(shù)為κ＝IndLG（ζ），是一偶數(shù).

下面，對隨機(jī)Hilbert邊值問題進(jìn)行求解.

（i）當(dāng)κ≥0時，由文獻(xiàn)［2］可知，隨機(jī)Riemann問題（8）的解為

又因為

則可知，Ω（ω，z）在∞處以概率1有0階極點（即m＝0）.從而可得

又因為

由此可得，隨機(jī)Hilbert問題（1）的一般解為

（ii）當(dāng)κ＜0時，由文獻(xiàn)［2］可知，當(dāng)且僅當(dāng)滿足條件

時，隨機(jī)Riemann問題（8）有惟一解，所以可得

此時Pκ（ω，z）≡0，隨機(jī) Hilbert問題（1）有惟一解，即

于是可得如下定理.

定理2 當(dāng)κ≥0時，隨機(jī)Hilbert問題（1）有一般解，即式（11）；而當(dāng)κ＜0時，當(dāng)且僅當(dāng)滿足條件（12）時，問題（1）有唯一解，即式（13）.

［1］WANG Chuan－rong.Random singular integral of random process with second order moment［J］.Acta Mathematical Scientia，2005，25B（2）：376－384.

［2］WANG Chuan－rong.Random singular integral and its application［M］.New Jersey：World Scientific Publishing Company，2000：191－197.

［3］林峰.Beurling－Ahlfors擴(kuò)張的伸張函數(shù)的邊界極限［J］.華僑大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2004，25（4）：352－355.

［4］武寶亭，李慶生，楊躍武.隨機(jī)過程與隨機(jī)微分方程［M］.北京：電子科技出版社，1994.

［5］路見可.解析函數(shù)邊值問題［M］.2版.武漢：武漢大學(xué)出版社，2004.

Random Hilbert Boundary Value Problem with Second Order Moment

YAO Cun，LIN Feng
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

In order to solve the random Hilbert boundary value problem of random process with second order moment，we convert it into randon Riemann boundary value problem by the method of symetrical expansion，and get its solution.

boundary value problem；Hilbert problem；Riemann problem；second order moment；symetrical expansion；random process

陳志賢 英文審校：張金順，黃心中）

O 175.8

A

1000－5013（2011）06－0714－04

2010－07－12

林峰（1962－），男，副教授，主要從事函數(shù)論的研究.E－mail：lfeng＠hqu.edu.cn.

福建省自然科學(xué)基金資助項目（2007J0183）