潛堤上破碎波浪傳播變形的數值模型及其驗證

劉忠波，于德海，孫昭晨

（1.大連海事大學 交通運輸裝備與海洋工程學院, 遼寧 大連116026; 2.大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室, 遼寧 大連116024）

潛堤上破碎波浪傳播變形的數值模型及其驗證

劉忠波1,2，于德海1，孫昭晨2

（1.大連海事大學 交通運輸裝備與海洋工程學院, 遼寧 大連116026; 2.大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室, 遼寧 大連116024）

為模擬潛堤上破碎波浪傳播時產生能量的耗散這一特性，在改進的具有四階色散的Boussinesq水波方程中引入二階紊動粘性項，建立了考慮波浪破碎的水波數學模型。在非交錯網格下建立了有限差分數值模型，并利用三階Adams-Bashforth格式預報、四階Adams-Mouton格式校正對數值模型進行求解。通過數值試驗，模擬了不同坡度的潛堤上破碎波浪傳播變形，并將數值計算波面時間歷程與實驗結果進行了比較，二者基本吻合，這說明在四階Boussinesq水波模型中引入二階粘性項來考慮波浪破碎引起能量耗散的做法是有效的。

Boussinesq方程；破碎波；紊動粘性

波浪向近岸傳播中，波浪經歷淺水、折射、繞射、反射等復雜的現象，當波高與水深達到一定比例時，波浪產生破碎。為模擬這一復雜的破碎現象，近年來許多學者對此進行了研究，這些研究中常用到的模型有Navier-Stokes方程數值模型、引入考慮能量耗散的Boussinesq方程數值模型和緩坡方程數值模型等[1-5]。盡管Navier-Stokes方程在解釋波浪破碎這一過程中非常精確，但因其求解速度慢，很難應用到實際工程中去，而Boussinesq方程、緩坡方程由于計算速度較快，在實際工程中得到了廣泛的應用。波浪在通過人工潛堤頂部時，由于水深變小，波高增大，波浪可能會產生破碎，破碎后波高會有所減少，因此通常利用潛堤上波浪破碎這一消浪特性從而達到諸如保護海岸、保證港口船舶泊穩條件等目的。緩坡方程能給出較為準確的統計性均方波高、增水減水等，潛堤上的波浪往往帶有較強的非線性，對于某一具體位置點，此類方程很難給出精確的波浪時間歷程。Boussinesq方程，尤其是含高階非線性和高精度色散性的Boussinesq方程，能很好的模擬波浪破碎前的強非線性這一現象，而引入破碎項后的Boussinesq方程，對模擬波浪破碎后在潛堤后的空間點的時間歷程又將如何，這是一個需要考慮的問題。為更好地模擬更大適用水深下波浪傳播變形問題，劉忠波等拓展了適合復雜地形的Boussinesq水波方程[6]，并通過潛堤上波浪不破碎的實驗驗證了其數值模型。由于缺少破碎項，該方程數值模型不能用于模擬波浪破碎現象。當引入能考慮波浪破碎引起的能量耗散項時，這一模型模擬的效果如何，是本文研究的重點。

1 考慮波浪破碎的Boussinesq數值模型

劉忠波等推導了加強的適合復雜地形的Boussinesq方程[6]，當引入考慮波浪破碎的紊動粘性項后，方程的一維數學模型可寫為：

其中f(x,t)、fsponge分別為內部造波源項和邊界消波項，本文直接引用文獻[6]的結果。fbreak，fbottom分別為紊動粘性項和底摩擦項。本文則采用Kennedy等的研究成果[3]，該紊動粘性項的表達式如下：

在本文的數值算例針對潛堤上波浪破碎進行的，所給的參數將不同于Kennedy等給出的系數，這些系數將在數值研究中給出。針對(1)和(2)中導數差分格式及求解過程同文獻[6]。

2 算 例

2.1 實驗介紹

文獻[7]中的物理模型實驗在大連理工大學海岸和近海工程國家重點實驗室的波浪水槽中進行。水槽長23 m、寬0.8 m、高0.8 m，水槽中設置一個梯形潛堤，實驗中地形布置的情況見圖1。最大水深為0.4 m（最小水深為0.1 m），波浪要素見表1，按1:25比例換算，相當于實際水深10 m，波高為1 m，波浪周期為8 s, 9 s和10.1 s。

表 1 實驗波浪要素Tab.1 Wave parameters in experiment

2.2 數值結果對比與分析

在計算中本文數值研究的對象是潛堤上波浪的破碎和傳播，波浪破碎僅局限于潛堤頂部局部區域，這與海岸斜坡上波浪連續破碎不同。當采用較大的啟動系數時，在x=9.5 m處（含該點）后的波浪模擬效果相對較大，波浪破碎少，與實驗結果吻合較差，由于篇幅限制，本文就不對此問題進行過多闡述；同時，盡管波浪在x=8.5 m處發現浪花，但微碎后的波高幅度并不減少，在模擬中采用此點以前不啟動波浪破碎。最終對破碎項中出現的系數取為：中的系數取0.25~0.35，其中模擬周期為1.6 s的波況時，采用0.35，而模擬周期為1.8 s和 2.02 s時，采用0.25，中的系數為0.15，破碎系數δ為1.6，針對以上實驗進行了數值計算，數值結果和實驗結果的對比見圖2－圖7。

圖 1 實驗布置圖Fig.1 Experimental set-up

由圖2－圖7綜合來看，數值模擬結果與實驗結果基本吻合。下面就這些圖中數值結果與實驗結果對比情況做一下具體分析。在x=2.0 m、3.0 m、4.7 m和7.25 m處，波浪不破碎，數值結果與實驗結果相位吻合較好，但幅值略存在一些差異。前者說明本文采用的Boussinesq方程在這些情況下適用，后者存在差別的主要原因是數值模擬中采用了內部造波法，而實驗是采用了邊界造波。波浪在爬到潛堤頂上后，在實驗中x=8.5 m觀察到在潛堤前部開始出現水花現象，但是即便在此點以前不考慮波浪時模擬的結果與實驗結果在幅值上存在差異，這可能是由于波浪破碎時產生的水花對浪高儀記錄的數據產生影響造成的。在x=9.5 m處以后，無論是從幅值還是從相位上來看，數值模擬結果和實驗結果存在差異，不僅幅值存在差異，相位也存在差異，其在周期為2.02 s的兩組計算中尤為明顯，詳細可見圖4和圖7中在x=13.5 m處的對比情況上。幅值上的差異主要反映出本文所采用的模型本身引入紊動粘性來考慮波浪破碎這一本質特性的限制，而波浪存在的相位差異變化可能是：除了模型破碎這一特性限制引起的，由于破碎時波浪非線性強，潛堤頂部的波高較大，這引起Boussinesq方程的色散關系發生頻散現象，而且當波浪穿過潛堤由淺水到深水傳播時，各次諧波又以自由波傳播，因此波形上出現了以上的差異。

圖 2 數值與實驗的波面時間歷程圖對比（右坡坡度1:2，周期1.6s）Fig.2 Comparisons of computed surface elevation and experimental data

圖 3 數值與實驗的波面時間歷程圖對比（右坡坡度1:2，周期1.8s） Fig.3 Comparisons of computed surface elevation and experimental data

圖 4 數值與實驗的波面時間歷程圖對比（右坡坡度1:2，周期2.02sFig.4 Comparisons of computed surface elevation and experimental data

圖 5 數值與實驗的波面時間歷程圖對比（右坡坡度1：5，周期1.6s） Fig.5 Comparisons of computed surface elevation and experimental data

圖 6 數值與實驗的波面時間歷程圖對比（右坡坡度1:5，周期1.8sFig.6 Comparisons of computed surface elevation and experimental data

圖 7 數值與實驗的波面時間歷程圖對比（右坡坡度1:5，周期2.02s）Fig.7 Comparisons of computed surface elevation and experimental data

3 結 論

本文基于加強的適合復雜地形方程，引入了紊動粘性項來考慮波浪破碎，建立了一維波浪破碎數值模型，研究了破碎波浪在潛堤上傳播變形這一過程。通過本文研究得出如下結論：

（1）數值結果與實驗結果基本吻合，這說明引入了紊動粘性項來考慮波浪破碎的方法不僅在二階Boussinesq方程數值模型中適用，在本文所采用的四階色散Boussinesq模型中同樣也適用。

（2）利用本文模型模擬潛堤上波浪破碎時，所采用紊動粘性項中的啟動系數比Kennedy等在計算平緩斜坡時采用的系數要小，本文模型在計算潛堤上破碎波時采用的前系數為0.25～0.35，破碎系數為1.6。

（3）實驗中波浪水槽長23 m，邊界反射波和造波板的二次反射效應對采集的實驗數據會產生一定的影響，為進一步給出定量的對比與分析，在更長的水槽中進行有關波浪破碎的實驗仍待進一步深入研究。

[1]Lin P, Liu P L F.A numerical study of breaking waves in the surf zone [J].J Fluid Mech, 1998, 359: 239-264.

[2]Schaffer H A, Madsen P A, Deiggard R A.A Boussinesq model for waves breaking in shallow water [J].Coastal Eng, 1993, 20: 185-202.

[3]Kennedy A B, Qin C, Kirby J T, et al.Boussinesq Modeling of Wave Transformation, Breaking, and Runup.I:1D [J].J Wtrw Port Costal and Oc Eng, 2000, 126(1): 39-47.

[4]李紹武, 李春穎, 谷漢斌, 等.一種改進的近岸波浪破碎數值模型 [J].水科學進展, 2005,16(1): 36-41.

[5]Svendsen I A, Yu K, Veeramony J.A Boussinesq breaking wave model with vorticity.Proceedings of the 25th International Conference on Coastal Engineering [C].New York: ASCE, 1996: 1192-1204.

[6]劉忠波, 鄒志利, 孫昭晨.加強的適合復雜地形的水波方程及其一維數值模型驗證 [J].海洋學報, 2008, 30(3): 117-125.

[7]張曉莉.應用高階Boussinesq方程模擬復雜地形上波浪傳播與變形 [D].大連: 大連理工大學, 2001.

Numerical model of breaking waves propagating over a submerged breakwater and its laboratory validation

LIU Zhong-bo1,2, YU De-hai1, SUN Zhao-chen2

(1.Transportation Equipment and Ocean Engineering College, Dalian Maritime University, Liaoning 116026, China; 2.State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering, Dalian University of Technology, Liaoning 116024, China)

To model the breaking waves propagating over a submerged breakwater and consider the energy dissipation by breaking property, the mathematical model for breaking waves was given by adding the second order eddy viscosity terms to the fourth order dispersive Boussinesq equations.Numerical model was established with finite differential method in non-staggered grid, and the model was solved with the third-order Adams-Bashforth predictor and the fourth-order Adams-Moulton Corrector in time marching.Numerical simulations were carried upon breaking wave evolution over a submerged breakwater with different back slopes.The computed surface elevations varying with time history in different locations were compared to experimental data, and the agreement was reasonably satisfactory, and this demonstrated that the present method to consider energy dissipation in Boussinesq wave model was effective.

Boussinesq eqautions; breaking waves; eddy viscosity

P731.22

A

1001-6932(2011)06-0633-04

2010-08-09；

2011-03-22

中國自然科學基金 (40902075)。

劉忠波 ( 1976－ )，男，博士，主要從事水波理論及數值模擬研究。電子郵箱：zhongbo_liu1976@163.com。