探索 — 反思 — 再探索

　　一、引言
　　近幾年的江蘇卷，解析幾何除了考查相應的知識點以外，更重要的是考查學生的計算能力。學生對很多問題有思路，但是真正到計算的時候往往又錯誤百出。為此，我專門挑選了2011年江蘇卷中的解析幾何題目作為例題來強化學生的計算，并促成學生養成解后反思的習慣。
　　二、課堂實錄
　　師：今天這節課，我們來看看在解析幾何中如何算，能否少算甚至不算。
　　（投影出例題）（2011年江蘇卷第18題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，M、N分別是橢圓+=1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P，A兩點，其中點P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B．設直線PA的斜率為k．對任意k>0，求證：PA⊥PB．
　　師：這是這道題目的第三問，也是區分度非常高的一問，我們一起討論一下如何解決？
　　（學生互相討論，有的已經開始動筆算）
　　生1：直接根據題意，求出PB的斜率。
　　師：求PB的斜率還缺那些條件？
　　生1：P點坐標、B點坐標。
　　師：如何求上述點的坐標。
　　生1：直線AP的方程和橢圓的方程聯列，可以得到A、P兩點的坐標，以及C點的坐標。
　　師：那B點坐標呢？
　　生1：直線AB的方程與橢圓的方程聯列，可以得到B點坐標。
　　師：很好，請大家按照生1的思路來算算看。
　　（時間在一分一秒地過去，但是學生的解答始終不盡如人意）
　　師：生1，你算得怎樣了？
　　生1：沒有，太煩了，而且都是字母運算。
　　師：不能因為煩就放棄了，我們大家一起來試試看。
　　師：聯列直線AP的方程和橢圓的方程可以得到P點坐標，多少？
　　生眾：P（，），A（-，-）
　　師：直線AC的方程是y=（x-）（在黑板上邊算邊講），把它和橢圓的方程聯列，得到一元二次方程（2+k）x-x-=0（*），注意這個方程的一個根就是點A的橫坐標-，所以不用直接解方程，利用未達定理可以得到B點的橫坐標是，縱坐標是，所以k====-，所以PA⊥PB。
　　生眾：哇噻，老師你太厲害了！
　　師：生1，你剛才計算到哪一步被卡住了？
　　生1：把直線AC的方程與橢圓的方程聯列，后面感覺太繁了，沒有敢接著往下算。
　　師：的確，這里聯列得到的是二元二次方程組，次數高，未知量多，如果不是后來發現了“方程的一個根就是點A的橫坐標”這個隱含條件的話，后面根本無法算下去，那么這種思路也只能停留在理論上了。
　　師：能否有計算稍微簡便的方法？
　　生2：我有一個和生1相反的思路，這里我也求點B坐標，但是我不用直線AC的方程與橢圓的方程聯列，而是把直線AC的方程和直線PB的方程聯列，這樣得到的是二元一次方程組，次數低一點。
　　師：直線PB的方程沒有呀？
　　生2：假設PA⊥PB，把直線AC的方程和直線PB的方程聯列得到點B坐標，然后證明點B在橢圓上，行不？
　　師：這種方法行嗎？
　　（大家互相討論，一會兒，生3舉起了手）
　　生3：應該可以的，好像是初中的“同一法”。
　　師：說得具體點。
　　生3：假設PA⊥PB，把直線AC的方程和直線PB的方程聯列得到點B坐標，再證明點B在橢圓上，這樣點B′與點B重合，由此得到PA⊥PB。
　　師：嗯，思路不錯，不知道能否算出來，請大家試試看。
　　生眾：啊……
　　（過了近十分鐘，我請全班數學計算最好的生4來敘述解答過程）
　　生4：l∶y=（x-），l∶y-=-（x-），聯列得到B′（，）；把點B′的坐標代入橢圓的方程有［］+2［］=4，所以點B在橢圓上，點B′與點B重合，所以PA⊥PB。
　　師：雖然改變了方法，簡化了運算，但是由于字母的存在，還需要大家具備必要的計算能力。
　　師：下面我們來欣賞一種運算更為簡單的方法。由于要證明PA⊥PB，所以我們主要看斜率之間的關系，設P（x，y），B（x，y），則A（-x，-y），C（x，0）設直線PB，AB的斜率分別為k，k，由第一種方法我們知道k=，所以kk=2kk=2··===-1，即PA⊥PB。
　　（學生一片驚訝之聲）
　　師：這個方法計算量很小，這里面我們雖然設了兩個點的坐標，共四個未知量，但是最終都沒有求，直接通過運算，以及坐標之間的關系得到了PA⊥PB，這種方法稱為“設而不求”，這是解題的最高境界。
　　師：以上我們通過三種方法解決這個問題，前兩個是大家想出來的，后一個是我給出的。從思路簡單的角度來看，第一種方法最好想；從運算的簡單程度來看，無疑第三種方法是最好的。我想大家都希望在高考的考場上一下子就想到第三種方法，對吧？
　　生眾：是的。
　　師：這就要求我們在平時解題的過程中要多反思，通過不斷探索—反思—探索—反思這樣的循環反復，你的解題能力才能得到提高。
　　師：本題中由于k=，所以我們可以得到k·k=-，對照這個題目的條件和結論，我通過猜想，得到這個命題：若M，N是橢圓E：+=1（a>b>0）上關于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為k，k時，那么k與k之積是與點P位置無關的定值，定值是-。這個命題是否正確，留給大家課后證明；同時請大家再反思一下，雙曲線是否也有類似的命題，是否正確？
　　三、教學反思
　　在平時教學中，教師不能僅僅滿足于學生會解題就可以了，更要讓他們逐步養成良好的思考習慣。探索、反思、猜想、推理等都是學生在平時解題中常用的方法，只有養成良好的思考習慣才能使學生的能力不斷提高，從而在面對新的問題時不至于手足無措。