談談利用輔助線解題

　　摘 要： 數形結合思想是中學數學中一種重要的思想方法，而在圖形中添加輔助線，是我們經常運用的方法。由此可見，作輔助線成了我們解題的重要步驟。作正確的輔助線能使解題更為簡易，它的應用也十分廣泛，不少問題可通過此方法化難為易，化繁為簡，從而迎刃而解，特別在證明題中表現得尤其明顯。
　　關鍵詞： 輔助線 證明題 添加方法
　　
　　正確迅速地作出輔助線不但能幫助我們提高解題效率，而且能使我們從解題中獲得許多樂趣.因此，作輔助線對于數學解題有著非常重要的作用.本文主要研究添加輔助線的一些常用方法，以及利用添加輔助線來解決一些數學問題，最后給出作輔助線的一些解題建議.靈活巧妙地添加輔助線，可以使一些較為困難的問題迎刃而解，起到事半功倍的作用.同時，添加輔助線這種解題方法可以說是貫穿了數學各個領域，可以用它來解決一些荊棘問題.添加不同的輔助線能夠打破常規，有利于培養學生的思維創新，充分發揮學生的動腦能力.
　　1．兩點連線
　　【例1】如圖1，D、E是△ABC中AC邊上的兩個三等分點，F是AB的中點，BD與EF交于O點，求.
　　【解】分別連接FD、BE，因為F為AB中點，D、E是AC邊上的兩個三等分點，所以在△ABE，F、D分別是AB、AE的中點，即FD為△ABE的中位線.所以=，由圖容易得到：△FOD與△EOB相似，所以=.
　　該題倘若不作輔助線的話，解題會很麻煩.而添加了FD、BE這兩條輔助線使解題變得如此簡單，可見輔助線的添加能夠幫助我們快速解題.
　　【例2】已知：D、E、F分別是三邊BC、CA、AB的中點，如圖2所示，求證：AD、BE、CF交于一點，且都被該點分成2∶1.
　　【證明】如圖2，連接DE，設AD、BE交于點G，因為D、E分別為BC、AC的中點，所以DE平行于AB，且DE=AB，所以△GDE與△GAB相似，且相似比為1∶2，所以AG=2GD，BG=2GE，設AD、CF交于點G′，同理可得：AG′=2G′D，CG′=2G′F，則G與G′重合，所以AD、BE、CF交于一點，且都被該點分成2∶1.
　　2.作高
　　【例3】如圖3，⊙O的直徑AB和弦CD相交于點E，AE=10cm，EB=5cm，∠DEB=60°，求CD的長.
　　【解】如圖3，作OH垂直于CD交CD于H，連接OD、OE，因為AE=1cm，EB=5cm，AO=AE+EO=BO，所以EO=2cm，BO=3cm，OD=3cm.因為OH垂直于CD，∠DEB=60°，所以EH=1cm，OH=cm.因為在直角△OHD中，OH=cm，OD=3cm，所以DH=cm.因為DO=OC，OH垂直于CD，所以DH=HC=cm，所以CD=2DH=2cm.
　　以作高的形式添加輔助線的方法，在中學數學題中涉及的比較多.除了上面的一種類型的題目外，絕大多數是在三角形中作高的形式，如：
　　【例4】在△ABC中，AB=AC，點P為BC上一點，PD垂直于AB，PE垂直于AC，D、E為垂足，CF垂直AB于F，求證：PD+PE=CF.如圖4，這道題就是通過作PF這條高來解答題目的，只有作了這條高，這道題才會迎刃而解.
　　3.在邊上取特殊點
　　【例5】如圖5，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，求∠B∶∠C的值.
　　【解】如圖5，在AC上取一點E，使得AE=AB，因為AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，又因為AD=AD，AE=AB，所以△ABD全等于△AED，所以BD=ED，∠B=∠AED，因為AB+BD=AC，所以AE+ED=AC，因為AE+EC=AC，所以ED=EC，所以∠C=∠CDE，又因為∠AED是△CDE的外角，所以∠AED=2∠C，即∠B=2∠C，所以∠B∶∠C=2∶1.
　　與此題類似的有這樣一道題.
　　【例6】如圖6，已知BD是等腰三角形ABC底角角平分線，且AB=BC+CD，求證：∠C=90°.此題同上題類似，在AB上取點E，使得BC=BE，具體解題思路可參考上題.
　　4.延長線段
　　【例7】如圖7，△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=62°，H為△ABC的垂心，求∠ＢＨＣ的度數.
　　【解】延長BH、CH分別交AC、AB于D、E，因為H為△ABC的垂心，所以，∠ADB=∠AEC=90°.
　　在四邊形中，∠A=180°-∠ABC-∠ACB=78°，所以∠BHC=∠DHE=360°-∠ADB-∠AEC-∠A=102°.
　　通過作輔助線來解題，不外乎以上常見的四種解題技巧，當遇到較為棘手的數學問題時，我們可以考慮用添加輔助線的方法來解題.添加輔助線的方法較多，要學會靈活運用，不可盲目，否則會適得其反，使問題更為繁瑣.所以，在添加輔助線的時候要考慮恰當，這樣才能化難為易，事半功倍.然而在利用添加輔助線的方法解題時，經常會出現這些問題：該怎么添加輔助線？這樣添加對不對？這么多添加輔助線的方法，我該運用哪種？
　　針對以上問題，在實踐教學中，我們建議：（1）由實例引入，進行歸納總結；（2）上課不能只關注講題目的結果，要注意講解考慮問題的思維過程，培養學生思考問題的方式；（3）樹立學習信念，要注重培養學生對學習的興趣，不能厭惡學習，一種添加輔助線的方法錯了，不應該放棄，想想其他的添加輔助線方式，遇到困難不能知難而退，要勇往直前，努力解決問題.通過以上幾個方面的訓練，可以幫助學生順利解決遇到的問題，靈活運用數形結合思想.
　　總之，基本作圖很關鍵，復雜圖形多分解，平時掌握要熟練.解題時還要多長幾個心眼，經常總結方法，切勿盲目亂添線，方法也要靈活多變.
　　
　　參考文獻：
　　［1］毛文鳳.［初中版］，暑假大串聯［M］.北方婦女兒童出版社，2010年第1版.
　　［2］毛文鳳.［初升高］，暑假大串聯［M］.北方婦女兒童出版社，2011年第5版.