三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

　　三角形內(nèi)角和定理是“三角形的內(nèi)角和等于180°”．它在幾何解題和證題中有著廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)舉例如下.
　　一、利用三角形內(nèi)角和定理證明“三角形的外角與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和”
　　如圖1所示，延長(zhǎng)三角形的三條邊，由三角形一條邊及另一條邊的延長(zhǎng)線所成的角稱(chēng)為該三角形的一個(gè)外角．如圖1中的∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6．由于∠1+∠ABC=180°（平角），
　　又∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°，
　　所以∠1=∠BAC+∠BCA．
　　同法可證∠3=∠BAC+∠ABC，
　　∠5=∠ABC+∠ACB．
　　二、利用三角形內(nèi)角和定理證明n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°
　　如圖2所示，以n邊形AA…A的某一個(gè)頂點(diǎn)（如A）為共同頂點(diǎn)，將這個(gè)n邊形“分割成”n-2個(gè)三角形△AAA，△AAA，…，△AAA．由于每一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180°，所以這n-2個(gè)三角形的內(nèi)角和（即n邊形的內(nèi)角和）為（n-2）×180°.
　　三、利用三角形內(nèi)角和定理巧解有關(guān)幾何選擇題
　　例1．△ABC中，若∠A－2∠B＋∠C=0°，則∠B的度數(shù)是（ ）
　　A.30° B.45° C.60° D.75°
　　解析：在△ABC中，有∠A+∠B+∠C=180°，可適當(dāng)變形為∠A+∠C=180°－∠B，而條件∠A－2∠B＋∠C=0°，也可變形為∠A+∠C=2∠B，所以可知180°－∠B=2∠B，解此方程即可得到∠B=60°.所以選C.
　　例2．如圖3，把△ABC沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部時(shí)，則∠A與∠1、∠2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？（ ）
　　A．∠A=∠1+∠2 B. 2∠A=∠1+∠2
　　C. 3∠A=2∠1+∠2 D.3∠A=∠1+2∠2
　　解析：因?yàn)辄c(diǎn)A落在四邊形BCDE的內(nèi)部，所以對(duì)折后，2∠AED=180°-∠1，2∠AED=180°-∠2，在△ADE中，有三角形的內(nèi)角和等于180°，可得：∠A+∠AED+∠ADE=180°，解得2∠A=∠1+∠2，所以選B.
　　例3．△ABC，①如圖a，若P點(diǎn)是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，則∠P=90°+∠A.
　　②如圖b，若P點(diǎn)是∠ABC和外角∠ACE的角平分線的交點(diǎn)，則∠P=90°－∠A.
　　③如圖c，若P點(diǎn)是外角∠CBF和∠BCE的角平分線的交點(diǎn)，則∠P=90°-∠A.
　　上述說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
　　A.0 B.1 C.2 D.3
　　解析：①在△BPC中，∠P=180°－∠PBC－∠PCB（三角形內(nèi)角和），而
　　∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
　　所以∠P=180°-（∠ABC+∠ACB），
　　而在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
　　適當(dāng)變形為∠A+∠ABC+∠ACB=90°，
　　得到∠ABC+∠ACB=90°-∠A，
　　所以∠P=180°-（∠ABC+∠ACB）
　　=180°-（90°-∠A）
　　=90°+∠A
　　②根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，可得：∠A+∠ABP=∠P+∠PCA……Ⅰ
　　∠ABP=∠ABC（BP為角平分線）……Ⅱ，
　　∠PCA=∠ACE（PC為角平分線），
　　而∠ACE=∠A+∠ABC（∠ACE為外角），
　　所以∠PCA=（∠A+∠ABC）……Ⅲ，
　　將Ⅱ和Ⅲ代入Ⅰ即得：
　　∠A+∠ABC=∠P+（∠A+∠ABC）
　　整理得∠P=∠A.
　　③在△BPC中，由三角形內(nèi)角和知：
　　∠P+∠PBC+∠PCB=180°……Ⅰ，
　　由②的解題過(guò)程知：
　　∠CBF=∠A+∠ACB（∠CBF為外角），
　　∠BCE=∠A+∠ABC（∠BCE為外角），
　　∠PBC=∠CBF（BP為角平分線）
　　=（∠A+∠ACB）……Ⅱ，
　　∠PCB=∠BCE（CP為角平分線）
　　=（∠A+∠ABC）……Ⅲ，
　　將Ⅱ和Ⅲ代入Ⅰ即得：
　　∠P+（∠A+∠ACB）+（∠A+∠ABC）=180°，
　　去括號(hào)得：
　　∠P+∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°……Ⅳ，
　　而在△ABC，有∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
　　所以∠A+∠ACB+∠ABC=90°，
　　將其代入Ⅳ式得：
　　∠P+∠A+90°=180°，
　　整理得∠P=90°-∠A.
　　故答案為C.
　　熟練掌握三角形內(nèi)角和公式可以使很多問(wèn)題得到更加簡(jiǎn)便的解決，這里就不一一舉例了，希望同學(xué)們多加總結(jié)，學(xué)會(huì)舉一反三，達(dá)到融會(huì)貫通.這樣才能在解決新問(wèn)題時(shí)游刃有余，思路清晰.