淺析數形結合思想在初中數學中的應用

　　摘 要： 作者就自己多年從事初中數學教學工作的所思所感，從兩個方面結合具體的實例，談談數形結合思想在初中數學教學中的應用方法。
　　關鍵詞： 初中數學教學 數形結合思想 應用方法
　　
　　數學是人們勞動、生活、學習必不可少的工具，是人類的一種文化。數學文化有自身獨特的語言、思想和方法。喬治·波利亞說過：完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路。隨著課程改革的不斷深入，傳統的“應試教育”向適應時代發展的“素質教育”過度，不僅考查學生對基礎知識、基本技能的掌握，更重視考查學生的能力，如基本知識概念、法則、性質、公式、公理、定理的學習和探索過程中所反映出來的數學思想和方法；要求學生會觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括，會闡述自己的思想和觀點，從而提高學生的數學素養，對學生進行思想觀念層面上的數學教育。數學學習離不開思維，數學探索需要通過思維來實現，在初中數學教學中逐步滲透數學思想方法，培養思維能力，形成良好的數學思維習慣，既符合新的課程標準，又是進行數學素質教育的一個切入點。
　　下面我就數形結合思想在初中數學教學中的應用方法，結合教學經驗談談自己的認識。
　　數形結合思想是指將數（量）與（圖）形結合起來進行分析、研究、解決問題的一種思維策略。即把數與形融為一體考慮問題，是一種極富數學特點的信息轉換。著名數學家華羅庚先生說：“數與形本是相倚依，怎能分作兩邊飛；數無形時少直覺，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休。”這句話充分說明了數形結合思想在數學研究和數學應用中的重要性。
　　一、由“數”思“形”，“數”“形”結合，用“形”解決“數”的問題
　　由于“數”和“形”是一種對應，有些數量關系比較抽象，我們難以把握，而“形”具有形象、直觀的優點，能表達較多具體的思維，起著解決問題的定性作用，因此我們可以把“數”的對應——“形”找出來，利用圖形來解決問題。許多數量關系方面的抽象概念和公式，若結合圖形，往往就會變得非常直觀、形象，并使一些關系明朗化、簡單化。如教材《有理數及其運算》一章中，數形結合主要是通過數軸來實現的。數軸的引入為學習有理數、相反數、絕對值、有理數大小的比較、有理數的運算法則等提供了直觀的工具。具體地說，由數軸容易看出，有理數可以分為三類：正數、0和負數，正數分布在正半軸，負數分布在負半軸，0是正數和負數的分界。對于相反數，在數軸上互為相反數的兩個數所表示的點，在原點的兩側，到原點的距離相等。對于絕對值，根據“一個數的絕對值就是數軸上表示這個數的點到原點的距離”的直觀意義，求一個數的絕對值的問題就容易理解。關于有理數大小的比較，當數字較多時，容易遺漏或排錯位置，可以先把這些數在數軸上用點一一表示出來，根據“數軸上表示的數，右邊的總比左邊的大”，然后寫出結果。實際上，對學生來說，也只有通過數形結合，才能較好地完成本章的學習任務。另外，《一元一次方程》中，列方程解應用題時畫示意圖，常常會給解決問題帶來思路。《生活中的數據》中的“統計圖的選擇”，利用圖形來展示數據，很直觀明了。用幾何圖形或函數圖像解決有關方程或函數的問題，更是初中數學的一個亮點。
　　二、以“數”助“形”，“數”“形”結合，用“數”解決“形”的問題
　　對于一些圖形的性質，可以賦予數量意義，尋找恰當表達問題的數量關系式，以數助形，使問題得到解決。如教材《平行線與相交線》一章中，兩條直線平行的條件是：如果特殊位置關系的角（同位角、內錯角、同旁內角）滿足特殊的數量關系（同位角相等或內錯角相等或同旁內角互補），那么就可以得出兩條直線平行，即形—數—形的過程；反過來，如果兩條直線平行，那么任意一條直線截它們得到的同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補，即形—形—數的過程。這種數形轉換的方法是研究圖形的基本方法。又如《平面圖形及其位置關系》中，用數量表示線段的長度，用數量表示角的度數，利用數量的比較來進行線段的比較、角的比較等。對于以圖像形式呈現信息的應用性問題，雖然說形有形象、直觀的優點，但在定量方面還必須借助代數的計算，特別是對于較復雜的“形”，不但要正確地把圖形數字化，而且要留心觀察圖形的特點，發掘題目中的隱含條件，充分利用圖形的性質或幾何意義，把“形”正確表示成“數”的形式，進行分析計算。如在同一坐標系中給出一次函數y=5x+3與二次函數y=x2+x－3的圖像，試寫出它們的交點坐標。學生可以利用由點的位置確定點的坐標的方法，再通過畫圖觀察得出交點坐標。由于受作圖工具等客觀條件和人的主觀因素的限制，學生只能得出交點坐標的近似值，而此處要求寫出的是準確值。正確做法是把“形”轉化成“數”，即兩個函數圖像在同一坐標系中的交點坐標，是把這兩個函數的解析式聯立所得方程組的解，有幾組解就有幾個交點，x的值是交點的橫坐標，對應的y值是交點的縱坐標。至此，只要把兩個函數的解析式聯立解方程組，問題便可迎刃而解。
　　總之，數形結合思想的實質是將抽象的數學語言與直觀圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合起來，發揮“數”與“形”兩種信息的轉換及其優勢互補與整合。數形結合思想的應用往往能使一些錯綜復雜的問題變得直觀，解題思路清晰，步驟明了。在學生學習過程中，還可以激發學生學習數學的興趣。要想提高學生應用數形結合思想的能力，教師需要耐心細致地引導學生學會聯系數形結合思想、理解數形結合思想、運用數形結合思想、掌握數形結合思想。
　　
　　參考文獻：
　　［１］全日制義務教育課程標準(實驗稿).人民教育出版社.
　　［２］數學方法論與解題研究.高等教育出版社.