以數學史為載體在中學數學教學中滲透數學文化的探究

　　摘 要： 本文研究了如何在中學數學教學中滲透數學文化。文章從中學數學教學中滲透數學文化的必要性和我國數學教學的現狀入手，闡述了數學文化的價值所在。然后重點談了中學數學教學中滲透數學文化的實踐。作者以數學史為載體，從起始課教學，概念教學，定理教學，公式教學，數學應用教學和名題教學入手，分析了如何在中學數學教學中滲透數學文化這一問題。研究表明，這樣的實施是切實可行的，也是有效的。
　　關鍵詞： 中學數學教學 數學文化 數學史
　　
　　課堂是學生學習數學知識的主要途徑，對數學文化的學習，應更多地體現在課堂教學之中，張奠宙先生認為“數學文化必須走進課堂”。的確，數學的文化內涵往往以潛移默化的形式存在，只有有意識地將文化觀念滲透于數學課堂教學之中，才能讓學生感悟這種“看不見的文化”。將數學史融入數學課堂教學是進行數學文化滲透的有效途徑之一。
　　一、在概念教學中滲透數學文化
　　例：由悖論引出極限教學
　　高中教材中，從極限這一章開始，數學教學就進入了高等數學的教學，討論的問題也由有限進入了無限，學生以往接觸的都是有限運算，對無限問題的思考方法感到生疏。因此，在進入本章教學前，先可以介紹芝諾的著名悖論“追龜說”。具體過程設計如下。
　　在上課之前，我先給大家介紹一個希臘數學史上非常著名的問題——“追龜說”。“追龜說”講的是：阿喀琉斯（古希臘神話中擅跑之神）追烏龜，永遠追不上。比如，阿喀琉斯的速度是烏龜的十倍，龜在人前1000米，當阿喀琉斯跑1000米，到達龜的出發點時，龜已向前又爬了100米；阿喀琉斯繼續追，再跑100米，龜又前進了10米；阿喀琉斯再追10米，龜又前進了1米；繼續追1米，龜又爬行了0.1米……這樣下去，不論阿喀琉斯怎樣追，他和烏龜永遠相隔一小段距離，所以阿喀琉斯永遠也追不上烏龜。“追龜說”又稱為“芝諾悖論”，是古希臘伊利亞學派的代表人芝諾提出的。“追龜說”明顯違背生活常識，是一個謬論。當時的古希臘人明知阿喀琉斯一定能追上烏龜，卻無法證明“追龜說”錯在何處，這就成為希臘數學史上有名的難題，直到17世紀微積分學產生，這個問題才算基本解決。
　　我們來分析一下這個問題。當阿喀琉斯最終追上烏龜時，兩者之間的距離為0。那么問題就轉化為由距離構成的數列1000，100，10，1，0.1，…中的項最終能否無限地接近于0。今天我們學習了極限的概念后，就可以解決剛才這個問題了。“追龜說”激發了學生的認知沖突，巧妙地激發了學生的學習興趣，這樣引入極限定義，順利地實現了從初等數學向高等數學的過渡。
　　在概念教學中融入數學史，不僅可以加深學生對概念的了解和認識，而且可以激發學生學習的興趣和熱情。
　　二、在定理教學中滲透數學文化
　　例：正弦定理背后的“三角”文化
　　1.提出問題，引發思考。
　　（1）三角形三邊之間有什么關系？
　　（2）三角形三角之間有什么關系？
　　（3）三角形邊角之間有什么關系？
　　這樣設計的主要目的是讓學生對已有的三角形邊角關系進行梳理，為學習新課做好鋪墊，同時提出這節課將繼續研究三角形的邊角關系，明確研究的主題。
　　2.由特殊到一般，得到正弦定理。
　　在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，且∠A=∠B=∠C=60°，引導學生觀察、發現三角形的邊與角的正弦值之間的a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC關系式是否成立？
　　接著再舉出以下兩個特例：若∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°，上述關系式是否成立？∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°呢？由于學生已學習過特殊角的三角函數值，因此對于此問題，難度不大，學生容易得出正確的結論。
　　在學生做出正確的判斷后，教師接著設疑：（1）關系式a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC與==是否等價？（2）對于任意的三角形，是否都存在==呢？
　　考慮到學生的知識水平有限，讓學生直接探索正弦定理比較困難，因此，在設計中采用由特殊到一般，由具體到抽象的方法，讓學生歸納猜想出定理。同時，先讓學生得出關系式a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC，符合學生的認知規律。
　　3.利用幾何畫板，驗證正弦定理。
　　利用幾何畫板可以對正弦定理加以驗證，并且可以發現其比值恰好等于所給定的三角形的外接圓的半徑。
　　這樣的設計是由于定理的出現使用的是不完全歸納法，因此本研究者采用計算機輔助教學，讓學生通過實驗，驗證猜想出的結論，形成對正弦定理的初步認識。
　　4.引入文化，豐富內容。
　　介紹完正弦定理后，應向同學介紹有關三角學的有關知識。三角學是以研究平面三角形和球面三角形的邊和角的關系為基礎，達到測量上應用的一門學科。三角學起源于天文、測量、航海等實際需要，與古希臘的幾何學有著不可分割的聯系。三角學的發展大體可分為三個時期。第一時期是遠古到11世紀以前，當時只用于測量三角學范圍內的一些問題，這時期只能從埃及、中國、印度、阿拉伯等數學著作中發現有關三角學知識，但看不到角的函數概念。第二時期是從11世紀到18世紀。平面三角學（含球面三角學）脫離天文學而獨立成為數學的一個分支。如13世紀阿拉伯人納西爾丁把三角學作為獨立的學科論述，繼艾布瓦法之后首次證明了正弦定理==。同時他還給出了三角函數的定義，編制了大量的三角函數表，發現了一些三角公式。第三個時期是18世紀以后，隨著研究范圍的擴大，三角學已經成為研究三角函數的主要對象的學科，一度屬于分析學的一個分支，現在已經將三角學歸為幾何學的一個分支。
　　通過文化背景介紹，學生明確了三角學的發展階段，并從歷史的角度明確正弦定理的來源和應用，為對定理的深刻認識做好鋪墊。同時這樣教學，激發了學生的學習興趣，讓學生體會到數學的科學價值、應用價值、人文價值、美學價值，提高了學生的文化素養，把數學文化的理念扎扎實實落實到課堂教學中。
　　三、在公式教學中滲透數學文化
　　例：多面體歐拉公式的發現教學
　　多面體歐拉公式的內容是：V+F-E=2，V是多面體P的頂點個數，F是多面體P的面數，E是多面體P的棱的條數。在研究性學習“多面體歐拉公式的發現”一節課中，可以介紹歐拉生平。歐拉是十八世紀杰出的數學家之一，“七橋問題”和“多面體歐拉公式”都是歐拉提出和解決的。他在幾何、微積分、力學、天文學、數論等方面都有重要的成就，人們把18世紀稱為“歐拉時代”。大數學家拉普拉斯說：“讀讀歐拉，他是我們一切人的老師。”歐拉取得了令世人矚目的巨大成就，但最可貴的是他堅強的意志。歐拉28歲就右眼失明，但他仍忘我工作，取得了杰出成績。1771年圣彼得堡的一場大火將他所有的研究成果付之一炬，而此時歐拉已經是雙目失明，種種磨難都沒有摧垮這位科學巨人，他憑著堅強的毅力和頑強的意志，回憶了他所做的研究，口述發表了400多篇論文和專著。在種種的打擊面前，歐拉仍然頑強不屈，執著追求。
　　歐拉的杰出智慧，頑強的毅力，孜孜不倦的奮斗精神是對學生進行意志品質教育的難得的素材。這些必將對學生具有較大的指導意義。
　　四、在數學應用教學中滲透數學文化
　　例：分形學的引入
　　在學完蘇科版初中數學的《中心對稱圖形（一）》后，教師完全有必要將現行數學界最前沿的研究領域——“分形學”介紹給大家。“分形”一詞首先由曼德勃（B.B.Mandelbrot）于1973年提出的，“分形學”是目前國際上研究非常活躍的領域，但是，所有的分形圖案卻都是“中心對稱圖形”，因此，學好“中心對稱”是學好“分形學”的基礎。
　　下面是一些基本的分形圖案。
　　分形Nova分形
　　這里的“分形學”的介紹，極大地開闊了學生的眼界，為他們的后續學習提供了一個很好的平臺。
　　五、在名題教學中滲透數學文化
　　例：費爾瑪猜想引入數學歸納法教學
　　在高中的數學歸納法教學中，結合教學內容，可以向學生介紹有關費爾瑪的猜想的提出和解決。法國數學家費爾瑪觀察到：
　　F=2+1=3
　　F=2+1=5
　　F=2+1=17
　　F=2+1=257
　　F=2+1=65537
　　這些數都是質數，于是猜測歸納：形如F=2+1（k=0，1，2，3…）的數都是質數，這就是所謂的費爾瑪猜想。在很長時間內沒有人對此提出質疑。過了100多年，大數學家歐拉并沒有盲從于這個結論，而是以批判的精神重新對這一猜想進行研究，證明了F=2=429496297=641×67004172不是質數，于是否定了費爾瑪的猜想。
　　在教學中可以讓學生通過簡單計算對k=0，1，2，3時，F=2+1是不是質數做出判斷，然后給出費爾瑪猜想，在學生思考后再給出歐拉的結論。這樣學生在學習中，不僅可以體會到批判精神的意義，而且可以加深對歸納遞推的理解。
　　
　　參考文獻：
　　［1］中華人民共和國教育部制定.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）.北京：北京師范大學出版社，2001，7：1-8.
　　［2］義務教育數學課程標準實驗教科書（八年級?上冊）?教師教學用書［M］.南京：江蘇科學技術出版社，2008，5.
　　［3］林永偉，葉立軍.數學史與數學教育［M］.浙江大學出版社，2004，4.
　　［4］數學課程標準研制組.普通高中數學課程標準（實驗）解讀［M］.江蘇教育出版社，2004，4.
　　［5］王芳.文化觀念下數學文本的課堂詮釋［J］.中學數學教學參考，2005，4.
　　［6］張奠宙等.數學史選講［M］.上海：上海科學技術出版社，2000：56-89.
　　（作者系蘇州大學數學科學學院在讀研究生）