近世代數與其他課程的結合與應用

　　摘 要： 本文用具體例子闡述了近世代數與其他數學課程的相互滲透與應用。
　　關鍵詞： 近世代數 高等代數 幾何 分析課程 結合與應用
　　
　　近世代數這門課程具有極高的抽象性，在一定程度上，這門課程中的很多概念是從一些具體的數學模型中抽象出的一般結構.另外，每一次抽象回到具體，能夠化解一些具體問題，甚至能解決一些以前不能解決的問題.Galois理論解決方程根的問題就是非常典型的一個例子.并且，近世代數與其他課程相結合，具有極大的工具作用.本文就一些具體問題，用具體例子闡述近世代數與其他數學課程的相互滲透與應用.
　　一、近世代數與高等代數
　　近世代數是高等代數的后續課程，近世代數中的很多一般理論都建立在高等代數的一些具體的群、環上，例如，置換群、n階矩陣環、數域p上的多項式環是高等代數提供的一些具體的代數結構，這都是我們熟知的.并且這些結構還可以驗證近世代數中的一些結論，下面就是一個具體例子：
　　用矩陣環驗證環論中的一個結論，若M，N是環R的子環，M+N未必是R的子環.
　　設R為一個數域F上2的全矩陣環，設
　　0 x0 0∈M，00y 0∈N，
　　0 x0 0＋00y 0＝0xy0?埸M+N，不封閉，自然不能構成子環.
　　二、近世代數與幾何
　　1.近世代數也是一些幾何模型的抽象，群的定義引入就用了很多的幾何對稱圖形［４］［５］.
　　2.近世代數的一些思想可以通過具體的幾何圖像得以直觀地解釋，比如陪集的分類思想，見下例：
　　={x∈Ｒ|x=2kπ+r， k∈Ｚ}，（0≦r<2π）是群Ｒ關于子群H的包含r的一個陪集.對于一個給定的r（0≦r<2π），凡是可以寫成2kπ+r的數都在中，它們是實數軸上相距2k的所有的點組成的點集.
　　3.復平面上的每個點對應一個復數，以下我們把復平面上的點z稱為復數z.
　　以原點為圓心，正實數r為半徑畫圓可以得到無窮多個同心圓C（r∈R）.如下圖：
　　C=｛z∈C｜｜z｜=r｝， （r∈R）是非零復數集合的子集，具有性質：
　　1）C=C；
　　2）當r≠t時，C∩C是空集；
　　3）單位圓周C的任意兩個復數的乘積還在C中，非單位圓周C沒有這個性質；
　　4）以原點為起點作射線l與各同心圓相交，交點l∩C=z（r∈R）.所得的復數的幅角都相同，只是模不等.設幅角為θ，z=Re=Rz，則σ：z→z是C到C的雙射；
　　5）以C為元素組成的集合S，即S=﹛C| r∈R﹜.規定φ：C→r，則φ是S到r到R的雙射.
　　用近世代數的觀點解釋是：
　?、賃=C={z∈C||z|=1}，（U， ?莓）是（C，?莓）的子群，并且是正規子群；
　?、贑=RU={Rz∈C||z|=1}，C是C關于子群U的包含r的陪集；
　?、跜等于所有不同陪集的并，C=（rU）；
　?、懿煌慵慕皇强占╰U）∩（rU）=?準（t≠r）；
　?、菝總€陪集rU與U之間存在雙射σ：re→e;
　?、抟耘慵癁樵亟M成的集合S是C關于正規子群U的商集，即C/U=｛rU|r∈R｝=｛C|r∈R｝=S.rU中任一個數都可以代表rU，記=rU==……；
　?、咭幎–/U的代數運算.=，則（C/U，?莓）是群；
　　⑧C/U到R的雙射Φ:→r〔即5）中的映射φ：C→r〕保持運算
　　φ﹙?莓﹚=φ﹙﹚=r?t=φ﹙﹚?φ﹙﹚
　　φ是商群（C/U，?莓）到群﹙R，?莓﹚的同構映射，于是C/UR.
　　另外比較典型的一例是二面體群.此例也可以說明“用幾何圖形，充分說明群是由對稱抽象得到的結果”，但因為有諸多文獻闡述幾何對稱與群的關系，通過此例也只是可以再次看到對稱與群的關系的內在聯系，所以本文不準備再贅述這種聯系，主要是用此例說明：近世代數中生成子，生成關系與群這幾個概念，以及群的本質結構，可以在幾何圖形中得到最好的詮釋.首先來看二面體群G：如果F是平面上正n邊形，令T為繞中心轉，S為對于某一對稱軸的鏡面反射，我們可以證明由2n個元素組成的集合G={T，T，…，T，ST，ST，…ST}是一個群（其中，T=I，ST=TS，S=I）.
　　根據群的定義，直接驗證可知G是一個群，但這個群可以用另外一種方式表達，即從生成的本質上來予以表達.我們從G的幾何構成上很容易看到，G是由生成T，S并且符合生成關系T=I，ST=TS，S=I，所以G是由二元素生成的自由群的商群，G=（T，S）/N，其中N是由T，STST，S生成的正規子群.
　　三、近世代數與分析課程
　　綜合利用近世代數和分析課程以及其他數學知識，可以解決一些比較困難，甚至表明看起來無法解決的一些問題.
　　例1.抽象代數、數學分析與組合數學的綜合應用［６］［７］［８］.
　　設a，a，…，a是正整數序列，則至少存在k和l， 1≤k≤l≤m，使得和a+a+…+a是m的倍數.
　　分析：1.正整數序列除每個數是正整數外，沒有其他特征.而結論似乎也只有和這個數有點聯系.
　　2.分析結論，a+a+…+a是m的倍數其實就是a+a+…+a≡0（mod m），而m的剩余類共有m類，在分類思想下，對并無任何規律的正整數序列a，a，…，a似乎有所控制.
　　3. 繼續分析結論，a+a+…+a，即是數學分析中的和差S-S，這樣結論就是要S，S這“兩只鴿子”符合關系S-S≡0（mod m），或者說S≡S（mod m）.
　　4. 正整數序列a，a，…，a雖然無任何規律，但由于正整數的特點：有S　　證：設S=a， S≡r（mod m ）0≤r≤m-1，（h = 1， 2， …， m）.
　　若存在l， S≡0（mod m ）則命題成立．否則，l≤r≤m-1．但h = 1， 2， …， m．
　　由鴿籠原理，存在r=r， 從而S=S，不妨設 h ＞k．則：
　　S-S=a+a+…+a≡0 （mod m ）.
　　
　　參考文獻：
　　［1］張禾瑞.近世代數基礎（修訂本）.高等教育出版社，1978.
　　［2］吳品三.近世代數.高等教育出版社，1979.
　?。?］胡冠章.應用近世代數.清華大學出版社，1999.
　?。?］胡萬寶，吳瓊.群論教學中的對稱滲透.安慶師范學院學報（自然科學版），2001，（3）.
　?。?］李桃生.用近世代數觀點來看初等數學.高等函授學報（自然科學版），1996，（2）.
　?。?］曹汝成.組合數學.華南理工大學出版社，2000.
　?。?］劉玉璉，傅沛仁.數學分析講義.高等教育出版社，1992.
　?。?］華東師范大學數學系.數學分析（第三版）.高等教育出版社，2001.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”