全局著

　　《導數及其應用》是大學教材的下放內容，而無論是在導數概念的學習中，還是導數應用，導數的幾何意義都是一個極其重要的部分。這個知識點也是各種練習考試中的熱點，因此我在設計導數及其應用的章節復習中，特意設計了這樣一個模塊——導數幾何意義的應用，以便使學生更有針對性地復習。課堂實錄如下：
　　師：我們通過學習發現導數幾何意義的應用是這章內容中的重點，也是熱門考點，首先來復習這一知識點。問題1：導數的幾何意義是什么？
　　生：曲線y=f（x）在x=x處的切線的斜率，即k=f′（x）。
　　師：問題2：那么該點處的切線方程是什么？
　　生：切線方程為y-f（x）=f′（x）（x-x）。
　　（通過學生對于知識點的再次陳述，強化導數的幾何意義。）
　　師：我們經常遇到利用導數幾何意義求解曲線的切線方程，有沒有什么特別要大家注意的地方？
　　（設置開放性的問題，讓學生分散思索，再整體把握，有利于復習歸納。）
　　生：利用導數求切線過點P的切線方程，要注意判斷點P是否在直線上。
　　師：非常好！這個已知點的位置很重要，請看復習題：
　　已知曲線f（x）=x+，（1）求曲線在x=2處的切線方程;（2）求曲線過點（2，4）的切線方程。
　　師：第一問中的點是什么點？（切點）
　　師：應如何求解呢？
　　生：先求在x=2處的導數f′（2）=4，即切線的斜率。然后將x=2代入方程求出切點（2，4）。用點斜式可以寫出切線方程為y-4=4（x-2），即4x-y-4=0。
　　師：很好。思路清晰，那么求曲線已知切點的切線方程沒問題了。請再看問題３，（2）中“曲線過點”，這個點是切點嗎？
　　生：不一定，要看它是否在曲線上。
　　師：好，那驗證點是否在直線上。這個點在曲線上就一定是切點嗎？
　　生：也不一定。也可能是曲線另一點處的切線與曲線的交點。
　　師：問題4：我們不是學習過曲線與直線相切就可以轉化為一元二次方程的Δ=0，也就是只有一個交點嗎？（學生遲疑，顯然問題觸動思考）
　　生：那是圓，橢圓，雙曲線……
　　師：是的。我們發現曲線為二次曲線時，曲線與直線相切交點只有一個，而一般曲線呢？你能用圖示給大家舉個例子嗎？
　　生：y=x（第一象限曲線某點處的切線與曲線第三象限圖像仍有交點）。
　　師：好的。那該如何解答呢？（引發學生回歸題目）要求切線方程，要有斜率，也就是切點處的導數。
　　生：可以先設切點為x， x+，切線斜率f′（x）=x，而切點x， x+就在切線上，點斜式寫出切線方程。
　　師：接著呢？
　　生：可以把點（2，4）代入方程，求出。
　　師：很好，因點（2，4）在切線上，自然也滿足切線方程，那么帶入后就得到一個一元三次方程。
　　（老師板書：切線方程為y=xx-x+，因為點（2，4）在切線上，所以4=2x-x+，即x-3x+4=0。）
　　師：一元三次方程在這部分的解題中我們也經常遇到。應如何求解呢？我們可以采用配系數的方法，可以將二次項-3x拆成-4x和x。
　　（教師板書：所以x（x+1）-4（x-1）（x+1）=0，即（x+1）（x-2）=0，解得x=-1或x=2，故所求切線方程為4x+y-4=0或x-y+2=0。）
　　師：通過完成該題，你復習了那些內容，掌握了哪些技巧？
　　（通過又一個開放性問題，引導學生進行反思，從而自覺提煉出知識精髓和常見方法）
　　生：求切線一定要分清“在”還是“過”某點的切線”。
　　生：解決“過某點處的切線”先設切點（x，y），然后求切線斜率，寫切線方程，再講已知某點代入求出切點坐標、斜率，就可以求切線方程了。
　　生：現階段解一元三次方程可以用配系數的方法來做。
　　師：是的。以上是對于解題上的一些常見方法或技巧進行的總結，還有嗎？
　　生：澄清我們的一個常見錯誤，認為曲線與切線只有一個交點，實際上，我們常見的圓，橢圓等是這樣的，其他一般曲線未必是這樣的。
　　師：很好。
　　（再利用PPT總結，幫助學生梳理強化知識）
　　課后反思：
　　這是復習課上的一瞥，通過這個專題模塊復習，我進行了如下總結。
　　1.復習要有全局性
　　復習是針對某一段時間或某幾章節的梳理及深化，新課的知識點是零散的，難成體系的，而復習的目的就是將整節整章乃至更多的內容從零碎的點整合成一個較為完整的體系。因此，復習不應只做前期教學的簡單重復，而要將知識點串成線，線串成面，讓學生高屋建瓴地把握知識的結構，前后的聯系，從而達到提綱挈領的效果。
　　2.復習要有針對性
　　既然復習不是簡單羅列和重復，那么在詳略上就應當有所取舍，顯然教學的重點應在復習中充分體現，如本節中“利用導數集合意義求切線方程”這當然就是本章中的一個重要內容，而從第1小問中，不難發現學生對于這一重點掌握情況相對較好，教師就不應作太多贅述。而第2小問的類型是學生易發生錯誤的地方，當然教師就要充分讓其出錯，然后訂正深化總結，因此復習應有針對性，針對學生易錯的，易混淆的內容講、練，使復習更加務實。
　　3.復習要有開放性
　　復習課應是學生回顧深化知識技能的過程，因此主動權應在學生手中。本節課我多次設計“你覺得應注意什么”，“你想到了什么”，“你學到了什么”這樣的問題，問題提得開放，有利于學生思考，且是發散的思考，使得學生自主全面地回顧前后知識，自主總結解題的技巧，真正讓學生動起來，這樣才能達到好的復習效果。
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”