讓例題“生根”“發(fā)芽”

　　摘 要： 例題教學(xué)作為課堂教學(xué)的重要組成部分，應(yīng)植根于基礎(chǔ)知識(shí)，服務(wù)于知識(shí)間的整合，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，形成牢固的數(shù)學(xué)方法，從而提煉出重要的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。例題的有效性在于促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念、法則、定理等基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握，結(jié)合學(xué)生實(shí)際水平和心理特征充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性與潛在的數(shù)學(xué)知識(shí)能力，重視對(duì)問題、圖形的直觀感受，經(jīng)歷師生思維的碰撞，實(shí)現(xiàn)提高數(shù)學(xué)解題能力的目的。
　　關(guān)鍵詞： 例題教學(xué) 有效性 數(shù)學(xué)思維能力 數(shù)學(xué)思想與方法
　　
　　在數(shù)學(xué)教學(xué)中，例題是整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)重要組成部分，例題教學(xué)應(yīng)扎根于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，例題教學(xué)應(yīng)滲透數(shù)學(xué)思想與方法，才能實(shí)現(xiàn)“知識(shí)”與“方法”的融合。有效開展例題教學(xué)，不僅僅能使學(xué)生加深對(duì)概念、法則、定理等基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握，更重要的是讓學(xué)生經(jīng)歷問題的產(chǎn)生、變化，直至解決的過程，培養(yǎng)并增強(qiáng)辨析能力，不斷積累經(jīng)驗(yàn)，形成思考問題、解決問題的方式與方法，從而實(shí)現(xiàn)綜合能力的提高。
　　然而，在課堂教學(xué)中，例題的教學(xué)演變成以學(xué)生為觀眾教師自導(dǎo)自演的“講臺(tái)劇”的不在少數(shù)，教師的“演講”成為自我能力的展示。如此，難以得到學(xué)生的共鳴，各知識(shí)點(diǎn)間難以整合，學(xué)生解題思路狹窄，習(xí)慣于照搬例題，不易于方法的形成。作為鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)與形成數(shù)學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要載體，例題的教學(xué)顯得尤為重要。例題教學(xué)是課堂教學(xué)中的重要環(huán)節(jié)，通過例題教學(xué)突出和強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法對(duì)解題的指導(dǎo)作用，使學(xué)生領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)思想內(nèi)涵，掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)方法，在學(xué)習(xí)中領(lǐng)悟，在領(lǐng)悟中提高。
　　一、角色定位準(zhǔn)確，師生和諧統(tǒng)一
　　課堂的主體是學(xué)生，教師是教學(xué)過程的指導(dǎo)者、參與者。教師最容易出現(xiàn)的傾向是一味地照本宣科，程式化，不引導(dǎo)學(xué)生探索。學(xué)生盲目接受，始終處于被動(dòng)地位，教師講課頭頭是道，學(xué)生做作業(yè)時(shí)無門可找。這樣，就不利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，學(xué)生的智力得不到應(yīng)有的開發(fā)；又不能及時(shí)“回收”學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的反饋信息，使教師的講授不能根據(jù)學(xué)生思維的發(fā)展情況及時(shí)進(jìn)行教學(xué)調(diào)控。因此例題的教學(xué)應(yīng)立足于學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)水平和實(shí)際接受能力，注重對(duì)學(xué)生心理的研究，重點(diǎn)緊扣題目作有效分析、提問、啟發(fā)。教師只有在充分考慮學(xué)生思維螺旋上升的特點(diǎn)，正確引導(dǎo)、充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，變教師的講為啟發(fā)學(xué)生去想，從而使師生雙方的思維發(fā)生碰撞，繼而產(chǎn)生共振，實(shí)現(xiàn)例題的教學(xué)價(jià)值。
　　二、教學(xué)目標(biāo)明確，例題選擇精當(dāng)
　　例題具有直觀鮮明性、典型性、啟發(fā)性功能。它能夠直觀體現(xiàn)基本理論、基本概念內(nèi)涵，使較為抽象、概括的數(shù)學(xué)理論知識(shí)易于理解和掌握。例題的典型性價(jià)值在于，它屬于某一類習(xí)題的代表，對(duì)例題的分析可以使學(xué)生學(xué)會(huì)將所學(xué)知識(shí)前后系統(tǒng)串聯(lián)整合，并在實(shí)際應(yīng)用中總結(jié)出知識(shí)的內(nèi)在規(guī)律，以獲得真正的知識(shí)和能力。通過某些例題的教學(xué)，能夠啟發(fā)學(xué)生對(duì)問題由淺入深、由此及彼、由個(gè)別到一般地思考和分析，形成方法。例題教學(xué)是通過引導(dǎo)學(xué)生挖掘典型題目的潛在教育教學(xué)價(jià)值，不同方面不同層次鍛煉思維品質(zhì)，培養(yǎng)思維能力，以此培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力。既然明確了例題的重要性，那就需要選擇合適的例題來發(fā)揮其應(yīng)有的作用。其作用主要表現(xiàn)為：（1）對(duì)新授課中的定義、定理、公式等的內(nèi)涵與外延進(jìn)行深化，連點(diǎn)組面，由面成體，構(gòu)建立體認(rèn)知結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)；（2）豐富應(yīng)用含義，增加應(yīng)用層次；（3）概括提煉數(shù)學(xué)方法，進(jìn)而形成數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。
　　第一，通過例題教學(xué)，對(duì)定義、定理、公式等的內(nèi)涵與外延進(jìn)行深化，連點(diǎn)組面，由面成體，構(gòu)建立體認(rèn)知結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。恰當(dāng)?shù)睦}可以將抽象的概念、定理等具體化，加快學(xué)生對(duì)知識(shí)的辯證理解和掌握，正確運(yùn)用相關(guān)知識(shí)獨(dú)立解題的步伐。新授課例題教學(xué)的主要任務(wù)是強(qiáng)化概念、法則、定理的理解，以夯實(shí)基礎(chǔ)為主，進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)用。譬如：
　　①在七年級(jí)《整式的加減——同類項(xiàng)》的教學(xué)過程中，選例: k取何值時(shí)，3x與-xy是同類項(xiàng)?
　　此例主要是對(duì)同類項(xiàng)概念的深層辨析，突出定義中的條件意識(shí)。
　　②在九年級(jí)《二次函數(shù)》的教學(xué)過程中選例：已知拋物線y=（m-1）x+mx+3開口向上，求m的值.
　　本例緊扣二次函數(shù)概念，知：（ⅰ）m+m-4=2m-1≠0，并結(jié)合其圖像性質(zhì)又得：（ⅱ）m-1>0。在強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題層次性，從“是什么”到“怎么樣”理順分析過程，強(qiáng)調(diào)隱形條件。
　　第二，通過例題教學(xué)，豐富應(yīng)用含義，增加應(yīng)用層次。課堂教學(xué)內(nèi)容的多少、課型、難易程度都成為選擇例題的參考指標(biāo)，而所選例題在所要實(shí)現(xiàn)的教學(xué)目標(biāo)上需層次分明，結(jié)構(gòu)合理。譬如：
　　八年級(jí)《二次根式的除法》教學(xué)中，選例1：化簡(jiǎn)（１）（2）（3）（4）
　　選例2：化簡(jiǎn)a
　　利用此例體會(huì)二次根式的除法實(shí)質(zhì)是化簡(jiǎn)過程，目的是根號(hào)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，根號(hào)中不含分母，分母中不含根號(hào)。明白分母有理化不只是尋找分母的最簡(jiǎn)有理化因式，利用分式的基本性質(zhì)實(shí)現(xiàn)，也可通過因式分解，利用約分實(shí)現(xiàn)，從而理解分母有理化真正意義，它實(shí)質(zhì)上是最終目的，不是某種方法。例1中（4）不同于（3），強(qiáng)調(diào)-可能為0，建議利用因式分解后約分化簡(jiǎn)，而例2運(yùn)用=|a|，注意其中隱含條件a<0，從具體數(shù)字到字母再到結(jié)合字母的符號(hào)，實(shí)現(xiàn)二次根式化簡(jiǎn)。
　　第三，通過例題教學(xué)，能概括提煉數(shù)學(xué)方法，進(jìn)而形成數(shù)學(xué)思想。教學(xué)中如何做到以例及類，以例啟思，使學(xué)生能觸類旁通，富有創(chuàng)見，是我們所著意追求的目標(biāo)。例題本身僅是一個(gè)引子，一個(gè)載體，那么它引導(dǎo)學(xué)生探尋、發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想是示例的真正目的，不同的知識(shí)內(nèi)容涉及的解題方法不盡相同，而其中蘊(yùn)含著許多共同的數(shù)學(xué)思想。從低年級(jí)到高年級(jí)的學(xué)習(xí)過程，應(yīng)是從數(shù)學(xué)方法不斷總結(jié)、不斷上升為數(shù)學(xué)思想的過程，如：數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，等等。譬如：
　　①九年級(jí)《二次函數(shù)》教學(xué)中，選例：已知拋物線y=-x-4x+5.當(dāng)x取何值時(shí)，y<0；當(dāng)x取何值時(shí)，y>0？
　　本例運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，利用函數(shù)的圖像，并掌握y<0、y>0圖中所表示的幾何意義，即可找出結(jié)果。
　　②八年級(jí)《軸對(duì)稱》教學(xué)中，選例：
　　△ABC中BC＝8 cm，BC上的高AD＝3 cm，求△ABC周長(zhǎng)的最小值.
　　此例許多學(xué)生往往通過設(shè)自變量，列函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解，復(fù)雜且不易求。不如讓學(xué)生按要求進(jìn)行多次作圖，利用圖形疊加易發(fā)現(xiàn)所有符合條件的三角形一邊BC固定，頂點(diǎn)A是一條到BC距離等于3cm的直線上的動(dòng)點(diǎn)。問題即為在該直線上找到一點(diǎn)A，使點(diǎn)A到點(diǎn)B、C的距離最小，利用軸對(duì)稱原理即可解決。
　　③九年級(jí)《二次函數(shù)》教學(xué)中，選例：若函數(shù)y=kx+（2k-1）x+k+1（k是常數(shù)）與x軸有交點(diǎn)，求k的取值范圍.
　　學(xué)生讀題后，只在意形式像二次函數(shù)，而忽略了二次函數(shù)一般形式中k≠０的問題。由于題中未指明k的范圍，因此此例需進(jìn)行分類討論解決。
　　④在九年級(jí)《一元二次方程》教學(xué)中，選例：如果a、b是實(shí)數(shù)，且a≠b，a+3a+1=0，b+3b+1=0，求a+b的值.
　　通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生的觀察，構(gòu)造根是a、b的一元二次方程x+3x+1=0，并正確認(rèn)識(shí)a≠b的意義。這樣，本題就轉(zhuǎn)化為了利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求值的問題。
　　第四，例題的選擇有一定的拓展延伸，教學(xué)要有靈活的變通性。學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，同時(shí)也掌握了一定的解題模式，在一定階段他們往往會(huì)機(jī)械地按照這固定的模式去解題，對(duì)此，若不隨時(shí)予以注意，就很可能形成某種思維定勢(shì)，造成思維的呆板和僵化。因而在例題教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生獲得某種基本解法之后，可通過改變?cè)}的條件、結(jié)論、情境或方法，來加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)和方法的理解、掌握和變通，以達(dá)到活躍思維能力、培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的目的。對(duì)例題進(jìn)行縱橫拓展，讓學(xué)生在進(jìn)一步理解和掌握例題所闡述的概念、規(guī)律、數(shù)量關(guān)系或解題方法的基礎(chǔ)上，盡可能地開拓思維空間。
　　
　　三、研究學(xué)生心理，把握教師介入方式與時(shí)間
　　例題的教學(xué)應(yīng)植根于學(xué)生的生活積累，植根于學(xué)生對(duì)原有基礎(chǔ)知識(shí)的理解程度，植根于對(duì)原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的感悟。總之，應(yīng)植根于學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)或生活體驗(yàn)。作為教師，我們平時(shí)要多關(guān)注學(xué)生的真實(shí)想法，多留心學(xué)生的習(xí)慣做法，分析把握學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和接受程度，研究學(xué)生的心理特點(diǎn)。例題教學(xué)的“色彩”多一些，能吸引更多雙眼睛，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，融進(jìn)探索性思考，以便激活學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)潛能。
　　例題的分析不只是教師自己對(duì)題目的解讀，而是給學(xué)生“閱讀”的時(shí)間，形成“讀后感”，教師適時(shí)介入進(jìn)行分析引導(dǎo)。通過設(shè)問獲取學(xué)生對(duì)例題已有的認(rèn)知程度與初步設(shè)想，如：提問學(xué)生“你從例題的已知條件中發(fā)現(xiàn)了什么？”、“根據(jù)圖形結(jié)合條件，你想用什么方法求出未知量？”、“還缺少什么條件？”等等。利用一些開放性設(shè)問，讓學(xué)生說出想法，找到學(xué)生思維的實(shí)際位置，繼而啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生思維，甚至可由學(xué)生分析完成。期間仍可由學(xué)生不斷補(bǔ)充、調(diào)整，使得原本閉塞的思路活躍起來，形成探究的欲望，從而找到解決問題的途徑。只有充分了解學(xué)生真實(shí)“距離”，教師才能知道需要給予學(xué)生多少幫助。教師先入為主“單口相聲”式的分析不易于溶入、發(fā)展學(xué)生的思維，不能發(fā)現(xiàn)解題過程中學(xué)生自身存在的問題與不足，只會(huì)造成學(xué)生的生搬硬套。例如：
　　八年級(jí)《可化為一元一次方程的分式方程》教學(xué)過程中，選例：
　　若關(guān)于x的方程=1的解是非負(fù)數(shù)，求a的取值范圍.
　　本例學(xué)生會(huì)直接求出方程的“解”x=-a-1，由題可得-a-1≥0，所以a≤-1。此時(shí)教師的提問：“解分式方程時(shí)應(yīng)注意什么？”問題的給出，強(qiáng)化了分式方程求解時(shí)檢驗(yàn)的重要性，未經(jīng)過檢驗(yàn)的結(jié)果不能稱其為分式方程的解，起到點(diǎn)睛作用。
　　例題教學(xué)是課堂教學(xué)中的重要環(huán)節(jié)，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，每接收一種新概念和掌握一種新知識(shí)、新方法，都需要通過一定量的例題教學(xué)來實(shí)現(xiàn)。教師只有抓好例題的教學(xué)，學(xué)生才能由簡(jiǎn)單模仿發(fā)展到開拓思維，掌握其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法，突出和強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法對(duì)解題的指導(dǎo)作用，最終實(shí)現(xiàn)知識(shí)與能力的共同提高。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　　［1］義務(wù)教育中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，2003.
　　［2］李士奇.數(shù)學(xué)教育心理學(xué).華東師大出版社，2001.
　　［3］方明月.如何進(jìn)行數(shù)學(xué)例題的教學(xué).中學(xué)教研，1991，（3）.
　　［4］邵光華，劉明海.數(shù)學(xué)語言及其教學(xué)研究［J］.課程教材教法，2005，（2）：35-4.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請(qǐng)以PDF格式閱讀”