高中數學等差數列章節知識易錯點內容探析

　　摘 要： 本文對解題過程中的問題進行了整理、梳理、匯總和研析，總結出學生易出現錯誤解答的原因：錯誤理解公差的取值而漏解，不能正確理解等差數列的性質，錯用等差數列前幾項和的性質。
　　關鍵詞： 高中數學 等差數列 易錯點
　　
　　等差數列知識點內容是高中數學學科數列章節知識體系的重要組成部分，是初中數學知識實數知識體系內容的有效升華，是一類特殊的數列。等差數列知識以其自身所具有的性質，在人們日常生活中有著深刻而又廣泛的應用。我通過對等差數列的定義、通項公式、等差中項概念、等差數列性質、等差數列判定方法，以及等差數列前n項和公式的推導和與等差數列的前n項和有關的等差數列的性質等知識內容的教學，發現學生在等差數列相關問題解答過程中，存在著這樣或那樣的問題。我在教學過程中，對學生解題過程中的問題進行了認真的整理、梳理、匯總和研析，原因主要有以下方面。
　　一、錯誤理解公差的取值而漏解
　　學生作為學習知識的主體，在等差數列概念、性質等內容的學習過程中，由于受思維能力水平局限性的影響（在等差數列中公差的取值可能為正值、負值或0），在解題時往往會主觀地認為公差大于0而造成漏解。在教學活動中，教師要引導學生正確而全面地理解概念及其性質，從而運用全面的思維理念，進行問題的有效解答。
　　例題：已知b是a，c的等差中項，且lg（a+1），lg（b-1），lg（c-1）成等差數列，且a+b+c=15，求a、b、c的值.
　　某一學生解題過程如下：
　　解：∵2b=a+c， a+b+c=15，∴3b=15，b=5.
　　設等差數列a，b，c的公差為d，則a=5-d，c=5+d.
　　∵2lg（b-1）=lg（a+1）+lg（c-1），
　　∴2lg4=lg（5-d+1）+lg（5+d-1）=lg［25-（d-1）］.
　　∴16=25-（d-1）∴（d-1）=9，∴d-1=3，d=4.∴a，b，c依次為1，5，9.
　　通過對等差數列公差的概念和取值方法等內容的分析，發現該解答過程中，在解（d-1）=9時，開平方得d-1=3，僅取了算術平方根是錯誤的。應該注意到在解題過程中，遇到求某數的算術平方根時一般應求出兩個值，再根據題設條件來決定取舍，如果僅取算術平方根，那么往往會發生漏解的現象。因此，正確的解答過程如下。
　　解：∵2b=a+c，a+b+c=15，∴3b=15，b=5.
　　設等差數列a，b，c的公差為d，則a=5-d，c=5+d.
　　∵2lg（b-1）=lg（a+1）+lg（c-1），∴2lg4=lg（6-d）+lg（4+d），
　　∴16=（6-d）（4+d），
　　∴d=4或-2，∴a，b，c的值依次是1，5，9或7，5，3.
　　二、不能正確理解等差數列的性質而出現解題錯誤
　　在等差數列{a}中，如果m，n，p，q∈N，且m+n=p+q，則a+a=a+a.但在解答相類似的問題過程中，學生一般會錯誤地將該結果總結為a=a+a.這就要求教師在進行這一問題教學過程中，在進行問題練習的基礎上，還要注意有效引導學生對等差數列的性質內容進行正確理解，找到進行等差數列解答的兩種最基本和最廣泛的性質：（1）若m+n=p+q（m，n，p，q∈N），一定有a+a=a+a（反之亦然）；（2）若（m+n）/2=p（m，n，p∈N），則一定有a+a=2a.從而使學生能夠熟記并靈活運用，實現學生對等差數列性質的正確運用。
　　例題：設{a}是等差數列，a=q，a=p（p≠q），試求a.
　　學生由于對等差數列的性質不能正確地理解，進行了如下解答：
　　∵設{a}是等差數列，∴a=a+a=p+q.
　　這時，我引導學生對等差數列的性質進行復習，學生發現了上述解題過程錯誤.紛紛說出正確解題過程為：
　　解：∵a=a+（p-1）d，a=a+（q-1）d，∴a+（p-1）d=q，a+（q-1）d=p，
　　組成方程組，得出：（p-q）d=q-p.
　　∵p≠q，∴d=-1.代入方程中，有a+（p-1）（-1）=q，
　　∴a=p+q-1，故a=0.
　　為使學生對等差數列的性質有準確和熟練的掌握和運用，我在進行上述問題訓練活動后，還向學生布置了“已知5個數成等差數列，且它們的和為25，它們的平方和為165，求這5個數.”等凸顯等差數列性質有效運用的綜合性問題，讓學生進行有效訓練，為學生提供進行問題解答的時機，從而為正確高效解答類似問題提供經驗和方法基礎。
　　三、錯用等差數列前n項和的性質
　　等差數列前n項和的性質作為等差數列章節性質內容的重要部分，是學生掌握等差數列知識內涵，正確解答等差數列問題的重要手段和途徑，但由于學生在解答等差數列{a}的前m項和S的過程中，往往由于思維慣性，經常將S，S-S，S-S成等差數列，誤認為S，S，S成等差數列而導致解題出錯。如在講解“等差數列{a}中，S=10，S=30，求S.”問題時，教師引導學生在進行這一問題解答過程中，有意提醒學生，要注意解答該類問題過程中，要切實避免“S，S-S，S-S成等差數列，誤認為S，S，S成等差數列”情況的發生。學生在教師的提醒和引導下，通過結合等差數列前n項和的性質解答方法，得出以下解題過程：
　　解：由條件得S=10，S-S=20，由性質得S-S=30，從而S=60.
　　總之，新課程教學目標的提出，為高中數學教師教學活動的開展提出了明確的要求，同時，通過對歷年高考試卷命題知識點的分析，數列內容在整個試卷總分的比重較大，考查的內容中包含了等差數列的知識要點及其性質內容，有效地考查了學生邏輯思維推理能力、運算能力，以及運用數列中的知識和方法分析問題與解決問題的能力。因此，在等差數列知識教學中，教師要善于尋找規律，找出學生解題錯誤所在，實行“針對性”、“實效性”的解題活動，幫助學生改正解題中的錯誤方法，實現學生良好思維習慣和學習能力的有效形成。
　　摘 要： 本文對解題過程中的問題進行了整理、梳理、匯總和研析，總結出學生易出現錯誤解答的原因：錯誤理解公差的取值而漏解，不能正確理解等差數列的性質，錯用等差數列前幾項和的性質。
　　關鍵詞： 高中數學 等差數列 易錯點
　　
　　等差數列知識點內容是高中數學學科數列章節知識體系的重要組成部分，是初中數學知識實數知識體系內容的有效升華，是一類特殊的數列。等差數列知識以其自身所具有的性質，在人們日常生活中有著深刻而又廣泛的應用。我通過對等差數列的定義、通項公式、等差中項概念、等差數列性質、等差數列判定方法，以及等差數列前n項和公式的推導和與等差數列的前n項和有關的等差數列的性質等知識內容的教學，發現學生在等差數列相關問題解答過程中，存在著這樣或那樣的問題。我在教學過程中，對學生解題過程中的問題進行了認真的整理、梳理、匯總和研析，原因主要有以下方面。
　　一、錯誤理解公差的取值而漏解
　　學生作為學習知識的主體，在等差數列概念、性質等內容的學習過程中，由于受思維能力水平局限性的影響（在等差數列中公差的取值可能為正值、負值或0），在解題時往往會主觀地認為公差大于0而造成漏解。在教學活動中，教師要引導學生正確而全面地理解概念及其性質，從而運用全面的思維理念，進行問題的有效解答。
　　例題：已知b是a，c的等差中項，且lg（a+1），lg（b-1），lg（c-1）成等差數列，且a+b+c=15，求a、b、c的值.
　　
　　某一學生解題過程如下：
　　解：∵2b=a+c， a+b+c=15，∴3b=15，b=5.
　　設等差數列a，b，c的公差為d，則a=5-d，c=5+d.
　　∵2lg（b-1）=lg（a+1）+lg（c-1），
　　∴2lg4=lg（5-d+1）+lg（5+d-1）=lg［25-（d-1）］.
　　∴16=25-（d-1）∴（d-1）=9，∴d-1=3，d=4.∴a，b，c依次為1，5，9.
　　通過對等差數列公差的概念和取值方法等內容的分析，發現該解答過程中，在解（d-1）=9時，開平方得d-1=3，僅取了算術平方根是錯誤的。應該注意到在解題過程中，遇到求某數的算術平方根時一般應求出兩個值，再根據題設條件來決定取舍，如果僅取算術平方根，那么往往會發生漏解的現象。因此，正確的解答過程如下。
　　解：∵2b=a+c，a+b+c=15，∴3b=15，b=5.
　　設等差數列a，b，c的公差為d，則a=5-d，c=5+d.
　　∵2lg（b-1）=lg（a+1）+lg（c-1），∴2lg4=lg（6-d）+lg（4+d），
　　∴16=（6-d）（4+d），
　　∴d=4或-2，∴a，b，c的值依次是1，5，9或7，5，3.
　　二、不能正確理解等差數列的性質而出現解題錯誤
　　在等差數列{a}中，如果m，n，p，q∈N，且m+n=p+q，則a+a=a+a.但在解答相類似的問題過程中，學生一般會錯誤地將該結果總結為a=a+a.這就要求教師在進行這一問題教學過程中，在進行問題練習的基礎上，還要注意有效引導學生對等差數列的性質內容進行正確理解，找到進行等差數列解答的兩種最基本和最廣泛的性質：（1）若m+n=p+q（m，n，p，q∈N），一定有a+a=a+a（反之亦然）；（2）若（m+n）/2=p（m，n，p∈N），則一定有a+a=2a.從而使學生能夠熟記并靈活運用，實現學生對等差數列性質的正確運用。
　　例題：設{a}是等差數列，a=q，a=p（p≠q），試求a.
　　學生由于對等差數列的性質不能正確地理解，進行了如下解答：
　　∵設{a}是等差數列，∴a=a+a=p+q.
　　這時，我引導學生對等差數列的性質進行復習，學生發現了上述解題過程錯誤.紛紛說出正確解題過程為：
　　解：∵a=a+（p-1）d，a=a+（q-1）d，∴a+（p-1）d=q，a+（q-1）d=p，
　　組成方程組，得出：（p-q）d=q-p.
　　∵p≠q，∴d=-1.代入方程中，有a+（p-1）（-1）=q，
　　∴a=p+q-1，故a=0.
　　為使學生對等差數列的性質有準確和熟練的掌握和運用，我在進行上述問題訓練活動后，還向學生布置了“已知5個數成等差數列，且它們的和為25，它們的平方和為165，求這5個數.”等凸顯等差數列性質有效運用的綜合性問題，讓學生進行有效訓練，為學生提供進行問題解答的時機，從而為正確高效解答類似問題提供經驗和方法基礎。
　　三、錯用等差數列前n項和的性質
　　等差數列前n項和的性質作為等差數列章節性質內容的重要部分，是學生掌握等差數列知識內涵，正確解答等差數列問題的重要手段和途徑，但由于學生在解答等差數列{a}的前m項和S的過程中，往往由于思維慣性，經常將S，S-S，S-S成等差數列，誤認為S，S，S成等差數列而導致解題出錯。如在講解“等差數列{a}中，S=10，S=30，求S.”問題時，教師引導學生在進行這一問題解答過程中，有意提醒學生，要注意解答該類問題過程中，要切實避免“S，S-S，S-S成等差數列，誤認為S，S，S成等差數列”情況的發生。學生在教師的提醒和引導下，通過結合等差數列前n項和的性質解答方法，得出以下解題過程：
　　解：由條件得S=10，S-S=20，由性質得S-S=30，從而S=60.
　　總之，新課程教學目標的提出，為高中數學教師教學活動的開展提出了明確的要求，同時，通過對歷年高考試卷命題知識點的分析，數列內容在整個試卷總分的比重較大，考查的內容中包含了等差數列的知識要點及其性質內容，有效地考查了學生邏輯思維推理能力、運算能力，以及運用數列中的知識和方法分析問題與解決問題的能力。因此，在等差數列知識教學中，教師要善于尋找規律，找出學生解題錯誤所在，實行“針對性”、“實效性”的解題活動，幫助學生改正解題中的錯誤方法，實現學生良好思維習慣和學習能力的有效形成。
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”