概率論思想的發(fā)展歷程淺述

　　摘 要： 本文以年代為線索，以代表人物為依托，初步探討了概率論的發(fā)展狀況，使我們對概率論思想的發(fā)展歷程有個大致的了解。
　　關鍵詞： 概率論 發(fā)展 歷程
　　
　　一、早期概率論思想的形成
　　概率論的歷史始于17世紀中葉。據(jù)說，1654年左右，愛好賭博的法國人梅雷（1610-1685）寫信向帕斯卡（1623-2662）請教，于是帕斯卡和費馬（1601-1665）在通信中討論了“點數(shù)問題”“骸子問題”等，他們用排列組合理論得出正確解答，并提出了數(shù)學期望的這一核心概念。1655年惠更斯（1629-1695）在巴黎時了解到費馬和帕斯卡通信的結果，回到荷蘭后，寫了一篇短文《論賭博中的計算》，提出把概率建立在“期望”的基礎上。
　　1.古典概型思想的形成
　　從討論賭博問題開始的初期概率論，主要研究的是一個試驗只有有限個基本事件，且每個基本事件出現(xiàn)的概率相等。可是通常要考慮的是一個隨機試驗反復出現(xiàn)的情況。比如擲一枚骸子，共擲n次，那么其中出現(xiàn)m次6點的概率是多少呢?這屬于伯努利概型。它的計算方法是設某事件E在一次試驗中出現(xiàn)的概率為p，則不出現(xiàn)的概率為1-p，那么n次試驗中出現(xiàn)m次事件E的概率為：p（m）=Cp（1-p），然而，當n無窮大時，概率的計算是相當麻煩的，而且如果不知道事件在一次試驗中的概率，就無法用上面的公式計算n次試驗中事件出現(xiàn)的概率。不過，任何人都能觀察到在大量重復同一試驗時，某一事件出現(xiàn)的頻率會越來越穩(wěn)定于某一數(shù)值，這就是大數(shù)定律的思想所在。［１］真正使概率論作為一門獨立數(shù)學分支的奠基人是雅各布?伯努利（1654-1705），他的興趣不在這一定律的內容，而是證明它。他在《猜度術》（1713）中給出了“伯努利定律”——這就是“大數(shù)定律”的最早形式。
　　繼伯努利之后，棣莫弗（1667-1754），蒲豐（1707-1788），貝葉斯（約1702-1761）等對概率論作出了奠基性貢獻。其中，棣莫弗在1718年把《抽簽的計算》修改擴充為《機會論》，這是概率論較早的專著之一，它首次定義了獨立事件的乘法定理，給出二項分布公式。后來，他還利用自己以前導出的關于的漸近公式，即所謂的斯特林公式，證明了概率為1/2時的二項分布收斂于正態(tài)分布的棣莫弗—拉普拉斯定理。
　　2.幾何概型思想的產生
　　現(xiàn)實生活中人們必須把等可能思想應用到含無窮多個事件的情況，就產生了幾何概率。其中蒲豐于1777年發(fā)表的《或然性試驗》，首先提出并解決了現(xiàn)在著名的“蒲豐投針問題”。隨后的幾十年里幾何概率分別在英國和法國獲得獨立發(fā)展。
　　相反地，基于觀察到的后果事件來計算原因事件的概率，這屬于逆概率問題，即所謂的“執(zhí)果循因”。關于這方面的工作，我們就不能不提到貝葉斯定理:假定A，…，A是兩兩不相容事件，且對一切i有P（A）>0，則對任意事件B，有：P（A/B）=，i=1，2，…，k，此時P（A）叫做先驗概率，而P（A/B）是原因A的后驗概率。他的方法是，在計算一個事件的概率時，使用了人們對這個事件概率的一個估計，即先驗概率。
　　二、概率論思想的進一步發(fā)展
　　1.概率研究方法由組合到分析的轉化
　　自牛頓（1643-1727）和萊布尼茨（1646-1716）創(chuàng)立微積分以后，概率論的研究便有了全新的工具。［２］1812年拉普拉斯出版了他的《概率的分析理論》，該書明確地給出了概率的古典定義;獨立事件的加法、乘法法則；推廣了伯努利在大數(shù)定律方面的工作，導出了如下形式的二項分布漸近于正態(tài)分布的中心極限定理（后稱棣莫弗—拉普拉斯定理）:
　　盡管影響事件結果的隨機因素很多，但是每一個因素對結果的影響都不大，比如，影響射擊結果的因素有:子彈規(guī)格的微小差別、風力、空氣的濕度，等等，其中每一個的影響都不顯著，然而這些因素合起來就會有明顯的作用，所以人們就得研究這些隨機變量的和。中心極限定理研究的就是隨機變量的和漸近于正態(tài)分布的規(guī)律性，它也可以給出變量偏離程度的定量描述。高斯（1777-1855）在這方面作出了貢獻。因為他在討論行星軌道問題時為了處理觀測誤差而引進了最小二乘法，并把最小二乘法同概率聯(lián)系起來，對估計量提供了算法。
　　2.分析概率論研究的深化
　　法國的數(shù)學家，尤其是拉普拉斯和泊松，他們對概率論的研究很快被人們了解，并且在俄國取得了進一步的發(fā)展。
　　19世紀俄國最偉大的數(shù)學家切比雪夫（1821-1894）在極限理論方面作出了重要貢獻。他對概率論兩類最重要的主題:大數(shù)定律、中心極限定理取得了相當大的進展，并且培養(yǎng)了馬爾科夫（1856-1922）、李亞普諾夫（1857-1918）等杰出的數(shù)學家。其中1866年出版的《論均值》包含了兩條十分重要的命題:
　　第一條:如果用a，b，c，…表示離散隨機變量x，y，z，…的數(shù)學期望，用a，b，c，…表示x，y，z，…的數(shù)學期望。令
　　L=a+b+c+…-a，
　　M=a+b+c…+a，其中a>0，那么P（L≤x+y+z+…≤M）>1-1/α。或者，假設
　　L′=-，
　　M′=+，
　　其中n是變量x，y，z，…的個數(shù)，那么，顯然有：
　　P（L′≤≤M′）>1-。
　　第二條是第一條的推論：
　　（1）如果a，b，e，…與a，b，c，…一致有界，那么
　　（|-|＜ε）=1
　　（2）令b=c=…=a，b=c=…=a，則P（|-a＜ε|）=1，實際上，第一個命題是切比雪夫不等式P（|ξ-Eξ|＜β）＞1-Dξ/β的一個證明;第二個命題就是著名的切比雪夫大數(shù)定律。特別的，如果讓x，y，z，…分別以概率1-p及p取值0和1，就可以由切比雪夫大數(shù)定律推出伯努利大數(shù)定律。
　　發(fā)現(xiàn)大數(shù)定律的一般條件，就能揭示平均值的統(tǒng)計穩(wěn)定性，即隨機的規(guī)律性。馬爾可夫第一個嚴格證明了一般條件下的中心極限定理;削弱了中心極限定理與大數(shù)定律的條件限制，把隨機變量互相獨立的情況推廣到變量相關的情況，把相關隨機變量引入概率論研究。他最重要的貢獻在于研究了相關隨機變量的和及平均值的性質。
　　三、近代公理化概率思想的發(fā)展
　　最早對概率論進行公理化嘗試的是俄國數(shù)學家伯恩斯坦（1880-1968）和奧地利數(shù)學家米澤斯（1853-1953）。［３］1927年伯恩斯坦發(fā)表了一篇“論概率論的公理化基礎”的文章，同年他的《概率論》第一版出版。該書給出了一個詳細的概率論公理體系，他假定我們在自然科學中的推理是基于以往的經驗，只要給定的條件集合a實現(xiàn)，屬于已知類A的一個事件必然發(fā)生，這和其他因素無關。然而，只有當條件集合a不太大，而且易于觀測時，把a和A聯(lián)系起來的規(guī)律才有實際意義。如果這個條件不成立，事件A就叫做隨機事件。然后他試著引進一個簡單點的條件集合來代替a，它可以重復實現(xiàn)無限多次，當存在時，給定試驗中事件A以一個明確的概率發(fā)生，而且這個概率可以用數(shù)值表示。如果也定義了事件B的概率，那么下面三個關系必有一個成立:P（A）=P（B）；P（A）>P（B）；P（A）　　從20世紀20年代開始，通過對概率論基本概念——事件與概率的仔細分析，人們發(fā)現(xiàn)事件的運算與集合的運算完全類似，概率與測度有相同的性質。在這方面的研究最卓著的是原蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫戈洛夫，他通過函數(shù)論的方法和概念，建立大數(shù)定律適用性的充分必要條件。1926年，柯爾莫哥洛夫得到了這些條件，他證明了下列定理:
　　一列互相獨立的隨機變量ξ，ξ，ξ，…，ξ，服從（弱）大數(shù)定律，當且僅當n→∞時，滿足下列關系:（1）dF（4x）→0；（2）（1/n）（xdF（x）→0；（3）（1/n）xdF（x）→0，這里F（x）表示p（ξ-Mξ＜x）。這個定理完全解決了概率論的一個中心問題——（弱）大數(shù)定律。
　　1933年，柯爾莫戈洛夫以德文出版了他的經典性著作《概率論基礎》，這可以說是概率論的一個里程碑。他建立了在測度論基礎上的概率論的公理化體系，奠定了近代概率論的基礎。這一公理體系著眼于規(guī)定事件及事件概率的最基本的性質和關系，并用這些規(guī)定來表明概率的運算法則。
　　法國數(shù)學家萊維（1886-1971），原蘇聯(lián)數(shù)學家辛欽，日本數(shù)學家伊藤清（1915-）等又在公理化基礎上取得了一系列理論突破。如，萊維從樣本函數(shù)角度研究隨機過程的思想，辛欽證明了重對數(shù)律，20世紀40年代伊藤清率先對布朗運動引進隨機積分由此建立了概率論的一個新分支——隨機分析學。
　　簡言之，公理化就是將概率概念從具體頻率解釋抽象出來，然后再從公理化系統(tǒng)回到現(xiàn)實世界之中。這樣，概率論的應用范圍大大拓寬了。
　　
　　參考文獻：
　　［1］陳傳勝.概率論簡史［J］.數(shù)學通報，2004，（10）.
　　［2］徐伯華.概率論誕生的思想歷程［J］.咸陽師范學院學報，2006，（4）.
　　［3］［美］VictorJ.Katz.數(shù)學史通論［M］.北京:高等教育出版社，2004.