淺析數項級數收斂性的教學

　　摘 要： 數項級數是高等數學中重要的一章。但學生不知如何去判斷其收斂性。本文作者注意到比式和根式判別法的優點是不依賴于其他級數，而比較判別法需要依賴其他級數，所以在判斷過程中優先利用比式和根式判別法。并由此給出了判斷正項級數和一般數項級數的過程圖。學生憑借過程圖可順利完成級數收斂性的判斷。
　　關鍵詞： 數項級數 收斂性 判別法
　　
　　一、數項級數的概念及判別方法解析
　　數項級數是高等數學教學中的重點，也是學生考研的重要的知識點.因此，學好數項級數的收斂性就顯得相當迫切.但現實是學生看到級數后不知所措.我主要針對這個現象給出自己的一些教學所得.
　　首先，我們回顧常用的基本概念和重要的判別方法，并解析重要的判別定理.由于結論的普遍性，我們不給出結論的證明.讀者可參見文獻.
　　定義1.1給定數列u，u，u，…，u，…稱表達式u=u+u+u+…+u+…為以u為通項的常數項級數或數項級數；如果u≥0對任意n≥1成立，則我們稱級數u為正項級數；類似地，我們稱(-1)u和(-1)u為交錯級數.
　　由上面的定義可知級數是無窮項的和，而無窮是很抽象的概念.記數列的前n項和S=u，結合極限概念，有：
　　定義1.2（1）我們稱級數u收斂，如果S=S（常數）.如果S不存在，則稱級數u發散.（2）級數u稱為絕對收斂的，如果|u|收斂.級數u稱為條件收斂的，如果|u|發散并且u收斂.
　　由定義1.2（1）可知，如果可以求得級數u的前n項和S，再求極限就可得級數的收斂性.但是S并不易求.例如.因此判斷數項級數的收斂性必須要用新的方法.
　　注意到級數的一般項u是比較易得的，由此可得：
　　定理1.3若級數u收斂，則u=0.
　　注意定理不是充要條件，即u=0不能得到u收斂.例如.本定理的用途是判斷級數發散.例如n.那么，有沒有直接判斷的方法呢？
　　對于一般的數項級數而言，要判斷三種可能的收斂性：1.絕對收斂；2.條件收斂；3.發散.特別地，對正項級數而言，就變成了收斂和發散兩種情況.注意到|u|是正項級數，因此判斷正項級數的收斂性就非常重要了.下面給出正項級數收斂性判斷的充分條件.
　　定理1.4（比較判別法）設u和v為正項級數，并且=l，則：
　　（1）當0＜l＜+∞時，u與v收斂性相同；
　　（2）當l=0時（u≤v），若v收斂，則u收斂；
　　（3）當l=+∞時（u≥v），若v發散，則u發散.
　　記憶定理的第二、三條時，可以分別粗略地認為是u小于v（高階無窮小）和u大于v（高階無窮大）.應用定理時須牢記的收斂性.一般選擇v=其中p為將u化為的形式中f(n)中n的冪函數部分最高次項（常數）.例如(-)可選v=得級數發散.另外，偶爾也會用到a（a∈R）的收斂性.注意到比較判別法依賴于其他級數，有時v不易找到.例如.自然產生問題：是否存在一種方法不依賴于級數本身之外的其他級數來判斷級數的收斂性?
　　定理1.5（比式判別法）設u為正項級數，且=ρ，則：
　　（1）當0≤ρ＜1時，級數u收斂；
　　（2）當ρ=1時，該法失效，請選用其他方法判斷；
　　（3）當ρ＞1或ρ=+∞時，級數u發散.
　　定理1.6（根式判別法）設u為正項級數，且=ρ，則：
　　（1）當0≤ρ＜1時，級數u收斂；
　　（2）當ρ=1時，該法失效，請選用其他方法判斷；
　　（3）當ρ＞1或ρ=+∞時，級數u發散.
　　定理1.5和1.6克服了比較判別法依賴其他級數的缺點，但它們在ρ=1或不存在（非無窮）時失效.另外，它們對含有n!或n型項的級數具有極大的優越性.例如，由定理1.5可得，=ρ=e＞1級數發散.
　　對非正項級數，我們主要介紹交錯級數的萊布尼茨判別法，以及根式比式發散定理.注意到研究|u|的收斂性時會用到定理1.4、1.5或1.6，所以有：
　　命題1.7u為數項級數則：
　　（1）|u|收斂，則u收斂且絕對收斂.
　　（2）若|u|發散（由定理1.5或1.6得出），則u發散.
　　證明：（2）若|u|發散由定理1.5或1.6得出，則|u|≠0，則u≠0，由定理1.3可知u發散.
　　由命題1.7可知，利用定理1.5或1.6可以得到級數的收斂性.若|u|發散是其他定理得出的，該如何？我們應該繼續研究級數本身的收斂性，以考查是否條件收斂.雖然我們不能直接判斷每個非正項級數的收斂性，但對交錯級數，有：
　　定理1.8（萊布尼茨判別法）若交錯級數（-1）u滿足條件：
　　（1）u≥u，（2）u=0，則級數(-1)u收斂.
　　二、判斷級數收斂性過程圖
　　結合第一章的分析給出正項級數收斂性判定的過程圖，我們總結出數項級數的判斷流程.由此學生可以順利地判斷數項級數的收斂性.
　　首先，我們給出下列判斷正項級數收斂性的過程：
　　方法2.1對于正項級數u，優先用定理1.5或1.6去判斷，若得到級數收斂或發散則下結論.若定理1.5或1.6失效，則可選擇定理1.4去判斷.其過程圖如下：
　　例2.2判斷級數的收斂性
　　在方法2.1的基礎上，結合命題1.7和定理1.8，我們給出數項級數收斂性的判斷過程如下：
　　解：由定理1.5或1.6得到ρ=1，此時失效.由定理1.4取v=（注意不是），則=1.又發散，所以原級數發散.
　　方法2.3對于數項級數u，不妨設u為非正項級數.先用定理1.4、1.5或1.6判斷|u|的收斂性.
　　（1）若|u|收斂則由命題1.7（1）判斷u絕對收斂；
　　（2）若|u|發散由定理1.5或1.6得出，則由命題1.7（2）判斷u發散；
　　（3）若|u|發散由定理1.4得出，則交錯級數一般利用定理1.8（非交錯級數可用其他方法）直接判斷u的收斂性.其過程圖如下：
　　以上過程圖直觀地給出了判斷數項級數的收斂性過程.下面給出例子來熟悉一下這個過程.
　　例2.4(-1)的收斂性
　　解：考慮級數。注意到定理1.5或1.6失效.由定理1.4取V=，則發散.由定理1.8可知，（-1）收斂，綜上原級數條件收斂.
　　方法2.3是判斷數項級數收斂性的普遍過程，但有時不是最簡便的.例如非正項級數的通項中含有正、余弦函數時，我們可以直接用定理1.4.
　　例2.5sin的收斂性
　　解：因為sin≤1，所以sin≤.又因為收斂，故收斂sin，綜上sin絕對收斂.
　　本文的目的是給展示學生一個程序化的解題過程，所以只給出了所提方法中要用到的定理和概念，敬請讀者指正.
　　
　　參考文獻：
　　［1］朱杏華，王順，夏大峰等.高等數學（下）［M］.北京:清華大學出版社，2009:204-224.
　　［2］王順風，陳曉龍，張建偉.高等數學（下）［M］.北京:高等教育出版社，2009：230-250.
　　
　　本研究受到南京信息工程大學科研啟動基金及江蘇省高校自然科學基金（11KJB110007）的支持。