三角形中一個有趣的面積問題

　　本文介紹一個關于三角形面積問題的結論，供讀者參考.
　　結論：若P是△ABC內的一點，且x+y+z=.（x，y，z∈R）則S∶S∶S=x∶y∶z，且S+S+S=.
　　證明：如圖，分別在直線PA，PB，PC上取A′，B′，C′，使得=x，=y，PC′=z，則++=.
　　故P是△A′B′C′的重心，則S=S=S=S，而===，即S=yzS.
　　同理，S=xzS，S=xyS，∴S∶S∶S=∶∶=x∶y∶z，而x+y+z=，
　　∴xS+yS+zS=S=
　　∴xyzS+yxzS+zxyS=.
　　∴S+S+S=.
　　不難得到下述結論：
　　（1）若P是△ABC的重心，則S∶S∶S=1∶1∶1，且S+S+S=.
　　（2）若P是△ABC的內心，S∶S∶S=a∶b∶c（其中a，b，c為△ABC的三邊），且a+b+c=.
　　（3）若P是△ABC的外心，則S∶S∶S=sin2A∶sin2B∶sin2C或S∶S∶S=acosA∶bcosB∶csocC（其中a、b、c為△ABC的三邊，A、B、C為△ABC的三內角），且sin2A+sin2B+sin2C=，或acosA+bcosB+ccosC=0.
　　（4）若P是△ABC的垂心，則S∶S∶S=tanA∶tanB∶tanC（其中A、B、C為△ABC的三內角），且tanA+tanB+tanC=.
　　下面舉例說明此結論的應用.
　　例1.（2004年全國數學聯賽試題）設點O在△ABC內部，且有+2+3=.則△ABC的面積與△AOC的面積的比為（）
　　A.2. B.C.3 D.
　　解析：由上述結論可知S∶S∶S=1∶2∶3，故==3.故選C.
　　例2.（2008年全國數學聯賽江蘇預賽試題）已知點O在△ABC內部，+2+2=.△ABC與△OCB的面積之比為.
　　解析：由上述結論可知S∶S=5∶1.
　　例3.（2006年全國數學聯賽吉林預賽試題）已知P是△ABC內的一點，且3+4+5=，那么，△APB，△BPC，△APC的面積之比為.
　　解析：由上述結論可知S∶S∶S=5∶3∶4.
　　例4.（2008年全國數學聯賽吉林預賽試題）已知A、B、C是平面上不共線的三點，O是三角形ABC的重心，動點P滿足=?++2，則P點一定為三角形的（）
　　A.AB邊中線的中點B.AB邊中線的三等分點（非重心）
　　C.重心 D.AB邊的中點
　　解析：由題設O是三角形ABC的重心，所以由上述結論可知++=，因此=?++2=（++4）=?（-+4）=，故P在AB邊中線的三等分點處（非重心），故選B.
　　例5.設P是△ABC內的一點，且滿足=+，則=，S+S+SPC=.
　　解析：由題設得=（-）+（-），整理得：9+4+3=，由上述結論可S∶S∶S=9∶4∶3，∴=，S+S+S=.
　　例6.（2009年全國數學聯賽吉林預賽試題）已知I是△ABC內的內心，AC=2，BC=3，AB=4，若=x+y，則x+y的值為（）
　　A. B. C. D.
　　解析：由已知得=x（-）+y（-），整理得（1-x-y）+x+y=，由上述結論可知（1-x-y）∶x∶y=a∶b∶c=3∶2∶4，故x+y=+=，選B.
　　
　　參考文獻：
　　［1］中國數學會普及工作委員會.2010高中數學聯賽備考手冊（預賽試題集錦）.華東師范大學出版社.