在中學數(shù)學教學中領悟數(shù)學之“美”

　　摘 要： 如何在中學數(shù)學教學中展現(xiàn)數(shù)學美，以及挖掘數(shù)學美，對于提高學生的數(shù)學學習能力具有重要作用。本文舉例介紹了數(shù)學的“對稱之美”、“簡潔之美”、“統(tǒng)一之美”和“奇異之美”，目的在于落實中學數(shù)學教學的數(shù)學美育教學功能，培養(yǎng)學生的數(shù)學審美意識，進一步提升學生的數(shù)學學習興趣。
　　關鍵詞： 中學數(shù)學教學 數(shù)學之美 數(shù)學美育
　　
　　數(shù)學是研究客觀世界的空間形式和數(shù)量關系的科學，它似乎給人以高度抽象、枯燥單調(diào)之感。其實不然，“數(shù)學家在創(chuàng)造活動中總有情感、意志、信念、希冀等審美因素，因此在數(shù)學的數(shù)字和公式中都蘊含豐富的審美內(nèi)容。”古代的哲學家、數(shù)學家普洛克拉斯曾說：“哪里有數(shù)，哪里就有美。”英國哲學家羅素也指出：“數(shù)學，如果正確地看它，不但擁有真理，而且擁有至高的美，正像雕刻的美，是一種冷面嚴肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱方面，這種美沒有繪畫或音樂那樣華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達到嚴格的具有最大的藝術才能現(xiàn)實的完美的境界。”數(shù)學美是數(shù)學科學的本質力量的體現(xiàn)，是一種真實的美，它不僅有表現(xiàn)的形式美，而且有內(nèi)容美與嚴謹美；不僅有具體的公式、定理美，而且有結構美和整體美；不僅有語言精巧美，而且有方法美與思路美；不僅有邏輯抽象美，而且有創(chuàng)造美與應用美。
　　在中學數(shù)學課堂中如何展現(xiàn)數(shù)學美，以及開掘數(shù)學美？如何培養(yǎng)學生對數(shù)學美的審美意識，提高學生鑒賞數(shù)學美、追求數(shù)學美的能力？探討以上問題，有利于在數(shù)學教學中真正把數(shù)學美育的功能切切實實地落實在中學數(shù)學的課堂上。
　　一、對稱之美
　　具有對稱性的東西，給人以圓滿的勻稱美感和精神享受。例如，人體、樹葉、房屋等很多物體都是對稱的。人們欣賞對稱的美，對稱也給人類生活帶來方便。對稱美在數(shù)學中隨處可見。例如：
　　（1）立體幾何中的正方體、長方體、正四面體、圓錐、圓臺、棱臺等都是對稱的幾何體。
　　（2）在解析幾何中，拋物線、雙曲線、圓、橢圓都是對稱的。還有，方程及ρ=asin3θ及ρ=acos3θ，ρ=asin2θ及ρ=acos2θ所表示的三葉玫瑰線、四葉玫瑰線也是對稱的。
　　（3）在代數(shù)中的互為反函數(shù)的圖像關于直線y=x對稱；奇函數(shù)的圖像關于原點對稱；偶函數(shù)的圖像關于y軸對稱，等等。
　　數(shù)學中的對稱不僅表現(xiàn)在幾何圖形上，在數(shù)學表達式中也大量存在。如二項式展開系數(shù)，即著名的楊輝三角就具有對稱性，三角形中恒等式、不等式也具有對稱性。
　　其實，數(shù)學中的對稱美不僅給我們帶來直觀上美的享受，而且把對稱美應用到解題中，有時候會大大地降低解題的難度。如，在等差數(shù)列的習題中有這樣一個題目：在等差數(shù)列{a}中，若a+a+a+a，則S=?搖?搖?搖。
　　分析：等差數(shù)列中存在對稱美：當i+j=m+n時，有a+a=a+a，由對稱性知：a+a=a+a=10，S=（a+a）+（a+a）+…+（a+a）=10×10=100。通過對稱美的挖掘引導學生應用數(shù)學美，使學生從行之有效的數(shù)學方法和靈活巧妙的解題技巧中感受和發(fā)現(xiàn)數(shù)學美，并通過優(yōu)化自己的解題方法和解題技巧來創(chuàng)造數(shù)學美。
　　二、簡潔之美
　　簡潔性是數(shù)學的特點，也是數(shù)學美的特征。在數(shù)學教學中，應該追求簡單美，顯現(xiàn)數(shù)學本質。數(shù)學的簡單之美表現(xiàn)在以下幾個方面。
　　1.數(shù)學語言是簡潔、精煉、準確的。
　　數(shù)學中的一個概念、一個定理、一個方程式和一個函數(shù)關系式，往往在形式上表現(xiàn)得極為簡潔，高度體現(xiàn)出數(shù)學的概括性，但是它們反過來可以解釋更多的現(xiàn)象，這正是我們數(shù)學的威力、美的體現(xiàn)。
　　如開普勒花勒十幾年的實踐獲得的行星運動第三定律：T=R（T是公轉周期，R是橢圓軌道長半軸）。
　　牛頓第二運動定律：F=ma
　　愛因斯坦的質能方程：E=mc
　　它們都簡明、精確、千錘百煉。
　　2.數(shù)學問題解決的簡潔性。
　　對于數(shù)學問題的解決，把復雜的形式轉化為最簡單的形式，使問題得以簡化，進而能夠利用簡單的方法達到解決問題的目的。這種以數(shù)學美的簡潔性為出發(fā)點，體現(xiàn)了思維的經(jīng)濟化。如勾股定理的證明，從古到今，有370多種各具巧思的證明，這些證明都是以最短的途徑、最好的方式架設起通往人類心靈的智慧之橋。
　　三、統(tǒng)一之美
　　在數(shù)學中，表面上看來不相同的概念、定理、法則，在一定條件下，可以處在一個統(tǒng)一體中。平面幾何中的相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線長定理，都可以統(tǒng)一于圓冪定理中。
　　解析幾何中的圓、橢圓、雙曲線、拋物線都可以統(tǒng)一于圓錐曲線之中。
　　在三角函數(shù)的恒等變換中有“萬能置換公式”：
　　sinx=，cosx=，tanx=其中t=tan，利用這一公式可以將各種三角函數(shù)的有理式統(tǒng)一化為tan的代數(shù)式。
　　在集合論建立以后，代數(shù)中的“運算”，幾何中的“變換”，分析中的“函數(shù)”這三個不同領域的概念可以統(tǒng)一于“映射”概念之中。
　　數(shù)與形本是數(shù)學研究中的兩個獨立的對象，對它們的研究，分別構成了代數(shù)與幾何，然后通過坐標系的建立，使點與數(shù)建立了對應，從而把代數(shù)研究的對象與幾何研究的對象——方程與曲線聯(lián)系了起來，實現(xiàn)了統(tǒng)一。
　　再如歐氏幾何內(nèi)容繁多，錯綜復雜，變化無窮，然而可以統(tǒng)一在五組公理之下。
　　另外，數(shù)學美的統(tǒng)一性還表現(xiàn)為數(shù)學方法的統(tǒng)一。
　　從數(shù)學發(fā)展的規(guī)律來看，數(shù)學的發(fā)展將日益證明數(shù)學的統(tǒng)一性。為了使龐大的數(shù)學體系變得簡單而精確，人們經(jīng)常依據(jù)數(shù)學各領域的共性，提出統(tǒng)一數(shù)學各部分的新觀點、新理論和新方法。
　　四、奇異之美
　　奇異是數(shù)學美的重要體現(xiàn)。奇異性是指數(shù)學中原有的習慣法則和統(tǒng)一格局被新的事物（思想、理論、方法）所突破，或出乎意料、超乎想象的結果所帶來的新穎和奇特，往往會引起人們思想上的震動。奇異美和統(tǒng)一美之間是一種對應統(tǒng)一的關系，必須把這兩個相互對應的方面結合起來，以便在新的層次上達到更高的統(tǒng)一。
　　一個十分有趣的例子，蒲豐用投針求解圓周率π的近似值。1777年的一天，蒲豐突發(fā)奇想，把許多朋友都請到家中，做了一個令人感到奇怪的試驗。他把事先畫好的一條條具有等距離的平行線的白紙，鋪在桌子上，然后又拿出一大把質量均勻的、長度都是平行線的間距一半的小針，請客人們把這些小針一根一根地隨便放到紙上。而蒲豐則在一旁專注觀察并計數(shù)，共投2212次，其中與任一平行線相交的有704次，蒲豐又做了簡單除法：2212/704=3.142，然后宣布：“這就是圓周率π的近似值。”在當時，計算圓周率π是非常困難的，一般都是利用計算圓內(nèi)切或外切正多邊形的邊長去逼近，而它竟然和一個表面看來風馬牛不相及的投針試驗結合在一起，豈不令人驚奇。這樣用偶然方法去做確定性計算，充分顯示了數(shù)學方法的奇異美。
　　數(shù)學的奇異美在數(shù)學的發(fā)展過程中體現(xiàn)得淋漓盡致。例如，在歐氏幾何占據(jù)統(tǒng)治的年代，非歐幾何的思想是“奇異”而“荒誕”得思想。雖說高斯在1816年左右就具有了非歐氏幾何得思想，但當時他也不敢公開這種奇異的想法。直到1826年俄國數(shù)學家羅巴切夫斯基才第一個公開地提出了非歐氏幾何理論——羅氏幾何。所以，奇異所造成得并不總是消極的影響，恰好相反，在它們中間常常孕育著新的巨大發(fā)展的可能性，體現(xiàn)了理論與思想的巨大創(chuàng)新與變革。
　　再比如說，再課本中有這樣的典型題：已知a、b、m∈R且a＜b，求證：＜。這個問題就是一個內(nèi)涵非常豐富的問題。可從以下幾個問題進行延伸：
　　（1）在化學上，這個表示：在濃度的溶液中加入溶質m時，溶液的濃度會變大（所述的不等式“不論自明”）。
　　（2）在平面幾何中，與分別表示直線om與直線on的斜率，利用結論可以解決相應的問題。
　　（3）比較與的大小。
　　通過以上問題的深刻挖掘，讓學生逐步理解到數(shù)學的奇異美來源于現(xiàn)實世界，又將現(xiàn)實世界的數(shù)量關系進行“高度的抽象化”，從而具有廣泛的應用性。
　　數(shù)學是一個充滿著生氣的瑰麗多姿的世界，讓人類思維開出燦爛的花朵，是思維高原上的一座宏偉的殿堂。數(shù)學中的美的因素是多種多樣的，就像綠葉叢中的鮮花一樣，時時發(fā)出奪目的光彩。數(shù)學美隱藏在數(shù)學教材之中，所以要想在教學中體現(xiàn)出它的思想價值，需要教師有意識、有目的地挖掘、整理蘊涵于其中的數(shù)學美知識，師生一起作為審美主體對各種形式的數(shù)學美進行賞析并做出恰當?shù)膶徝涝u價，引導學生學會鑒賞數(shù)學美、創(chuàng)造數(shù)學美，這是現(xiàn)代教育對數(shù)學教育提出的新課題。中學數(shù)學教師完全有能力充分利用現(xiàn)有條件，加強學習，積極利用數(shù)學美進行教學改革實驗，培養(yǎng)數(shù)學美對學生的審美意識，努力提高學生的綜合素質。
　　
　　參考文獻：
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