對初中數學學習中分類討論的探究

　　分類討論思想既是解決問題的一種邏輯方法，又是一種數學思想，這種思想在簡化研究對象，發展思維方面起著重要作用。因此，有關分類討論思想的數學命題在中考試題中占有重要地位.
　　所謂分類討論，就是在研究和解決數學問題時，當問題所給對象不能進行統一研究，我們就需要根據數學對象的本質屬性的相同點和不同點，將對象區分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結果得到整個問題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論的思想”.利用分類討論思想解決數學問題時需要對問題進行科學的合理分類，然后逐類進行討論，從而使問題簡化.
　　運用分類討論的思想解題的基本步驟：
　　（1）確定討論對象和確定研究的全域；
　　（2）對所討論的問題進行合理的分類（分類時需要做到不重復、不遺漏、標準統一、分層不越級）；
　　（3）逐類討論：即對各類問題詳細討論，逐步解決；
　　（4）歸納總結，整合得出結論.
　　為了使分類徹底，我們要堅持按同一標準和分類不重復，不遺漏的原則，我對初中數學學習中涉及的分類討論進行探究，主要有以下幾種類型.
　　一、在代數中主要有以下三種分類類型
　　1.概念型
　　數學中的有些概念的定義本身是分類給出的，如絕對值、平方根、有理數、方程、不等式、函數等，因而在解題時就要從所給定義的概念來進行分類討論.
　　例1.化簡|x+7|-x+5
　　分析：此題去掉絕對值符號是關鍵，根據絕對值而引發分類討論.
　　解：當x≥-7時，原式=x+7-x+5=12；
　　當x<-7時，原式=-（x+7）-x+5=-2x-2.
　　例2.求y=的定義域
　　解：由題知：ax-a+2≥0，得：ax≥a-2
　　當a>0時，所求的定義域為：x>;
　　當a<0時，所求的定義域為：x<;
　　當a=0時，所求的定義域為一切實數.
　　2.性質型
　　由運算性質的不確定性引起的討論.如一次函數、二次函數中k的不確定性，不等式中不等號方向改變的性質.一元二次方程配方后方程求解時針對判別式的討論等，由于這些性質的不確定性決定了我們解題時要進行分類討論.
　　例3.解關于x的不等式ax≥9
　　解：當a>0時，不等式的解集為：x≥;
　　當a<0時，不等式的解集為：x≤;
　　當a=0時，不等式的無解.
　　例4.已知一次函數y=kx+b，當-３≤x≤１時，對應y的值為１≤y≤９.則k?b的值是（ ）
　　Ａ.14 Ｂ.-6 Ｃ.-６或２１ Ｄ.-６或１４
　　解析：由于題中一次函數系數k可以大于0也可以小于0，因此解題時要分兩種情況進行討論，結果選Ｄ.
　　3.字母參數型
　　由數學的特殊規定或題中不確定的字母引起的討論.
　　例5.解含x的方程ax=b
　　解：當a=0，b=0時，x為任意實數；當a≠0時，x=；當a=0，b≠0時，原方程無解.
　　二、在幾何中根據幾何圖形可以有以下幾種分類類型
　　1.在等腰三角形中
　　在等腰三角形中求角和邊時，若沒有給出具體的邊（腰或底）和角（頂角或底角）時就要根據需要對邊和角進行討論.
　　例6.等腰三角形的一個內角為50°，另外兩個角的度數為?搖?搖?搖?搖、?搖?搖?搖
　　分析：此題要分有兩種情況討論：當頂角為50°時結果為65°、65°；當底角為50°時結果為50°、80°.
　　例7.等腰三角形的兩邊為3、4，求周長.
　　分析：此題分有兩種情況討論：當腰長為3時周長為10；當底邊長為3時周長為11.
　　例8.等腰三角形的兩邊為3、7，求周長.
　　此題雖然和上題類似，但當三邊長分別為3，3，7時不能構成三角形，所以結果只有17.
　　2.在直角三角形中
　　在直角三角形中由于沒有給出具體的邊（直角邊或斜邊）和具體的直角時就要依情況進行討論.
　　例9.一個直角三角形的兩邊長為6和8，那這個三角形的第三邊?搖?搖?搖?搖，并求出這個三角形的外接圓半徑?搖?搖?搖
　　分析：可分當兩直角邊分別為6和8或一條直角邊為6，斜邊為8兩種情況進行討論，這個三角形的第三邊2或10，這個三角形的外接圓半徑為4或5.
　　例10.在平面直角坐標系中，A（-4，0），B（2，0），若點C在一次函數y=-x+2的圖像上，且△ABC為直角三角形，則滿足條件的點C有?搖?搖?搖?搖個.
　　分析：可依次討論點A、B、C為直角頂點時C的個數，答案為4.
　　3.在相似三角形中
　　在相似三角形中如果沒有明確對應頂點，就需要分類討論.
　　例11.如圖，P是Rt△ABC的斜邊BC上異于B，C的一點，過P點作直線截△ABC，截得的三角形與△ABC相似，滿足這樣條件的直線共有（ ）條.
　　A.1 B.2 C.3 D.4
　　分析：可分三種情況進行討論：點A與點P對應、點P與點B對應、點P與點C對應.結果選C.
　　4.在圓中
　　由于圓與圓相切時可能存在內切和外切，因此如果題中未確定相切的具體的方式時就應進行分類討論.
　　例12.已知⊙O與⊙O相切，兩圓的圓心距為9cm，⊙O的半徑為4cm，求⊙O的半徑?搖?搖?搖
　　分析：可分內切，外切來討論，結果是5cm或13cm.
　　當圓中有平行弦時而未指明圓心在平行弦外和圓心在平行弦內時應進行分類討論.
　　例13.在⊙O中半徑R=5，AB、CD是兩條平行弦，且AB=8，CD=6，則弦AB、CD間的距離為?搖?搖?搖
　　分析：討論圓心在平行弦外和圓心在平行弦內，結果是7或1.
　　由于圓的對稱性，當兩圓相交時，圓心可能在公共弦的同側，也可能在公共弦的異側，因此往往要根據需要進行分類討論.
　　例14.半徑為20厘米的⊙O與半徑為15厘米的⊙O相交于A、B兩點，AB=24cm，求兩圓的圓心距.
　　分析：可按圖1和圖2所示進行討論，結果是25cm或7cm.
　　5.三角形高的問題
　　沒有明確三角形的類型（銳角三角形和鈍角三角形或直角三角形），需要對高的位置進行分類討論.
　　例15.在△ABC中，∠B=25°，AD是BC邊上的高，并且AD=BD?CD，則∠BCA的度數為?搖?搖?搖
　　分析：可分以下兩種圖形進行分類討論，（三角形高在形內和高在形外）結果是65°或115另外還有點與線段的關系：沒有明確點與線段的位置，點可能在線段上，也可能在線段而需要討論.
　　在中考中常常出現的分類討論主要包括有以上幾點，下面一題包括了以上分類討論的內容，大家不妨試試.
　　如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，P、Q分別為邊AC、BA上的動點，且BQ=2AP，聯結PQ，設AP=x.
　　（1）在點P、點Q移動的過程中，△APQ能否與△ABC相似？如果能，請求出AP的長；如果不能，請說明理由.
　　（2）當x為何值時，△APQ是等腰三角形？
　　（3）如果⊙C的半徑為1，以點Q為圓心，BQ長為半徑作⊙Q，當⊙C與⊙Q相切時，求AP的長.
　　（4）如果將題中的條件“點Q為邊BA上的動點”改為“點Q為射線BA上的動點”，其他條件不變，設△APQ的面積為y，求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域.