關(guān)于中間值問(wèn)題的綜述

　　摘 要： 本文首先回顧了中間值問(wèn)題的演變過(guò)程，其次簡(jiǎn)要介紹了中間值問(wèn)題在歷年考研及數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的地位和作用及其重要意義，最后分別從《微積分》和《泛函分析》的角度來(lái)敘述中間值問(wèn)題的重要作用。
　　關(guān)鍵詞： 中間值問(wèn)題 微分 積分 不動(dòng)點(diǎn)
　　
　　一、中間值問(wèn)題的簡(jiǎn)介
　　人們對(duì)微分中值定理的認(rèn)識(shí)可以上溯到公元前古希臘時(shí)代。古希臘數(shù)學(xué)家在幾何研究中，得到如下結(jié)論：“過(guò)拋物線弓形的頂點(diǎn)的切線必平行于拋物線弓形的底”，把弓形的底看作軸，弓形的兩端點(diǎn)都在軸上，即兩端點(diǎn)的函數(shù)值等于零，這正是羅爾定理的特殊情況。希臘著名數(shù)學(xué)家Archimedes正是巧妙地利用這一結(jié)論，求出了拋物弓形的面積。1635年，意大利Cavalieri在《不可分量幾何學(xué)》的卷一中給出處理平面和立體圖形切線的有趣引理，其中引理3基于幾何的觀點(diǎn)也敘述了同樣一個(gè)事實(shí)：曲線段上必有一點(diǎn)的切線平行于曲線的弦。這是幾何形式的微分中值定理，被人們稱為卡瓦列里定理。人們對(duì)微分中值定理的研究，從微積分建立之始就開(kāi)始了。1637年，著名法國(guó)數(shù)學(xué)家Fermat在《求最大值和最小值的方法》中給出費(fèi)馬定理，在教科書(shū)中，人們通常將它稱為費(fèi)馬定理。1691年，法國(guó)數(shù)學(xué)家Rolle在《方程的解法》一文中給出多項(xiàng)式形式的羅爾定理。1797年，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日在《解析函數(shù)論》一書(shū)中給出拉格朗日定理，并給出最初的證明。對(duì)微分中值定理進(jìn)行系統(tǒng)研究的是法國(guó)數(shù)學(xué)家Cauchy，他是數(shù)學(xué)分析嚴(yán)格化運(yùn)動(dòng)的推動(dòng)者，他的三部巨著《分析教程》、《無(wú)窮小計(jì)算教程概論》、《微分計(jì)算教程》，以嚴(yán)格化為其主要目標(biāo)，對(duì)微積分理論進(jìn)行了重構(gòu)。他首先賦予中值定理以重要作用，使其成為微分學(xué)的核心定理。在《無(wú)窮小計(jì)算教程概論》中，柯西首先嚴(yán)格地證明了拉格朗日定理，又在《微分計(jì)算教程》中將其推廣為廣義中值定理——柯西定理，從而發(fā)現(xiàn)了最后一個(gè)微分中值定理。
　　另外，在歷年的數(shù)學(xué)考研和數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，中間值問(wèn)題一直都是一個(gè)重要的考點(diǎn)。在數(shù)學(xué)專業(yè)的考研試題和數(shù)學(xué)競(jìng)賽中主要表現(xiàn)為利用介值定理估計(jì)函數(shù)在某一點(diǎn)的值，以及證明根的存在性，利用微分中值定理特別是拉格朗日中值定理證明存在性等，而在非數(shù)學(xué)專業(yè)的考研試題中主要表現(xiàn)為在選擇題中利用介值定理或羅爾定理判斷根的存在區(qū)間及證明根的存在性等。
　　二、中間值問(wèn)題的應(yīng)用
　　1.從《微積分》的角度來(lái)看中間值問(wèn)題
　　《微積分》主要研究初等函數(shù)的連續(xù)性、可微性及可導(dǎo)性，而介值定理和微分中值定理分別是連續(xù)性、可微性的重要定理，因此中間值問(wèn)題是微積分所要研究的重要問(wèn)題之一，它主要表現(xiàn)為連續(xù)函數(shù)的介值、微分中值和積分中值這三種形式，其中微分中值是《微積分》的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，另外它在《微積分》有關(guān)許多重要定理的證明中起著推導(dǎo)作用。例如，羅比達(dá)法則的證明中就用到了微分中值定理中的柯西中值定理。
　　2.從《泛函分析》的角度來(lái)看中間值問(wèn)題
　　例：設(shè)A=［0，1］，f（x）是［0，1］上的一個(gè)可微函數(shù)，滿足條件：f（x）∈［0，1］且|f′（x）|≤α＜1（?坌x∈［0，1］），則存在唯一x′∈［0，1］使得f（x′）=x′。
　　下證唯一性：假設(shè)另存在x″∈［0，1］使得x″=f（x″），則有
　　|x′-x″|=|f（x′）-f（x″）|≤α|x′-x″|
　　由α＜1可知x′=x″。故存在唯一的x′∈［0，1］使得f（x′）=x′。
　　由于［0，1］是一個(gè)完備的距離空間，且例1中的一個(gè)壓縮映射，這就啟發(fā)我們思考：例題的結(jié)論能否推廣到一般的完備距離空間上去？答案是肯定的。事實(shí)上，若T：（?掊，ρ）→（?掊，ρ）是一個(gè)壓縮映射，任取x∈?掊，
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